2019届二轮复习第1讲 基本初等函数、函数的图象与性质学案(全国通用)
第 1 讲 基本初等函数、函数的图象与性质
高考定位 高考对本内容的考查主要有:(1)函数的概念和函数的基本性质是 B
级要求,是重要考点;(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性
质都是考查热点,要求都是 B 级;(3)函数与方程是 B 级要求,但经常与二次函
数等基本函数的图象和性质综合起来考查,是重要考点.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)函数 f(x)= log2x-1的定义域为________.
解析 要使函数 f(x)有意义,则 log2x-1≥0,即 x≥2,则函数 f(x)的定义域是[2,+
∞).
答案 [2,+∞)
2.(2018·江苏卷)函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=
{cos
πx
2
,0 < x ≤ 2,
|x+1
2|,-2 < x ≤ 0,
则 f(f(15))的值为________.
解析 因为函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x)(x∈R),所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因
为在区间(-2,2]上,f(x)= {cos
πx
2
,0 < x ≤ 2,
|x+1
2|,-2 < x ≤ 0,
所以 f(f(15))=f(f(-1))=f
(1
2 )=cos π
4
= 2
2 .
答案 2
2
3.(2017·江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间[0,1)上,f(x)=
{x2,x ∈ D,
x,xD, 其中集合 D={x|x=n-1
n
,n ∈ N * },则方程 f(x)-lg x=0 的解的
个数是________.
解析 由于 f(x)∈[0,1),则只需考虑 1≤x<10 的情况,在此范围内,x∈Q,且
x Z 时,设 x=q
p
,p,q∈N*,p≥2 且 p,q 互质.若 lg x∈Q,则由 lg x∈(0,
1),可设 lg x=n
m
,m,n∈N*,m≥2 且 m,n 互质.因此 10
n
m
=q
p
,10n=(q
p )m
,
此时左边为整数,右边为非整数,矛盾.因此 lg xQ,因此 lg x 不可能与每个周
期内 x∈D 对应的部分相等,只考虑 lg x 与每个周期 xD 部分交点,画出函数草
图如图.
图中交点除(1,0)外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期 xD 部分,
且 x=1 处(lg x)′= 1
xln 10
,因 1
ln 10<1,则在 x=1 附近仅有一个交点(1,0),因此
方程解的个数为 8 个.
答案 8
4.(2015·江苏卷)已知函数 f(x)=|ln x|,g(x)={0,0<x ≤ 1,
|x2-4|-2,x>1,则方程|f(x)+g(x)|
=1 实根的个数为________.
解析 令 h(x)=f(x)+g(x),则 h(x)={-ln x,0<x ≤ 1,
-x2+ln x+2,1<x<2,
x2+ln x-6,x ≥ 2,
当 1<x<2 时,
h′(x)=-2x+1
x
=1-2x2
x
<0,故当 1<x<2 时 h(x)单调递减,在同一坐标系中画
出 y=|h(x)|和 y=1 的图象如图所示.
由图象可知|f(x)+g(x)|=1 的实根个数为 4.
答案 4
考 点 整 合
1.基本初等函数
(1)幂函数的概念及 y=x,y=x2,y=x3,y=1
x
及 y=x 1
2
的图象及性质;
(2)有理数指数幂、对数的含义及运算;指数函数、对数函数的概念、图象与性
质.
2.函数的性质
(1)单调性
(ⅰ)用来比较大小、求函数最值、解不等式和证明方程根的唯一性.
(ⅱ)常见判定方法:①定义法:取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常
用的方法有:通分、配方、因式分解;②图象法;③复合函数的单调性遵循“同
增异减”的原则;④导数法.
(2)奇偶性
①若 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(-x);②若 f(x)是奇函数,0 在其定义域内,则 f(0)
=0;③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对
称的区间内有相反的单调性.
(3)周期性
常见结论有①若 y=f(x)对 x∈R,f(x+a)=f(x-a)或 f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,
则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数;②若 y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线 x=
a 对称,则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数;③若 y=f(x)是奇函数,其图象又关于
直 线 x = a 对 称 , 则 f(x) 是 周 期 为 4|a| 的 周 期 函 数 ; ④ 若 f(x + a) = - f(x)
(或f(x+a)= 1
f(x)),则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数.
