【数学】2020届一轮复习人教B版三角函数性质学案

【数学】2020届一轮复习人教B版三角函数性质学案

微专题28 三角函数及函数性质 一、基础知识：‎ ‎1、正弦函数的性质 ‎（1）定义域： ‎ ‎（2）值域： ‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称轴（最值点）： ‎ ‎（5）对称中心（零点）：，其中是对称中心，故也是奇函数 ‎（6）单调增区间： ‎ ‎ 单调减区间：‎ ‎2、余弦函数的性质 ‎（1）定义域： ‎ ‎（2）值域： ‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称轴（最值点）：其中是对称轴，故也是偶函数 ‎（5）对称中心（零点）： ‎ ‎（6）单调增区间： ‎ ‎ 单调减区间：‎ ‎3、正切函数的性质 ‎（1）定义域： ‎ ‎（2）值域： ‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称中心： ‎ ‎（5）零点：‎ ‎（6）单调增区间： ‎ 注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的的值 ‎4、的性质：与正弦函数相比，其图像可以看做是由图像变换得到（轴上方图像不变，下方图像沿轴向上翻折），其性质可根据图像得到：‎ ‎（1）定义域： ‎ ‎（2）值域： ‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称轴： ‎ ‎（5）零点：‎ ‎（6）单调增区间： ‎ ‎ 单调减区间：‎ ‎5、的性质：此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：‎ ‎（1）定义域：‎ ‎（2）值域：‎ ‎（3）周期： ‎ ‎（4）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设，其中，则函数变为，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件，然后将还原为再解出的值（或范围）即可 注：1、余弦函数也可看做的形式，即，所以其性质可通过计算得到。‎ ‎2、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为，再求其性质 二、典型例题：‎ 例1：函数 （ ）‎ A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 思路：‎ 单调递增区间：‎ 单调递减区间：‎ 符合条件的只有D 答案：D 例2：函数的一个单调递减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：先变形解析式，，再求出单调区间：，时，D选项符合要求 答案：D 例3：的递减区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 思路：在解函数性质之前首先把的系数变正：‎ ‎，再求其单调区间：，由于，所以区间等同于 答案：D 例4：已知函数，则下列关于函数性质判断正确的是（ ）‎ A. 最小正周期为，一个对称中心是 B. 最小正周期为，一个对称中心是 C. 最小正周期为，一个对称中心是 D. 最小正周期为，一个对称中心是 思路： ‎ ‎ 对称中心：‎ 时，一个对称中心是 答案：A 例5：函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 思路：求单调区间可设，即，只需找到所满足的条件然后解出的范围即可。的取值需要满足两个条件，一是保证，二是取 单调增的部分，所以可得：，即，解得： ‎ 答案：A 例6：设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）‎ A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 图像关于点对称 D. 在区间上是增函数 思路：先判断的周期，可结合图像进行判断，可得：；对于对称轴，对称中心，单调区间，可考虑设，即，借助图像先写出所符合的条件，再求出的值（或范围）即可。‎ 对称轴：，不是偶函数 对称中心：，关于点对称 单调增区间：‎ 答案：C 例7：函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：根据图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半 ‎，所以间距为：‎ 答案：B 例8：已知函数的图像关于直线对称，则的值为_______‎ 思路一：可以利用辅角公式变形为的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：‎ 因为关于直线对称，‎ 思路二：本题还可以利用特殊值法求出的值，再进行验证即可：因为关于直线对称，所以代入一组特殊值：，再代入验证，其一条对称轴为，符合题意 答案：‎ 例9：已知在单调递增，求的取值范围 思路：的图像可视为仅由放缩得到。，由在单调递增可得： ，即 答案：‎ 例10：已知函数在区间上为增函数，且图像关于点对称，则的取值集合为______________ ‎ 思路：的图像可视为的图像横坐标变为了，，则，因为在上单调增，所以，即；另一方面，的对称轴为，所以解得，再结合 可得 ‎ 答案：‎ 三、近年好题精选 ‎1、函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）‎ A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 ‎2、（2015，湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、（2018，重庆万州二中）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、（2015，天津）一直函数，若函数在内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为_______‎ ‎6、（安徽）若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于 轴对称，则的最小正值是__________‎ ‎7、（北京）设函数（是常数，）若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为______‎ ‎8、已知的图像在上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围是______‎ ‎9、（福建）已知函数 ‎ ‎（1）若，且，求的值 ‎（2）求函数的最小正周期及单调递增区间 ‎10、（2018，山东潍坊中学高三期末）已知函数（）．‎ ‎（1）求最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ 习题答案：‎ ‎1、答案：B 解析：由最小正周期可得：，向右平移个单位后解析式为，即，由奇函数可知，所以，对称轴：，‎ 对称中心：，即，配合选项可得B正确 ‎2、答案：D 解析：，由可知分别取到最大最小值，不妨设，所以，由可知 ‎3、答案：C 解析：先求出的单调性，，解得单调递减区间为：，即在上单调递减。所以在单调减，，所以，有，可知C符合题意 ‎4、答案：B 解析：先利用图像变换求出解析式：，即，其图像可视为仅仅通过放缩而得到的图像。若最大，则要求周期取最小，由为增函数可得：应恰好为的第一个正的最大值点 ‎5、答案： ‎ 解析：，由在内单调递增，且对称轴为可知在达到最大值，所以，由在单增可知，从而解得 ‎ ‎6、答案： ‎ 解析：平移后的解析式为：，由对称轴为可知，令即得到最小正值 ‎ ‎7、答案： ‎ 解析：由可得为一条对称轴，由可知为一个对称中心。因为在区间单调，所以可知与为相邻的对称轴与对称中心，所以 ‎ ‎ ‎ ‎8、答案：‎ 解析：‎ 由可得：，若恰有一个对称轴和对称中心，则对称轴和对称中心为，所以 ‎9、解析：（1）由及可得： ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ 的单调递增区间为 ‎10、解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 周期 单调递增区间：‎ 所以单调递增区间：‎ ‎（2） ‎