四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期入学考试数学（文）试题

四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期入学考试数学（文）试题

成都外国语学校高 2021 届高二入学考试数学文科 一、选择题，共 12 题，每题 5 分共 60 分 1.直线 的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根据题意，求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求解倾斜角的取值范 围. 详解：根据题意，直线 的斜率为 ，则 ， 设直线的倾斜角为 ，则 ，即 ， 所以 ，即直线的倾斜角为 ，故选 B. 点睛：本题主要考查了直线的倾斜角的求解，其中根据直线方程求得直线的斜率，再利用倾 斜角与斜率的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 2. ，则 = A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 将原式的分子分母同时除以 ，化为关于 的三角式求解。 【详解】将原式的分子分母同时除以 ，得到： ； 故答案选 A 【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查学生转化计算能力，属于基础题。 3.若 ，则 （ ） sin 2 0x a y+ + = [0, )π 3[0, ] [ , )4 4 π π π [0, ]4 π [0, ] ( , )4 2 π π π sin 2 0x yα + + = sink α= − 1 1k− ≤ ≤ θ tanθk = 1 tan 1θ− ≤ ≤ 3[0, ] [ , )4 4 π πθ π∈ ∪ 3[0, ] [ , )4 4 π π π tanα 3= sin cos sin cos α α α α + − cosα tanα cosα tan 1 3 1= 2tan 1 3 1 sin cos sin cos α α α α α α + + += =− − − 1sin 6 3 π α − =   2cos 23 π α + =   A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二倍角公式和诱导公式化简所求表达式，代入已知条件求得表达式的值. 【 详 解 】 依 题 意 ，故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题. 4.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. 若 且 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 且 ，则 D. 若 且 ，则 【答案】B 【解析】 试题分析：A 中直线 m,n 可能平行，可能相交，可能异面；B 中由平面法向量的知识可知结论 正确；C 中直线 a 可能与面平行，可能在平面内；D 中两平面可能平行可能相交 考点：空间线面平行垂直的判定 5.若 ,则下列不等式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 1 3 1 3 − 7 9 7 9 − 2 22 π π πcos 2 2cos 1 2cos 13 3 2 6 π α α α      + = + − = − − −             2 π 2 72sin 1 16 9 9 α = − − = − = −   ,m n ,α β / / ,m nα β⊥ α β⊥ m n⊥ ,m nα β⊥ ⊥ m n⊥ α β⊥ , / /m nα β⊥ n β⊥ / /m α ,m nα β⊂ ⊂ //m n / /α β 0a b> > 1 1a bb a + > + 1 1 b b a a +> + 1 1a bb a − > − 2 2 a b a a b b + >+ 【详解】本题考查不等式的基本性质 已知 ， 对于选项 A， ，正确； 对于选项 B， ，错误； 对于选项 C， ，若 ，则 ，即 ，错误； 若 ，则 ，即 ，正确，所以，不是一定成立. 对于选项 D， ，错误. 综上可知，故选 A. 6.若 ，则方程 表示的圆的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二元二次方程表示圆的条件是 ，列出关于 的不等式，即可求出实数 的范围，从而得到答案。 【详解】 方程 表示圆， ，即： ，解得： ， 所以当 时，只有 时，方程 表示圆 故答案选 B 【点睛】本题考查圆的一般式方程的应用，熟练掌握二元二次方程表示圆的条件，以及正确 解一元二次不等式是解决本题关键，属于基础题。 7.