3.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是
描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.
4.函数的零点问题
(1)函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y=f(x)的图象与
函数 y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数
形结合,利用两个函数图象的交点求解.
热点一 基本初等函数的概念及运算
【例 1】 (1)(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)函数 f(x)= 1
lg x
-2的定义域为
________.
(2)(2015·江苏卷)不等式 2x2-x<4 的解集为________.
解析 (1)由题意得 1
lg x
-2≥0,即1-2lg x
lg x
≥0,从而 0<lg x≤1
2
,故 1<x≤ 10,
从而函数 f(x)的定义域为(1, 10].
(2)∵2x2-x<4=22,∴x2-x<2,即 x2-x-2<0,解得-1
0 且 a≠1,b∈R)
的图象如图所示,则 a+b 的值是________.
解析 由图象可得{f(-3)=loga(-3+b)=0,
f(0)=logab=-2, 解得{a=1
2
,
b=4,
则 a+b=9
2.
答案 9
2
(2)已知函数 f(x)=(1
3 )ax2-4x+3
.
①若 a=-1,求 f(x)的单调区间;
②若 f(x)有最大值 3,求 a 的值;
③若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值.
解 ①当 a=-1 时,f(x)=(1
3 )-x2-4x+3
,令 μ=-x2-4x+3=-(x+2)2+
7,
μ 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y=(1
3 )μ
在 R 上
单调递减,所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函
数 f(x)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).
②令 h(x)=ax2-4x+3,y=(1
3 )h(x)
,由于 f(x)有最大值 3,
所以 h(x)应有最小值-1,因此必有{a>0,
12a-16
4a
=-1,解得 a=1,
即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1.
③由 f(x)的值域是(0,+∞)知,ax2-4x+3 的值域为 R,则必有 a=0.
热点二 函数图象与性质的应用
【例 2】 (1)(2018·全国Ⅱ卷改编)已知 f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满
足 f(1-x)=f(1+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=________.
(2)(2017·南京、盐城调研)已知函数 f(x)= {-x2+2x,x ≤ 0,
ln(x+1),x > 0. 若|f(x)|≥ax,则实
数 a 的取值范围是________.
解析 (1)法一 ∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(-x)=-f(x),且 f(0)
=0,∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)=f(2-x),f(-x)=f(2+x),∴f(2+x)=-f(x),∴f(4
+x)=-f(2+x)=f(x),∴f(x)是周期函数,且一个周期为 4,∴f(4)=f(0)=0,f(2)
=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f(1)=-2,∴f(1)+f(2)+
f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.
法二 取一个符合题意的函数 f(x)=2sin πx
2
,则结合该函数的图象易知数列
{f(n)}(n∈N*)是以 4 为周期的周期数列.
故 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=12×[2
+0+(-2)+0]+2+0=2.
(2)函数 y=|f(x)|的图象如图.y=ax 为过原点的一条直线,
当 a>0 时,与 y=|f(x)|在 y 轴右侧总有交点,不合题意;当 a=0 时成立;当 a<
0 时,找与 y=|-x2+2x|(x≤0)即 y=x2-2x 相切的情况,即 y′=2x-2,切线方
程为 y=(2x0-2)(x-x0),由分析可知 x0=0,所以 a=-2,综上,a∈[-2,0].
答案 (1)2 (2)[-2,0]
探究提高 1.(1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析
式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心
(对称轴).
2.(1)涉及到由图象求参数问题时,常需构造两个函数,借助两函数图象求参数范
围.(2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、
不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练 2】 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈[-3,
0]时,f(x)=6-x,则 f(919)=________.
(2)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,
则实数 a 的取值范围是________.
解析 (1)∵f(x+4)=f(x-2),∴f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即 f(x+6)=f(x),
∴f(919)=f(153×6+1)=f(1),又 f(x)在 R 上是偶函数,∴f(1)=f(-1)=6-(-1)=
6,即 f(919)=6.
