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文档介绍
浙江省嘉兴市南湖区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年第一学期高二期中联考数学试题 一、选择题(本大题共10小题,共40.0分) 1.若直线经过两点,则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析:设直线的倾斜角为,由两点斜率公式的直线的斜率所以,故选A. 考点:1、直线的斜率公式;2、直线的倾斜角. 2.如果在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是( ) A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 垂直相交 【答案】C 【解析】 在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,当两个平面平行时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,故这两个平面有可能相交或平行,所以这两个平面的位置关系是相交或平行,故选C. 3.如图,扇形的圆心角为,半径为1,则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球,利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得. 【详解】由已知可得:以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球,其中半球半径为1,故半球的表面积为: 故答案为C 【点睛】本题主要考查了旋转体的概念,以及球的表面积的计算,其中解答中熟记旋转体的定义,以及球的表面积公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 4.已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,且,则 D 若,且,则 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项,均可举出反例;可证明得出. 【详解】若,,则或与异面或与相交,故选项错误; 若,,则与可能相交,故选项错误; 若直线不相交,则平面不一定平行,故选项错误; , 或,又 ,故选项正确. 本题正确选项: 【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断,考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度. 5.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 A. 相交 B. 平行 C. 异面而且垂直 D. 异面但不垂直 【答案】D 【解析】 解:利用展开图可知,线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线,仅仅异面,所成的角为600,因此选D 6.已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:(x﹣3)2+(x+4)2=16,则圆O1与圆O2的位置关系为( ) A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出两个圆的圆心和半径,再根据它们的圆心距等于半径之和,可得两圆相外切. 【详解】圆的圆心为,半径等于1,圆的圆心为,半径等于4, 它们的圆心距等于,等于半径之和, 两个圆相外切. 故选A. 【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法. 7.若实数满足,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 已知等式变形后得到圆方程,找出圆心与半径,令,得到;求出圆心到直线的距离,即可得出所求式子的范围. 【详解】令,即,表示一条直线; 又方程可化为,表示圆心为,半径的圆; 由题意直线与圆有公共点, ∴圆心到直线的距离, ∴,即的取值范围为. 故选B 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,由直线与圆的位置关系求参数,熟记直线与圆的位置关系即可,属于常考题型. 8.已知点P是直线l:上的动点,过点P引圆C:的两条切线PM,PN,M,N为切点,当的最大值为时,则r的值为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 分析】 结合题意,找出该角取最大值的时候PC的长度,建立方程,计算结果,即可。 【详解】结合题意,绘制图像,可知 当取到最大值的时候,则也取到最大值,而,当PC取到最小值的时候,取到最大值,故PC的最小值为点C到该直线的最短距离,故,故,解得,故选D。 【点睛】考查了点到直线距离公式,关键找出该角取最大值的时候PC的长度,建立方程,难度偏难。 9.对于直角坐标平面内任意两点,,定义它们之间的一种“新距离”:.给出下列三个命题: ①若点在线段上.则; ②在中,若,则; ③在中,. 其中的真命题为( ) A. ①③ B. ①② C. ① D. ③ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,对于①若点在线段上,设点坐标为,然后代入验证显然成立.对于②在中,若,则|是几何距离而非题目定义的距离,明显不成立,对于③在中,用坐标表示 ,然后根据绝对值不等式可得到大于等于.推出不成立,故可得到答案. 【详解】①若点在线段上,设点,那么在之间.