2019届二轮复习小题专练　三角恒等变换、解三角形作业（全国通用）

2019届二轮复习小题专练　三角恒等变换、解三角形作业（全国通用）

小题专练·作业(六)　三角恒等变换、解三角形 ‎1．若角α的终边过点A(2,1)，则sin＝(　　)‎ A．－ B．－ C． D． 解析　由题意知cosα＝＝，所以sin＝－cosα＝－。故选A。‎ 答案　A ‎2．已知tanθ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)‎ A． B． C． D． 解析　解法一：原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，将tanθ＝2代入，得原式＝。故选C。‎ 解法二：在平面直角坐标系xOy中，tanθ＝2＝，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上取点P(1,2)，则|OP|＝，由三角函数的定义，得sinθ＝ ‎，cosθ＝，所以＋sin2θ＝＋2＝。故选C。‎ 答案　C ‎3．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝(　　)‎ A．－ B． C．－ D． 解析　解法一：由题意知，tanα＝－2，tan2α＝＝。故选D。‎ 解法二：由题意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝＝＝。故选D。‎ 答案　D ‎4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A． B． C． D． 解析　由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC。因为C∈(0，π)，所以C＝。故选C。‎ 答案　C ‎5．(2018·河南联考)线段的黄金分割点的定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点。在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36°＝(　　)‎ A． B． C． D． 解析　不妨设AB＝2，利用黄金分割点的定义得AD＝－1，易知∠A＝∠ABD＝36°，故AD＝BD＝－1。在△ABD中，cos36°＝＝。故选B。‎ 答案　B ‎6．(2018·陕西调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已在a，b，c成等比数列，且cosB＝，则＋＝(　　)‎ A． B． C． D． 解析　由已知有b2＝ac，cosB＝，所以sinB＝＝。由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以＋＝＋＝＝＝＝。故选D。‎ 答案　D ‎7．(2018·洛阳统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝(　　)‎ A． B． C． D． 解析　由题意得b2＝ac，a2＝c2＋ac－bc，故a2＝c2＋b2－bc，则cosA＝＝＝。因为A∈(0，π)，所以A＝。根据正弦定理有＝，sin2B＝sinAsinC，故＝＝。故选B。‎ 答案　B ‎8．(2018·辽宁模拟)若a＝(cosx，sinx)，b＝(，－1)，且a⊥b，则tan2x＝________。‎ 解析　由题意得cosx－sinx＝0，则tanx＝，所以tan2x＝＝＝－。‎ 答案　－ ‎9．(2018·洛阳统考)已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________。‎ 解析　由题设有1＋2sinαcosα＝，所以sin2α＝ ‎，所以cos4α＝1－2sin22α＝1－＝。‎ 答案　 ‎10．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________。‎ 解析　根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝，结合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A为锐角，且cosA＝，从而求得bc＝，所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝××＝。‎ 答案　 ‎11．(2018·北京高考)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________。‎ 解析　△ABC的面积S＝acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，所以tanB＝，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°。因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以02，故的取值范围为(2，＋∞)。‎ 答案　60°　(2，＋∞)‎ ‎12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2b，△ABC的面积记作S，则下列结论一定成立的是(　　)‎ A．B>30° B．A＝2B C．cb，C错误；三角形面积S＝absinC＝b2sinC≤b2。故选D。‎ 答案　D ‎13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为(　　)‎ A．2　　　 　B．3‎ C．　　　　D. 解析　由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1。因为B∈(0，π)，所以B＝。由S△ABC＝acsinB＝1＋，得ac＝2＋4。又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－ac＝(2－)·(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2。故选A。‎ 答案　A ‎14．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________。‎ 解析　因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin120°＝asin60°＋csin60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9。‎ 答案　9‎ ‎15．(2018·石家庄模拟)如图，平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，AB＝1，BC＝，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为________。‎ 解析　设∠ABC＝θ，θ∈(0，π)，则由余弦定理得AC2＝3－2cosθ，由正弦定理得＝，得sin∠ACB＝。在△DCB中，由余弦定理可得，BD2＝CD2＋2－2CDcos＝AC2＋2＋2ACsin∠ACB＝3－2cosθ＋2＋2AC×＝5＋2(sinθ－cosθ)＝5＋4sin，当θ＝时，max＝1，所以BD＝9，所以BDmax＝3。‎ 答案　3‎