已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为 1，等腰三角形的腰长为 3，则该几何体表面 积为 （ ） 0a b> > 1 1a bb a + > + ⇐ 1 1ab ab b a + +> ⇐ 1 1 b a > ⇐ a b> 1 1 b b a a +> + ⇐ ( 1) ( 1)b a a b+ > + ⇐ ab b ab a+ > + ⇐ b a> 1 1a bb a − > − ⇐ 1 0ab − < 1 1 b a < a b< 1 0ab − > 1 1 b a > a b> 2 2 a b a a b b + >+ ⇐ (2 ) ( 2 )b a b a a b+ > + ⇐ 2 2b a> ⇐ b a> 32,0,1, 4a  ∈ −   2 2 2y 2 2 1 0x ax ay a a+ + + + + − = 2 2 4 0D E F+ − > a a  2 2 2y 2 2 1 0x ax ay a a+ + + + + − = ∴ 2 2 2(2 ) 4(2 1) 0a a a a+ − + − > 23 4 4 0a a+ − < 22 3a− < < 32,0,1, 4a  ∈ −   0a = 2 2 2y 2 2 1 0x ax ay a a+ + + + + − = A. 6π B. 4π C. 5π D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可得，该几何体由一个圆锥和一个半球组合而成，该几何体的表面积为圆锥的侧面积与 半球的球面面积之和。利用面积公式求解即可。 【详解】根据三视图可知该几何体由一个圆锥和一个半球组合而成，该几何体的表面积为圆 锥的侧面积与半球的球面面积之和； 由于圆锥的侧面积为： ， 半球的求面积为： ， 所以几何体的表面积为： 故答案选 C 【点睛】本题考查根据三视图计算几何体的表面积，熟练掌握基本几何体的表面积公式是解 题关键，属于基础题。 8.已知 是公差 不为零的等差数列，其前 项和为 ，若 成等比数列，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵ 等 差 数 列 ， ， ， 成 等 比 数 列 ， ∴ 2 2π 1 1 2 1 3 32S r l rlπ π π π= × × = = × × = 2 2 2 1 4 2 =2 1 22S r rπ π π π= × = × × = 1 2 5S S S π= + = { }na d n nS 3 4 8, ,a a a 1 40, 0a d dS> > 1 40, 0a d dS< < 1 40, 0a d dS> < 1 40, 0a d dS< > ， ∴ ，∴ ， ，故选 B. 考点：1.等差数列的通项公式及其前 项和；2.等比数列的概念 9.已知 是球 O 的球面上四点， 面 ABC, ，则该球 的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 面 ， ，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得 到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，长方体的对角线的长就是该球的直径，从而 得到答案。 【详解】 面 ， 三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两垂直， 可以以三条侧棱 ， ， 为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上， 长方体 对角线的长就是该球的直径， 即 的 P,A,B,C PA ⊥ 0PA 2BC 6, BAC 90∠= = = 3 5 6 5 3 3 3 5 2 PA ⊥ ABC 0BAC 90∠ =  PA ⊥ ABC 0BAC 90∠ = ∴ P ABC− PA AB AC ∴ PA AB AC ∴ 2 2 2 2 22 36 9 3 5R PA AB AC PA BC= + + = + = + = 则该球的半径为 故答案选 D 【点睛】本题考查三棱锥外接球的半径的求法，本题解题的关键是以三条侧棱为棱长得到一 个长方体，三棱锥的外接球，即为该长方体的外接球，利用长方体外接球的直径为长对角线 的长，属于基础题。 10.在 中，角 对边分别为 ，且面积为 .若 ， ，则角 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用正弦定理进行边角互化，得到 A，再根据三角形的面积公式和余弦定理，结合特殊角的 三角函数值可求得 B 的值； 【详解】∵ ， ∴ ，即 . 又 ， ，∴ ，即 . ∵ ，由余弦定理知 ， ∴ ，∴ ，又 ，∴ ， ∴ . 故选 C. 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式的应用，是中档题． 11.已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 ，底面边长为 ，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 的 3 5 2R = ABC∆ , ,A B C , ,a b c S cos cos sinb C c B a A+ = ( )2 2 21 4S b a c= + − B 2 π 3 π 4 π 6 π cos cos sinb C c B a A+ = 2sin cos sin cos sinB C C B A+ = 2sin( ) sinB C A+ = B C A+ = π − (0, )A π∈ sin 1A = 2A π= ( )2 2 21 1 sin4 2S b a c ab C= + − = 2 2 2 2 cosb a c ab C+ − = cos sinC C= tan 1C = (0, )C π∈ 4C π = 4B π= 2 3 与 SC 所成角的大小为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 连接底面正方形 对角线 、 交于 ，连接 ，则 是 的中位线，且 ，故 与 所成角是异面直线 与 所成角，由此可求出异面直线 与 所成角的大小。 