山西省运城市永济涑北中学2019-2020学年高二3月月考数学试卷

山西省运城市永济涑北中学2019-2020学年高二3月月考数学试卷

理科数学试题 ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A．－2 　　　　　 B．－1 　　　 　 C．1 　　　　 D．2‎ ‎2．用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设正确的是 ‎ （ ）‎ ‎ A．，至少有一个为0 B．，至少有一个不为0‎ ‎　 C．，全不为0　　　　　　　　　D．，全为0‎ ‎3．若函数在定义域内可导，则“函数在处导数为0”是“为的极值点”的（ ）‎ A．充分不必要条件 　　　　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 　　　　　 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度 为（ 　） ‎ A． B．　　　　　　　C．　　　　　　　　D．‎ ‎5．已知复数满足，则＝（ ）‎ A．　　　　　　　B．　　　　　　 　C．5 　　　　 　　D．10‎ ‎6．＝（　　　）‎ ‎ A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　D．‎ ‎7．已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是（　　　）‎ A．（－∞，1） B．（0，1）‎ C．（，1） D．（1，＋∞）‎ ‎8．若函数存在极值，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A．（－1，1）　　　B．［－1，1］　　　 C．（1，）　 　D．（，－1）‎ ‎9．若直线经过点（8，3），且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）‎ A． 　　　　　B． 　　　　　 C．或 　　　　D．或 ‎10．已知，且，则（为虚数单位）的最小值是（ ）‎ A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D．‎ ‎11．设，是方程的两个不等实根，记（），下列两个命题：①数列的任意一项都是正整数；②数列第5项为10． 则（　　　）‎ A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 ‎12．已知函数的定义域为R，导函数为，且满足＞，，则不等式＜的解集为（　　　）‎ ‎　　A．（，0）　　　 B．（，2） C．（0，）　　　 D．（2，）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知的导函数为，且满足关系式，则的值为　　　．‎ ‎14．圆上点P（，）处的切线方程为．类比此结论，椭圆 ‎（＞＞0）上点P（，）处的切线方程为 ．‎ ‎15．由曲线（x≥0）与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为 ．‎ ‎16．若关于的不等式≤有正整数解，则实数的最小值为__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. (本小题满分10)‎ 已知函数.‎ ‎（1）曲线上与直线平行的切线方程；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的切线方程.‎ ‎18．（本小题满分12）‎ 已知，，均为正实数．‎ ‎（Ⅰ）用分析法证明：≤；‎ ‎（Ⅱ）用综合法证明：若＝1，则≥8．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在数列的前项和为，，满足（≥2）．‎ ‎（Ⅰ）求，，并猜想表达式；‎ ‎（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 若函数，当时，函数有极值．‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，≥0恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，，其中．‎ ‎（Ⅰ）若函数在区间（1，e）存在零点，求实数a的取值范围；　‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，都有≥成立，求实数的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B D B A B A C A A C 二、填空题 ‎13．　　14．　15． 16．6‎ 三、解答题 ‎17.解（1）曲线方程为： ‎ 令，则，‎ 则曲线上与直线平行的切线的切点为：，‎ 则曲线上与直线平行的切线方程是：，‎ 即。‎ （2） 满足题意；‎ ‎ 时，设切点则 ‎ 切线方程为：‎ ‎ 将点P代入可得 ‎，‎ 直线方程为：，‎ 综上，直线方程为：或。‎ ‎18．（Ⅰ）证明：因为＞0，＞0，所以＞0．‎ 要证明　≤，‎ 只需证　≤，‎ 只需证　≤，‎ 只需证　 ≥0，‎ 即证 ≥0．‎ 因为不等式≥0显然成立，从而原不等式成立． ……………………5分 ‎ （Ⅱ）因为，，均为正实数，则由基本不等式，得 ‎　　　　≥，≥，≥，‎ ‎　　　　所以 ≥，‎ ‎ 因为，所以≥8．　　　…………………10分 ‎．‎ ‎19．（Ⅰ）由，得（≥2）．‎ ‎　　∵　，　∴　，‎ ‎，，‎ 猜想：．　　　　　　　　　　　　………………………………6分 ‎　 （Ⅱ）证明：① 当时，左边＝，右边＝，猜想成立．‎ ‎　　② 假设当（）时猜想成立，即，‎ ‎ 那么，，‎ ‎ 即当时猜想也成立．　‎ ‎ 根据①②，可知猜想对任何都成立． ……………………………12分 ‎（课本上的习题）‎ ‎20．解：（Ⅰ），由题意得，‎ 解得，，经检验，，符合题意，‎ 故，． ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（1）知 ，，‎ 令，得或.‎ 当变化时， ，的变化情况如下表：‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎＋‎ 因此，当时，有极大值，当时，有极小值，‎ 所以函数的图象大致如图所示．‎ 若有3个不同的根，则直线与函数的图象有3个交点，所以．　　　……………………12分 ‎21．（Ⅰ）解：函数的定义域为R，．‎ ‎（1）当≤0时，因为＞0，所以＞0，函数在（，）上单调递增；‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………2分 ‎（2）当＞0时，由＞0，得＞，由＜0，得＜，‎ 所以，函数在（，）上单调递减，在（，）上单调递增．‎ ‎ ……………………5分 ‎（Ⅱ）解：（1）由（Ⅰ）知，当＜0时，在（，）上单调递增，‎ ‎ 因为＞0，＜0，所以存在（，0），使＝0．‎ 所以，当（，）时，＜0，不合题意．‎ ‎ 说明：当＜0时，＜1，则＜0，≥0不恒成立．‎ ‎（2）当＝0时，＞0恒成立；‎ ‎（3）当＞0时，＝≥0恒成立，等价于对任意，≥恒成立，‎ 令，则，‎ 当（，1）时，＞0，为增函数；当（1，）时，＜0，为 减函数，所以，于是≥，所以　0＜≤．‎ 综上，实数的取值范围为［0，］．　　 ……………………………………12分 ‎22．（Ⅰ）解：，其定义域为， ‎ ‎∵＜0，∴在区间（0，）上单调递减． ‎ 要使函数在区间（1，e）内存在零点，当且仅当 所以实数a的取值范围为（0，）．　　　　……………………………………4分 ‎（Ⅱ）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都 有≥． ‎ ‎ 当［1，］时，．∴函数在上是增函数．‎ ‎∴． ‎ ‎∵，．‎ ‎∴当时，＜0，当时，＞0，‎ ‎∴在（0，a）上单调递减，在（a，）单调递增．‎ ‎① 当时，∴函数在［1，］上是增函数，∴．‎ 由≥，得≥，又，∴，不合题意．‎ ‎② 当1≤≤时，∴函数在上是减函数，在上是增函数．‎ ‎∴．‎ 由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤． ‎ ‎③ 当，∴函数在上是减函数．∴.‎ 由≥，得≥，又，∴．‎ 综上所述，的取值范围为． ……………………………………12分