在,之间, ∴,故①正确; ②,显然,平方后不能消除,,所以命题不成立,故②不正确; ③在中,由绝对值不等式的性质可得: ,故③不正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查命题真假的判定,考查新定义的问题,对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解,切记不可脱离题目要求,熟记绝对值不等式的性质即可,属于中档题目. 10.如图,在菱形中,,线段,的中点分别为.现将沿对角线翻折,使二面角的在大小为,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 取中点连接,,设菱形的边长为,可得(或补角)为与所成角.在中,由余弦定理,即可求出结果. 【详解】取中点连接,,设菱形的边长为, 因为,∴,,则(或补角)为与所成角. ∴, 在中,,可得, 在中,. 在中,. 在中,. 因此异面直线与所成角的余弦值为. 故选C 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角,只需在几何体中作出异面直线所成的角,解对应三角形即可,属于常考题型. 二、填空题(本大题共7小题,共36.0分) 11.直观图(如图)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm,则在xoy坐标中四边形ABCD为______,面积为______cm2. 【答案】矩形、 8 【解析】 试题分析:根据直观图的做法,在做直观图时,原来与横轴平行的与X′平行,且长度不变, 原来与y轴平行的与y′平行,长度变为原来的一半,且新的坐标轴之间的夹角是45(或135)度。所以四边形ABCD为边长分别为2,4的矩形,其面积为8. 考点:本题主要考查平面图形的直观图画法。 点评:注意直观图中线段与原图的关系。 12.如图所示为某几何体的三视图,则该几何体最长棱的长度为_____,体积为______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 先找到三视图对应的几何体原图,再求最长的棱长和体积. 【详解】由三视图得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD, 底面是边长为2的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2, 所以最长的棱为PC=, 几何体体积为. 故答案为(1). (2). 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体和几何体体积是计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=________.若l1∥l2,则m=________. 【答案】 (1). -2 (2). 2 【解析】 【分析】 根据韦达定理得到,由两直线垂直斜率之积为可得结果;再根据两直线平行斜率相等,结合可得结果. 【详解】直线,的斜率,是关于的方程的两根,∴, 若,则,得; 若,则,∴,得,故答案为和2. 【点睛】本题主要考查了直线的斜率和直线的位置关系,一元二次方程根与系数的关系,学生的转化能力,是一道基础题. 14.如果平面直角坐标系中的两点关于直线对称,那么直线的方程为______. 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析:直线斜率为,所以斜率为,设直线方程为, 由已知直线过点,所以,即, 所以直线方程为,即. 考点:直线方程. 15.正方体的棱长为,,,,分别是,,,的中点,则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______,和该截面所成角的正弦值为______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 分析】 取中点,中点,中点,连结、、、、、,推导出平面平面,过且与平行的平面截正方体所得截面为,由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积;以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值. 【详解】取中点,中点,中点,连结、、、、、, ∵,,,, ∴平面平面, ∴过且与平行的平面截正方体所得截面为, ∵,,四边形是矩形, ∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为: ; 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系, ,,,, ,,, 设平面的法向量, 则,取,得, 设和该截面所成角为, 则, ∴和该截面所成角的正弦值为. 故答案为;. 【点睛】本题考查截面面积的求法,考查线面角的正弦值的求法,熟记面面平行的判定定理,以及空间向量的方法求线面角即可,属于常考题型. 16.已知实数满足,则的取值范围是_________. 【答案】[0,] 【解析】 【分析】 构造直线x0,过圆上一点P作直线的垂线PM,则sin∠POM ,求出∠POM的范围即可得到答案. 【详解】P(x,y)为圆x2+(y﹣2)2=1上的任意一点,则P到直线xy=0的距离PM,又因为圆在直线的上方,则PMx, ∴sin∠POM, 设圆x2+(y﹣2)2=1与直线y=kx相切,则1,解得k=±, ∴∠POM的最小值为0°,最大值为60°, ∴0≤sin∠POM, 故答案为[0,]. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查数形结合思想的应用,注意临界位置的转化,属难题. 17.四面体的四个顶点都在球的球面上,平面,是等边三角形.若侧面的面积为,则球的表面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 取的中点,连结,,作出外接球的球心,设是边长为的等边三角形,可得,记的中心为,作交的中垂线于,为外接球的中心,.(当且仅当时取等号),即可求出表面积最小值. 