河北省涿鹿县涿鹿中学2019-2020学年高二下学期3月月考数学试题

河北省涿鹿县涿鹿中学2019-2020学年高二下学期3月月考数学试题

涿鹿中学2019——2020学年度高二年级三月月考 数学试卷 一、单选题：（每小题5分，共12小题）‎ ‎1.函数从1到4的平均变化率为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，故选A．‎ ‎2.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可.‎ ‎【详解】由题意，，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题.‎ ‎3.已知，那么（ ）‎ A. 20 B. ‎30 ‎C. 42 D. 72‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算n，代入计算得到答案.‎ 详解】‎ ‎ ‎ 答案选B ‎【点睛】本题考查了排列数和组合数计算，属于简单题.‎ ‎4.已知下列四个命题，其中正确的个数有（）‎ ‎①，②，③（，且），④‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.‎ ‎【详解】①，所以①错误；‎ ‎②，所以②错误；‎ ‎③（，且），所以③错误；‎ ‎④，所以④错误.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题.‎ ‎5.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当大于等于0，在对应区间上为增函数；小于等于0，在对应区间上为减函数，由此可以求解．‎ ‎【详解】解：时，，则单调递减；‎ 时，，则单调递增；‎ 时，，则f（x）单调递减．‎ 则符合上述条件的只有选项A．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数单调性与导函数的关系，重点是理解函数图象及函数的单调性．‎ ‎6.已知，，为虚数单位，且，则值为（ ）‎ A. 4 B. C. -4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据复数相等的概念可知，，∴，∴，故选C 考点：本题考查了复数的运算 点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题 ‎7. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 A. 140种 B. 80种 C. 100种 D. 70种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．‎ 解：直接法：一男两女，有C‎51C42=5×6=30种，‎ 两男一女，有C‎52C41=10×4=40种，共计70种 间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，‎ 都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有‎84-10-4‎=70种．‎ 故选D 点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．‎ ‎8.已知函数的导函数为，且满足，则等于（）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，所以，得，故选B．‎ ‎9.在复平面内，复数z共轭复数为，且（1+i）z＝|i|，则对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用模长公式，结合复数的除法运算化简复数z，求解，写出复平面对应点坐标，即得解.‎ ‎【详解】由（1+i）z＝|i|， ‎ ‎，对应的点坐标为（1，1），在第一象限 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的四则运算和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎10.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.‎ ‎11.计算机通常使用若干个数字0和1排成一列来表示一个物理信号，现有4个“‎0”‎和4个“‎1”‎排成一列，那么用这8个数字排成一列能表示的物理信号的个数是（ ）‎ A. 140 B. ‎110 ‎C. 70 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意,用这 个数字排成一列能表示的物理信号的个数是 ，‎ 故选C.‎ ‎12.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】的定义域是（0，+∞），‎ ‎，‎ 若函数有两个不同的极值点，‎ 则在（0，+∞）由2个不同的实数根，‎ 故，解得：，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题）‎ ‎13.已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 由题意知，‎ 所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.‎ 答案：3.‎ ‎14.已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ 为实数，‎ 则.‎ ‎【考点】 复数的分类 ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ 复数，‎ 当时，为虚数，‎ 当时，为实数，‎ 当时，为纯虚数.‎ ‎15.‎1999年10月1日，在中华人民共和国建国50周年之际，中国人民银行陆续发行了第五套人民币（1999年版），第五套人民币纸币共有1元、5元、10元、20元、50元、100元6种面额，现有这6种面额纸币各一张，一共可以组成______种币值.（用数字作答）‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知币值是由纸币张数来决定，则共有种币值，利用组合数的性质可求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知，可分别选取张纸币来构成不同币值 所有币值的种数为：‎ 种 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用组合数的性质求解组合问题，属于基础题.‎ ‎16.设，当x∈[﹣1，2]时，恒成立，则实数的取值范围为 .‎ ‎【答案】（7，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．