【详解】连接底面正方形 对角线 、 交于 ，则 为 的中点，连接 ， 在 中 为 的中点， 为 的中点， 是 的中位线，且 ， ， 与 所成角 是异面直线 与 所成角， 由于 ， , ， 为等腰三角形，从 作 ， 则 ， 在 中根据余弦定理， ，即 ， 在 中，根据余弦定理， ，解得： ，即 ， 所以异面直线 与 所成角为 ， 故答案选 A π 3 π 6 π 2 π 4 ABCD AC BD F EF EF SAC∆ / /EF SC EF BE BE SC BE SC ABCD AC BD F F AC EF  SAC∆ F AC E SA ∴ EF SAC∆ / /EF SC 1 2EF SC= ∴ EF BE BEF∠ BE SC 3AB = 6 2BF = 2 2EF = SAB∆ S SG AB⊥ 3 6cos 2 42 2 ABSAB AS ∠ = = = AEB∆ 2 2 2 2 cos 2BE AE AB AE AB SAB= + − ⋅ ⋅ ∠ = 2BE = BEF∆ 2 2 2 2 cosBF EF BE EF BE BEF= + − ⋅ ⋅ ∠ 1cos 2BEF∠ = 060BEF∠ = BE SC π 3 【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，需要掌握求解异面直线所成角的思路，据此去做 辅助线或平移某条直线，属于基础题 12.正数 满足 ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实 数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先用基本不等式求 的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值. 【详解】 ， 当且仅当 ，即 时，“=”成立， 若不等式 对任意实数 恒成立， 则 ， 即 对任意实数 恒成立， 实数 的取值范围是 . 故选 D. 【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立. 二、填空题，每题 5 分，共 20 分 13.圆心为 且过原点的圆的方程是__________． 【答案】 ,a b 1 9 1a b + = 2 4 18a b x x m+ ≥ − + + − x m [3, )+∞ ( ,3]−∞ ( ,6]−∞ [6, )+∞ +a b 1 90, 0, 1a b a b > > + = 1 9 9 9( ) 10 10 2 16b a b aa b a b a b a b a b  ∴ + = + + = + + + ⋅ =    3a b= 4, 12a b= = 2 4 18a b x x m+ ≥ − + + − x 2 4 18 16x x m− + + − ≤ 2 4 2x x m− + + ≤ x 2 24 2 ( 2) 6 6x x x− + + = − − + ≤ 6m∴ ≥ m [6, )+∞ (1,1) 2 2( 1) ( 1) 2x y− + − = 【解析】 由题意知圆的半径 圆的方程为 14.设等差数列{an}，{bn} 前 n 项和分别是 Sn 和 Tn ，若 ,则 _________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件设出 ，解得 ，再根据数列的通项与前 项和的关系求出对应项，代入计算可求 解。 【详解】由题意得等差数列 不为常数列 设等差数列 的前 项和 ， 因为 ，所以等差数列 的前 项和 ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列的前 项和公式的性质以及数列的通项与前 项和之间关系，属于 基础题。 15.已知实数 满足 ，则 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 的 2r = ∴ ( ) ( )2 21 1 2x y− + − = 1n n S n T n += 2 2 a b = 4 3 nS nT n { }na ∴ { }na n = ( 1), 0nS kn n k+ ≠ 1n n S n T n += { }nb n 2 nT kn=  2 2 1 4a S S k= − = 2 2 1 3b T T k= − = ∴ 2 2 4 4 3 3 a k b k = = 4 3 n n ,x y 1 4,2 3x y x y− < + < < − < 3 2x y+ 3 23,2 2  −   令 ，构造方程组求出 ， 的值，进而根据不等式的基本性质 可得 的范围。 【详解】令 ，则 ，解得： ， 即 ， ， ， ， ，即 ， 故答案为： 【点睛】本题考查不等式的性质，利用待定系数法，结合不等式的基本性质是解决本题的关 键，属于基础题。 16.已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值 范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据正弦定理化简整理可得 ，设 ，构 造函数 ，利用导数判断函数的单调性，求出值域即可。 