(2)设 g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,由题知存在唯一的整数 x0,
使得 g(x0)<h(x0),因为 g′(x)=ex(2x+1),可知 g(x)在(-∞,-1
2)上单调递减,在
(-1
2
,+∞)上 单 调 递 增 , 作 出 g(x) 与 h(x) 的 大 致 图 象 如 图 所 示 , 故
{h(0)>g(0),
h(-1) ≤ g(-1),即{a<1,
-2a ≤ -3
e
,所以 3
2e
≤a<1.
答案 (1)6 (2)[ 3
2e
,1)
热点三 函数与方程问题
[考法 1] 函数零点个数的求解
【例 3-1】 (2017·常州模拟)函数 f(x)=4cos2x
2·cos(π
2
-x)-2sin x-|ln(x+1)|的零
点个数为________.
解析 f(x)=4cos2x
2sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin x·(2cos2x
2
-1)-|ln(x+1)|=
sin 2x-|ln(x+1)|,令 f(x)=0,得 sin 2x=|ln(x+1)|.在同一坐标系中作出两个函数
y=sin 2x 与函数 y=|ln(x+1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知,两函数图象有 2 个交点,故函数 f(x)有 2 个零点.
答案 2
探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定定理或数
形结合法,尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的
函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[考法 2] 由函数的零点(或方程的根)求参数
【例 3-2】 (1)(2018·南京、盐城一模)设函数 f(x)是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=
{x(3-x),0 ≤ x ≤ 3,
-3
x
+1,x>3, 若函数 y=f(x)-m 有四个不同的零点,则实数 m 的取
值范围是________.
(2)已知函数 f(x)={2-|x|,x ≤ 2,
(x-2)2,x>2,函数 g(x)=b-f(2-x),其中 b∈R,若函
数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是________.
解析 (1)先画出 x≥0 时的函数图象,再利用偶函数的对称性得到 x<0 时的图象.
令 y=f(x),y=m,由图象可得要有四个不同的零点,则 m∈[1,9
4).
(2)函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,即方程 f(x)-g(x)=0,即 b=f(x)+f(2-x)有
4 个不同实数根,即直线 y=b 与函数 y=f(x)+f(2-x)的图象有 4 个不同的交点,
又 y=f(x)+f(2-x)={x2+x+2,x<0,
2,0 ≤ x ≤ 2,
x2-5x+8,x>2,
作出该函数的图象如图所示,
由图可知,当7
4
<b<2 时,直线 y=b 与函数 y=f(x)+f(2-x)的图象有 4 个不同
的交点,故函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点时,b 的取值范围是(7
4
,2).
答案 (1)[1,9
4) (2)(7
4
,2)
探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
【训练 3】 (2018·苏州期末)设函数 f(x)=x 2+3x+3-a·e x(a 为非零实数),若 f(x)
有且仅有一个零点,则 a 的取值范围为________.
解析 令 f(x)=0,可得x2+3x+3
ex
=a,
令 g(x)=x2+3x+3
ex
,则 g′(x)=(2x+3)·ex-ex·(x2+3x+3)
(ex)2
=-x(x+1)
ex
,
令 g′(x)>0,可得 x∈(-1,0),令 g′(x)<0,可得 x∈(-∞,-1)∪(0,+∞),
所以 g(x)在(-1,0)上单调递增,在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递减.由题意知
函数 y=g(x)的图象与直线 y=a 有且仅有一个交点,结合 y=g(x)及 y=a 的图象
可得 a∈(0,e)∪(3,+∞).
答案 (0,e)∪(3,+∞)
1.解决函数问题切忌忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数 f(x)=
1
xln x
的定义域时,只考虑 x>0,忽视 ln x≠0 的限制.
2.如果一个奇函数 f(x)在原点处有意义,即 f(0)有意义,那么一定有 f(0)=0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;
(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较;
(3)底数不同、指数也不同,或底数不同,真数也不同的两个数,常引入中间量
或结合图象比较大小.