‎ ‎【详解】解：f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝0‎ 解得：x＝1或 当x∈时，f'（x）＞0，‎ 当x∈时，f'（x）＜0，‎ 当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，‎ ‎∴f（x）max＝{f（），f（2）}max＝7‎ 由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）＝7．‎ 故答案为（7，+∞）‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题．‎ 三、解答题（17题10分，18——22题每题12分）‎ ‎17.已知，复数.‎ ‎（1）若为纯虚数，求的值；‎ ‎（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用复数的除法得到，根据为纯虚数可得.‎ ‎（2）先求出，根据其对应的点在第二象限可得横坐标、纵坐标满足的不等式，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 因为为纯虚数，所以，且，则 ‎（2）由（1）知，， ‎ 则点位于第二象限，‎ 所以，得. ‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法、复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎18.求下列各函数的导数：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）； ‎ ‎（3）.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的运算法则和基本初等函数的导数公式即可求出．‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的运算法则和基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题．‎ ‎19.已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x与x＝1时都取得极值，求a，b的值与函数f（x）的单调区间．‎ ‎【答案】a，b＝﹣2，f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对f（x）求导，导函数在x与x＝1函数值为0，求解a，b，分析导函数正负，从而得到函数f（x）的单调区间．‎ ‎【详解】解：（1）f（x）＝x3+ax2+bx+c，f′（x）＝3x2+2ax+b 由f′（）a+b＝0，f′（1）＝3+‎2a+b＝0‎ 解得，a，b＝﹣2．‎ f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：‎ X ‎（﹣∞，）‎ ‎ ‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．‎ ‎【点睛】本题考查了导数在函数极值、单调性研究中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎20.个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？‎ ‎（1）甲不在两端；‎ ‎（2）甲、乙、丙三个必须在一起；‎ ‎（3）甲、乙必须在一起，且甲、乙都不能与丙相邻．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先考虑甲，有个位置可以选择，其他位置全排列，利用分步乘法计数原理可得出结果；‎ ‎（2）先将甲、乙、丙三人看成一个整体，与其他四人进行排列，由此可得出排法种数；‎ ‎（3）先将甲、乙二人捆绑，然后利用插空法将甲、乙这个整体与丙插入其他四人所形成的空中（包括两端），利用分步乘法计数原理可得出排法种数.‎ ‎【详解】（1）甲不排头，也不排尾，则甲有个位置供选择，有种情况；‎ 将其余人全排列，安排到其他位置，有种排法.‎ 共有种排法；‎ ‎（2）采用捆绑法：先将甲、乙、丙三人看成一个整体，有种排法，将这个整体与其他四人全排列，有种排法；‎ ‎（3）先捆绑法：先将甲、乙二人看成一个整体，有种排法，再将这个整体与丙插入其他四人所形成的空中（包括两端），共有种.‎ 因此，共有种排法.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊元素法等方法的应用，将问题正确分类与分步处理是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数f(x)＝xln x＋(a－1)x＋2.‎ ‎(1)当a＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2)若f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）2x－y＋1＝0；（2）a＞－ln 2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将a＝2代入得f(x)＝xln x＋x＋2，求导并计算f′(1)＝2，f(1)＝3，用点斜式写出切线方程；（2）f(x)＞0恒成立等价于函数f(x)的最小值大于0，利用导数求函数的最小值，并建立方程即可求解．‎ ‎【详解】(1)当a＝2时，f(x)＝xln x＋x＋2，‎ 求导得，f′(x)＝ln x＋2，∴f′(1)＝2，f(1)＝3，‎ 故f(x)在x＝1处的切线是2x－y＋1＝0.‎ ‎(2)定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝ln x＋a，‎ 令f ′(x)＝0，得x＝e－a，‎ 分析可得f(x)在(0，e－a)减函数，在(e－a，＋∞)为增函数，‎ 所以fmin(x)＝f(e－a)＝e－a(－a)＋(a－1)e－a＋2＝－e－a＋2，‎ 由题意可知f(x)＞0恒成立，需要－e－a＋2＞0，解得a＞－ln 2.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线的切线方程，利用导数讨论函数的单调性及求函数的最值，以及解决恒成立问题，综合性较强，属于中档题．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过a的值，当时，导函数的符号，推出的单调性；‎ ‎（2）当时，求出导函数，然后判断导函数的符号，推出单调区间．‎ ‎【详解】解（1），‎ 当时，．‎ 令得；令，得；‎ 所以在单调递增，在单调递减 当时，令，得；‎ 令，得或；‎ 所以在单调递增，在和单调递减 ‎ 综上，当时，在单调递增，在单调递减；‎ 当时，在单调递增，在和单调递减 ‎（2）当时，  ‎ 令，则．‎ 当时，，单调递减；‎ 当时,，单调递增；‎ 所以因此 ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．‎