【详解】 在 中， ， ， ， ， 利用正弦定理可得： 3 2 = ( ) ( )x y m x y n x y+ + + − m n 3 2x y+ 3 2 = ( ) ( )x y m x y n x y+ + + − 3 2 m n m n + =  − = 5 2 1 2 m n  =  = 5 13 2 = ( ) ( )2 2x y x y x y+ + + −  1 4x y− < + < 2 3x y< − < ∴ 5 5 ( ) 102 2 x y− < + < 1 31 ( )2 2x y< − < ∴ 3 5 1 23( ) ( )2 2 2 2x y x y− < + + − < 3 233 22 2x y− < + < 3 23,2 2  −   ABC∆ 、 、A B C a b c、 、 2A B= 22c b b a  +    [ )3,4 2 2 2 2 1=4cos 1cos c b Bb a B  + + −   1cos ,12B t  = ∈   2 2 1( ) 4 1f t t t = + −  ABC∆ 2A B= ∴ sin sin 2A B= 3C Bπ= − sin =sin3C B 2 2 22 sin 2sin sin3 2sin= +( ) = +( )sin sin sin sin 2 c b C B B B b a B A B B  +    又 ， ， ， ， 设 ，则 ， 令 ， ，则 令 ，则 ，当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增， ， ， 所以 的取值范围为： 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考 查函数单调性的运用，属于中档题。 三、解答题 （17 题 10 分，其余各题 12 分） 17.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； 2sin cos2 cos sin 2 1 sin cos B B B B B B +  = +    2 2 1cos2 2cos cosB B B = + + 2 2 1=4cos 1cosB B + − 2 (0, )A B π= ∈ 3 (0, )A B B π+ = ∈ (0, )3B π∴ ∈ 1cos ,12B  ∈   1cos ,12B t  = ∈   2 2 2 2 1=4 1c b tb a t  + + −   2 2 1( )=4 1f t t t + − 1 ,12t  ∈   4 3 3 2 8 2( )=8 tf t t t t −=′ − 4 3 8 2( )= =0tf t t −′ 2 2t = 1 2 2 2t< < 4 3 8 2( )= 0tf t t −′ < ( )f t 1 2( , )2 2 2 12 t< < 4 3 8 2( )= 0tf t t −′ > ( )f t 2( 1)2 ， ∴ min 2( ) ( ) 32f x f= = 1( ) ( ) (1) 42f x f f< = = 22c b b a  +    [ )3,4 [ )3,4 ABC△ A B C a b c 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C+ = + B （Ⅱ）若 的面积为 ，当 的值最小时，求 的周长． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 （Ⅰ）由 及正弦定理可得 ， 所以由余弦定理的推论可得 ， 因 ，所以 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 因为 的面积为 ，所以 ，即 ， 所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为 ，此时 ， ， 是等边三角形， 故 的值最小时， 的周长为 ． 18.已知 ，不等式 的解集是 ， （1）求 的解析式； （2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析：（1）利用二次不等式与二次方程的联系可得到二次方程的根为 0，5，可利用根与 系数的关系得到 的关系式，从而得到其值；（2）将不等式转化为与之对应的二次函数 ，结合函数的图像及性质可知只需满足 ，从而 求得 值 试题解析：（1） ，不等式 的解集是 ， 为 ABC△ 3 3 4 a c+ ABC△ 3B π= 3 3 2 2 2sin A sin C sin B sinAsinC+ = + 2 2 2a c b ac+ = + 2 2 2 1 2 2 2 a c b accosB ac ac + −= = = 0 B π< < 3B π= 3B π= ABC 3 3 4 1 1 3 3 3 2 2 3 4 4acsinB acsin ac π= = = 3ac = 2 2 3a c ac+ ≥ = 3a c= = a c+ 2 3 a c= 3B π= ABC a c+ ABC 3 3 ( ) 22f x x bx c= + + ( ) 0f x < ( )0,5 ( )f x [ ]1,1x∈ − ( ) 2f x t+ ≤ t ( ) 22 10f x x x= − 10t ≤ − ,b c ( ) 22 10 2g x x x t= − + − ( ) ( )min 1 0g x g= − ≤ t 所以 的解集是 ，所以 和 是方程 的两个根， 由韦达定理知， ． （2） 恒成立等价于 恒成立， 所以 的最大值小于或等于 0．设 ， 则由二次函数的图象可知 在区间 为减函数， 所以 ，所以 ． 考点：1．三个二次关系；2．二次函数图像及性质 19.如图，四边形 是直角梯形， ， ， ， ，又 ， ， ，直线 与直线 所成的角为 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）要证面面垂直，即证线面垂直，本题证 平面 （2） ,只需要求出 A 点到平面 ECF 的距离，再利用三棱锥的体积公式即可。 