【数学】湖北省荆州市北门中学2019-2020学年高二下学期期中考试试卷

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湖北省荆州市北门中学2019-2020学年 高二下学期期中考试试卷www.ks5u.com 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.若,,则(    )‎ A. B. ‎ C. D. ‎2.已知是奇函数,当时,当时,等于　　 A. B. C. D. ‎3.已知数列满足递推关系：,,则    ．‎ A. B. C. D. ‎4.已知数列满足,,则    A. 1024 B. 1023 C. 2048 D. 2047‎ ‎5.设等比数列中,每项均是正数,且,则 A. 20 B. C. D. ‎6.已知等差数列的前n项为,且,,则使得取最小值时的n为        A. 1 B. 6 C. 7 D. 6或7‎ ‎7.已知直线的倾斜角为,则的值是(    )‎ A.    B. C. D. ‎8.已知点,,直线l方程为,且与线段AB相交,求直线l的斜率k的取值范围为(    )‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎9.过点且与原点距离最大的直线方程为(    )‎ A. B. ‎ C. D. ‎10.直线l：过点,则直线l与x、y正半轴围成的三角形的面积的最小值为(    )‎ A. B. 3 C. D. 4‎ ‎11.“”是“直线：与直线：垂直”的(    )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎12.已知函数是定义域为R的偶函数,当时, ,若关于x的方程 ,有且只有7个不同实数根,则实数a的取值范围是      A. B. ‎ C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.设是等差数列,若,则______．‎ ‎14.已知,是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是____．‎ ‎15.如图,一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点则第11行的实心圆点的个数是______ ．‎ ‎16.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且,,,则此三棱锥外接球的表面积为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.已知直线：． 若直线的倾斜角为,求实数a的值； 若直线在x轴上的截距为2,求实数a的值； 若直线与直线：平行,求两平行线之间的距离． ‎ ‎18.在中,角A,B,C对的边分别为a,b,c,且,． 求的值； 若,求的面积． ‎ ‎19.设数列满足． 求的通项公式； 求数列的前n项和． ‎ ‎20.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩满分 ‎100分的茎叶图如图所示,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83． ‎ 求x和y的值；‎ 计算甲班7位学生成绩的方差；‎ 从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率．‎ 参考公式：方差,其中． ‎ ‎21.如图,直四棱柱的底面是菱形,,,,E,M,N分别是BC,,的中点． 证明：平面； 求点C到平面的距离． ‎ ‎ ‎ ‎22.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为,,．‎ 求数列的通项公式；‎ 设,设数列的前n项和 ,若对恒成立,求实数的取值范围． ‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】B ‎7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】B 10.【答案】D 11.【答案】A 12.【答案】A 13.【答案】63 14.【答案】 15.【答案】55 16.【答案】8π 17.解：（1）由题意可得tan120°=-a，解得； （2）令y=0，可得x=-， 即直线l1在x轴上的截距为-=2，解得a=-1； （3）∵直线l1与直线l2：2x-y+1=0平行， ∴a=-2，∴直线l1的方程可化为2x-y-2=0， ∴两平行线之间的距离为：=.‎ ‎18.解：（1）由正弦定理可设， 所以， 所以. （2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab， 又a+b=ab，所以（ab）2-3ab-4=0，解得ab=4或ab=-1（舍去） 所以.‎ ‎19.解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n， n≥2时，a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）， ∴两式相减得（2n-1）an=2,∴an=， 当n=1时，a1=2，上式也成立，∴an=； （2）==-， ∴数列{}的前n项和为++…+=1-=.‎ ‎20.解：（1）由茎叶图可知甲班学生的总分为 ‎70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x， 又甲班学生的平均分是85， 总分又等于85×7=595,所以x=5， 乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3; （2）∵某甲班7位学生成绩分别为78，79，80，85，85，92，96． 甲班7位学生成绩的平均数是， ∴7位学生成绩的方差是; （3）甲班至少有一名学生为事件A， 其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生； 根茎叶图可得，甲有2次高于90分，乙有3次高于90分， 从甲、乙两个班级成绩中各随机抽取2次成绩，有5×4种情况，‎ 而没有一次是甲班的有3×2次； ​则.‎ ‎21.证明：（1）连结 .‎ 因为M，E分别为,的中点，所以，且.‎ 又因为N为的中点，所以 ，可得，‎ 因此四边形MNDE为平行四边形，.‎ 又平面，所以平面.​‎ ‎ (2)  (方法一)：过C做的垂线，垂足为H. 由已知可得，.所以 ‎， 故，从而，故CH的长即为点C到平面的距离. 由已知可得CE =1，，所以，故CH=. （方法二)：设点C到平面的距离为,由已知可得,==, ，，‎ ‎,， 可得：，故为直角三角形， ===，‎ 综上可得,即为点C到平面的距离.‎ ‎22.解：(1)设等比数列{an}的公比为q， ∵a1＝，a3＋a5＝，∴q2＋q4＝，∴q2＝，∴q＝±，  ∵an>0，∴q＝，∴an＝×n－1＝n＋1. (2)由(1)知an＝n＋1， ∵a1＝，∴Sn＝＝＝， bn＝＝＝2. ∴Tn＝2＝2， 又Tn对单调递增，.‎