【详解】取的中点,连结,, ∵在四面体中,平面, 设是边长为的等边三角形.,即, ∴,是等腰三角形, 记的中心为,作交的中垂线于,为外接球的中心, 则,, 所以(当且仅当时,取等号). 四面体外接球的表面积为. 故答案为 【点睛】本题考查几何体外接球的相关计算,熟记简单几何体的结构特征,以及球的表面积公式即可,属于常考题型. 三、解答题(本大题共5小题,共74.0分) 18.已知圆台侧面的母线长为,母线与轴的夹角为,一个底面的半径是另一个底面半径的倍. (1)求圆台两底面的半径; (2)如图,点为下底面圆周上的点,且,求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 上底面半径为,下底面半径为.(2) . 【解析】 【分析】 (1)设圆台上底面半径为,则下底面半径为,且.推导出,,从而.由此能求出圆台上底面半径和下底面半径; (2)过点作于点,连接,推导出,面,从而为与平面所成的角,由此即可求出结果. 【详解】(1)设圆台上底面半径为,则下底面半径为,将圆台补成如图的圆锥,则. 在中,,∴. 在中,,∴. ∴,所以. 故圆台上底面半径为,下底面半径为. (2)过点作于点,连接, ∵面,∴,∴面, ∴为与平面所成的角, ∵,,∴,,,, ∴, ∴与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于常考题型. 19. 如图,在三棱锥P﹣ABC中,E,F分别为AC,BC的中点. (1)求证:EF∥平面PAB; (2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC. 【答案】见解析 【解析】 试题分析:(1)利用E,F分别是AC,BC中点,说明EF∥AB,通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB. (2)证明PE⊥AC,利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC,通过证明PE⊥BC.EF⊥BC,EF∩PE=E,证明BC⊥平面PEF,然后推出平面PEF⊥平面PBC. 证明:(1)∵E,F分别是AC,BC的中点,∴EF∥AB. 又EF⊄平面PAB, AB⊂平面PAB, ∴EF∥平面PAB. (2)在三角形PAC中,∵PA=PC,E为AC中点, ∴PE⊥AC. ∵平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, ∴PE⊥平面ABC. ∴PE⊥BC. 又EF∥AB,∠ABC=90°,∴EF⊥BC, 又EF∩PE=E, ∴BC⊥平面PEF. ∴平面PEF⊥平面PBC. 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 20.已知点M(3,1),直线与圆。 (1)求过点M的圆的切线方程; (2)若直线与圆相切,求a的值; (3)若直线与圆相交与A,B两点,且弦AB的长为,求a的值。 【答案】(1)和(2)或(3) 【解析】 【详解】(1)圆心,半径,当切线的斜率不存在是,方程为. 由圆心到直线的距离知,此时直线与圆相切, 当切线的斜率存在时,设切线方程为, 即. 由题意知,解得k=, ∴切线方程为,即. 故国M点的圆的切线方程为和. (2)由题意知,解得或 (3)∵圆心到直线的距离为 ∴解得. 21.如图(1),边长为的正方形中,,分别为,上的点,且,现沿把剪切、拼接成如图(2)的图形,再将,,沿,,折起,使三点重合于点. 图(1) 图(2) 图(3) (1)求证:; (2)求二面角的正切值的最小值. 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】 【分析】 (1)可得折叠后,,即可证明. (2)作交于点,连结.可得为二面角的平面角.令,,,易得图3中, ,利用即可求解. 【详解】(1)证明:折叠前,,, 折叠后,, 又,所以平面, 因此. (2)作交于点,连结. ∵,∴为二面角的平面角. 令,,, 易得图3中,, ∴ 则 ,当且仅当 ∴二面角的正切值的最小值为. 【点睛】本题考查了空间线线垂直判定,二面角的大小求解,熟记线面垂直的判定定理与性质定理,以及几何法求二面角的大小即可,属于常考题型. 22.如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴的正半轴相交于A,B两点(A在B的上方),且AB=3. (1)求圆C的方程; (2)直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT2=12,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由; (3)如果圆C上存在E,F两点,使得射线AB平分∠EAF,求证:直线EF的斜率为定值. 【答案】(1);(2)点P坐标为.(3)见解析. 【解析】 【分析】 (1)求出圆C的半径为,即得圆C的方程;(2)先求出直线BT的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),根据PA2+PB2+PT2=12 求出点P的坐标;(3)由题得,即EF⊥BC,再求EF的斜率. 【详解】(1)由题得,所以圆C的半径为. 所以圆C的方程为. (2)在中,令x=0,则y=1或y=4. 所以A(0,4),B(0,1). 所以直线BT的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),因为PA2+PB2+PT2=12, 所以, 由题得 因为, 所以方程无解. 所以不存在这样的点P. (3)由题得, 所以, 所以. 所以直线EF的斜率为定值. 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法,考查直线和圆的位置关系,考查圆中的定值问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 查看更多