【详解】证明： 平面 ECBF 90ECB∠ = ° / /EF BC 2EF = 4BC = 2AC = 120ACB∠ = ° AB EC⊥ AF EC 60° EAC ⊥ ABC E FAC− 2 3 3 EC ⊥ ABC E FAC A ECFV V− −= , , , EC BCBC AB B BC AB ABC ECEC AB ⊥ ∩ = ⊂ ⇒ ⊥⊥  平面 ABC 平面 . . （2）取 的中点 ，则 ，连接 ， . ∵ ， ，∴ ， ， ∴ 平面 ， ∵直线 与直线 所成的角为 ，∴ ， 在 中，由余弦定理得 ， ∴在 中， ， ∴ . 【点睛】要证面面垂直，即证线面垂直，在一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直。 当所求三棱锥的高不好直接求出时，常常转换顶点来求三棱锥的体积 20.过点 作直线￿分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点. (1)当△AOB 面积最小时，求直线￿的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线￿的方程. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 由题意设 ， ，其中 ， 为正数，可设直线的截距式为 ，代点可得 ， （1）由基本不等式可得 ，由等号成立的条件可得 和 的值，由此得到直线方程， （2） ，由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程。 【详解】由题意设 ， ，其中 ， 为正数，可设直线的截距式为 ， 直线过点 ， ， （1）由基本不等式可得 ，解得： ，当且仅当 ，即 且 EC EAC EAC⊂ ∴ ⊥ 平面 平面 ABC BC N 2CN = AN FN / /EF CN EF CN= / /FN EC FN EC= FN ⊥ ABC AF EC 60° 60AFN °∠ = ACN∆ 2 2 2 cos120 2 3AN AC CN AC CN °= + − ⋅ ⋅ = Rt AFN∆ 2FN = 1 1 2 3sin1203 2 3E FAC A ECF A FCN F ACNV V V V AC CN FN° − − − −= = = = × ⋅ ⋅ ⋅ = ( )P 4,1 4 8 0x y+ − = 2 6 0x y+ − = ( ,0)A a (0, )B b a b 1x y a b + = 4 1 1a b + = 16ab ≥ a b 4 1( )( )OA OB a b a b a b + = + = + + ( ,0)A a (0, )B b a b 1x y a b + =  ( )P 4,1 ∴ 4 1 1a b + = 4 1 41 2a b ab = + ≥ 16ab ≥ 4 1=a b 8a = 时，上式取等号， 面积 ，则当 ， 时， 面积最小，此时直线 的方程为 ，即 ， （2）由于 ，当且仅当 ，即 且 时取等号， 所以当 ， 时， 值最小，此时直线 的方程为 ，即 。 【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题。 21.在 中， ，且 边上的中线长为 ， (1) 证明角 B,A,C 成等差数列 (2)求 的面积. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理化简 可得： ，即 ，结合三角形的内 角和为 ，从而说明角 ， ， 成等差数列 （2）设 的中点为 ，根据向量的平行四边形法则可知 ，两边平方化简 可得： ，再利用三角形面积公式 即可得到答案。 【详解】(1)由正弦定理边角互换可得 ， 所以 . 因为 的 2b = ∴ AOB∆ 1 82S ab= ≥ 8a = 2b = AOB∆ l 18 2 x y+ = 4 8 0x y+ − = 4 1 4 4( )( ) 5 5 2 9b a b aOA OB a b a b a b a b a b + = + = + + = + + ≥ + ⋅ = 4b a a b = 6a = 3b = 6a = 3b = OA OB+ l 16 3 x y+ = 2 6 0x y+ − = ABC△ sin 6 2 b ca B π + + =   BC 13 2 3AB = ABC△ 3 3 4 sin 6 2 b ca B π + + =   1sin 6 2A π − =   3A π= π B A C BC D 2AB AC AD+ =   1b = 1 sin2ABCS bc A=  sin sinsin sin 6 2 B CA B π + + =   3 1 sin sinsin sin cos2 2 2 B CA B B   ++ =    ( )sin sin sin cos cos sinC A B A B A B= + = + 所以 ， 即 ， 即 ，整理得 . 因为 ，所以 ，所以 ， 即 ，所以 . 因为 ，所以 ，即 ， 所以 ，故角 ， ， 成等差数列。 (2)设 的中点为 ，根据向量的平行四边形法则可知 所以 ,即 因为 ， ，所以 ，解得 （负值舍去）. 所以 。 【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角形面积公式在三角形中的运用，涉及三角恒等变换 的知识，属于中档题。 22.