4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,
然后数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就
有几个不同的零点.
一、填空题
1.(2017·苏州调研)已知 f(x)={2x-3,x > 0,
g(x),x < 0 是奇函数,则 f(g(-2))=________.
解析 由题意可得 g(x)=-2-x+3(x<0),则 f(g(-2))=f(-1)=g(-1)=1.
答案 1
2.(2011·江苏卷)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
解析 函数 f(x)的定义域为(-1
2
,+∞),令 t=2x+1(t>0).因为 y=log5t 在 t∈(0,
+∞)上为增函数,t=2x+1 在(-1
2
,+∞)上为增函数,所以函数 y=log5(2x+1)
的单调增区间为(-1
2
,+∞).
答案 (-1
2
,+∞)
3.(2018·苏北四市调研)函数 f(x)={2x,x ≤ 0,
-x2+1,x>0的值域为________.
解析 当 x≤0 时,y=2x∈(0,1];当 x>0 时,y=-x 2+1∈(-∞,1).综上,
该函数的值域为(-∞,1].
答案 (-∞,1]
4.(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin 2x 的图象与 y=cos x 的图象
的交点个数是________.
解析 在区间[0,3π]上分别作出 y=sin 2x 和 y=cos x 的简图如下:
由图象可得两图象有 7 个交点.
答案 7
5.(2012·江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=
{ax+1,-1 ≤ x<0,
bx+2
x+1
,0 ≤ x ≤ 1, 其 中 a , b∈R. 若 f(1
2 )= f(3
2 ), 则 a + 3b 的 值 为
________.
解析 因为函数 f(x)是周期为 2 的函数,所以 f(-1)=f(1)-a+1= b+2
2
,又 f
(1
2 )=f(3
2 )=f(-1
2 ),所以
1
2b+2
3
2
=-1
2a+1,联立列成方程组解得 a=2,b=
-4,所以 a+3b=2-12=-10.
答案 -10
6.(2018·苏州自主学习)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≥0 时,f(x)=2 x,
若对任意的 x∈[a,a+2],不等式 f(x+a)≥f2(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是
________.
解析 法一(利用解析式) 当 x≥0 时,定义在 R 上的偶函数 f(x)=2x,易得 f(x)=
2|x|,x∈R.由 f(x+a)≥f2(x)得,2|x+a|≥(2|x|)2,即|x+a|≥|2x|对于 x∈[a,a+2]恒成
立 , 即 (3x + a)(x - a)≤0 对 于 x∈[a , a + 2] 恒 成 立 , 即
{(3a+a)(a-a) ≤ 0,
[3(a+2)+a](a+2-a) ≤ 0,解得 a≤-3
2.
法二(偶函数的性质) 当 x≥0 时,定义在 R 上的偶函数 f(x)=2x,易得,f(x)=
2|x|,x∈R,易证 f 2(x)=f(2x),x∈R,故由 f(x+a)≥f 2(x)得,|x+a|≥|2x|对于
x∈[a,a+2]恒成立,下同法一.
答案 (-∞,-3
2]
7.(2018·浙江卷改编)函数 y=2|x|sin 2x 的图象可能是________(填序号).
解析 设 f(x)=2|x|sin 2x,其定义域关于坐标原点对称,又 f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=
-f(x),所以 y=f(x)是奇函数,故排除①②;令 f(x)=0,所以 sin 2x=0,所以 2x
=kπ(k∈Z),所以 x=kπ
2 (k∈Z),故排除③.故填④.
答案 ④
8.(2014·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=
|x2-2x+1
2|.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数
a 的取值范围是________.
解析 作出函数 y=f(x)在[-3,4]上的图象,f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=
f(2)=f(3)=f(4)=1
2
,观察图象可得 0<a<1
2.
答案 (0,1
2)
二、解答题
9.已知函数 f(x)=a- 2
2x+1.
(1)求 f(0);
(2)探究 f(x)的单调性,并证明你的结论;
(3)若 f(x)为奇函数,解不等式:f(ax)0,2x2+1>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)
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