数列{ }的前 项和为 Sn，且 Sn＝n(n＋1)(n∈N*). (1)若数列 满足： ，求数列 的通项公式； (2)令 ，求数列{ }的前 n 项和 Tn. （3） ,(n 为正整数)，问是否存在非零整数 ，使得对任意正 3 1 sin sin cos cos sinsin sin cos2 2 2 B A B A BA B B æ ö + +ç ÷+ =ç ÷è ø 3sin sin sin cos sin sin cos cos sinA B A B B A B A B+ = + + 3sin sin sin cos sinA B B A B= + ( )sin 3sin cos 1 0B A A− − = ( )0,B π∈ sin 0B ≠ 3sin cos 1 0A A- - = 3sin cos 2sin 16A A A π − = − =   1sin 6 2A π − =   ( )0,A π∈ 6 6A π π− = 3A π= 2 23B C A π+ = = A B C BC D 2AB AC AD+ =   22( ) 4AB AC AD+ =   2 2 2 +2 cos 4AB AC AB AC A AD+ ⋅ =     3AB c= = 3A π= 2 23 3 13b b+ + = 1b = 1 3 3sin2 4ABCS bc A= =  na n { }nb 31 2 2 33 1 3 1 3 1 3 1 n n n b bb ba = + + + ++ + + + { }nb ( ) 4 n n n a bk n N ∗⋅= ∈ nk 11 12 nn n bc λ− = − + − ⋅   （ ） n 22 a λ 整数 n,都有 若存在，求 的值，若不存在，说明理由。 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 【分析】 （ 1 ） 首 先 利 用 ， 求 出 数 列 的 通 项 公 式 ， 然 后 由 ，可得： ， 两式相减，化简即可得到数列 的通项公式； （2）由（1）可得： ，利用分组求和法和错位相减法即可求得数列{ } 的前 项和 ， （3）由 ，得到 的不等式，注意对 的奇偶性讨论，得到 的范围，从而得到 的 值。 【详解】（1）当 时， ， 当 时， ，从而 满足该式， ，则 ， 由 ①， 可得 ②， ②减①得： ，即 ， 故 （2）由（1）可得 ， ， 令 ①，两边同乘 3， 可得 ②， 1n nc c+ > λ ( )2 3 1n nb = + ( ) ( )12 1 3 3 1 4 2 n n n n nT +− ⋅ + += + 1λ = − 1n n nS S a−− = { }na 31 2 2 33 1 3 1 3 1 3 1 n n n b bb ba = + + + ++ + + + 11 2 1 2 13 1 3 1 3 1 3 1 n n n n n b bb ba + + += + + + ++ + + + { }nb = + 34 nn n n a bk n n ⋅= ⋅ nk n nT 1n nc c+ > λ n λ λ 1n = 1 1 2a S= = 2n ≥ 1 ( 1) ( 1) 2n n na S S n n n n n−= − = + − − = 1 2a = ∴ 2na n= ( )n ∗∈N +1 2( 1)na n= + 31 2 2 33 1 3 1 3 1 3 1 n n n b bb ba = + + + ++ + + + ( 1)n ≥ 11 2 1 2 13 1 3 1 3 1 3 1 n n n n n b bb ba + + += + + + ++ + + + 1 11 23 1 n n nn b a a+ ++ = − =+ 1 1 2(3 1)n nb + + = + 2(3 1)n nb = + ( )n ∗∈N = (1 3 ) + 34 n nn n n a bk n n n ⋅= + = ⋅ ∴ 2 3 1 2 3= ... (1 3 2 3 3 3 ... 3 ) (1 2 3 ... )n n nT k k k k n n+ + + + = × + × + × + + × + + + + + 2 31 3 2 3 3 3 ... 3n nH n= × + × + × + + × 2 13 41 3 2 3 3 3 ... 33 n nH n +×= + × + × + + × ①减②得： ， ， 所以{ }的前 项和 ； （3）由（1）可得 ， 则 ，由 恒成立，即 ， 当 为偶数时， ，即 ， ， 当 为奇数时， ，即 ， ， 综述 ，所以非零整数 故答案为 【点睛】本题考查数列的通项与前 项和之间的关系，数列求和中的错位相加法与分组求和法， 数列递推公式的运用，考查学生的计算能力，试题综合性较强，属于中档题。 2 3 1 13(1 3 )2 3 3 3 ... 3 3 31 3 n n n n nH n n+ +−− = + + + + − × = − ×− ∴ 1(2 1)3 3 4 n n nH +− += ∴ nk n 1(2 1)3 3 ( 1) 4 2 n n n n nT +− + += + n 1 121 ( 1) 2 3 ( 1) 22 a n n n nn n bc λ λ− − = − + − ⋅ = + − ⋅   +1 +1 +1 3 ( 1) 2n n n nc λ= + − ⋅ 1n nc c+ > +1 +1 13 ( 1) 2 3 ( 1) 2n n n n n nλ λ−+ − ⋅ > + − ⋅ n +1 +13 2 3 2n n n nλ λ+ ⋅ > − ⋅ 13( )2 nλ −> − ∴ 1 max 3 3( )2 2 nλ − > − = −   n +1 +13 2 3 2n n n nλ λ− ⋅ > + ⋅ 13( )2 nλ −< ∴ 1 min 3( ) 12 nλ − < =   3 ,12 λ  ∈ −   = 1λ − = 1λ − n