高中数学人教a必修5模块综合测评1word版含解析
模块综合测评(一)
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若 a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.1
a>1
b B.b
a>1
C．a2
0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0
C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0
【解析】 ∵a3，a4，a8 成等比数列，∴a24＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1
＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即 a1d＝－5
3d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋
nn－1
2 d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－2
3d2<0.
【答案】 B
9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0(n∈N*)，bn 是 an 和 an＋1 的等差中项，
设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和，则 S6＝( )
A．189 B．186 C．180 D．192
【解析】 由 an＋1＝2an，知{an}为等比数列，
∴an＝2n.
∴2bn＝2n＋2n＋1，
即 bn＝3·2n－1，
∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.
【答案】 A
10．已知 a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1
a
＋1
b
＋1
c
，则( )
A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0
【解析】 法一 取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则 T＝－3
2<0，排除 A，C，D，可知选 B.
法二 由 a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设 a>0，b<0，c<0，
则 T＝1
a
＋1
b
＋1
c
＝ab＋bc＋ca
abc
＝ab＋cb＋a
abc
＝ab－c2
abc .
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故 T<0，应选 B.
【答案】 B
11．△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B＝2A，a＝1，b
＝ 3，则 c＝( )
A．2 3 B．2 C. 2 D．1
【解析】 由正弦定理得： a
sin A
＝ b
sin B
，
∵B＝2A，a＝1，b＝ 3，
∴ 1
sin A
＝ 3
2sin Acos A.
∵A 为三角形的内角，∴sin A≠0.
∴cos A＝ 3
2 .
又 0＜A＜π，∴A＝π
6
，∴B＝2A＝π
3.
∴C＝π－A－B＝π
2
，∴△ABC 为直角三角形．
由勾股定理得 c＝ 12＋ 32＝2.
【答案】 B
12．一个等比数列前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，
则该数列有( )
A．13 项 B．12 项 C．11 项 D．10 项
【解析】 设该数列的前三项分别为 a1，a1q，a1q2，后三项分别为 a1qn－3，
a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积 a31q3＝2，后三项之积 a31q3n－6＝4，两式相乘，得
a61q3(n－1)＝8，即 a21qn－1＝2.又 a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以 an1·q
nn－1
2 ＝64，即(a21qn
－1)n＝642，即 2n＝642，所以 n＝12.
【答案】 B
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横
线上)
13．在△ABC 中，BC＝2，B＝π
3
，当△ABC 的面积等于 3
2
时，sin C＝________.
【导学号：05920086】
【解析】 由三角形的面积公式，得 S＝1
2AB·BCsin π
3
＝ 3
2
，易求得 AB＝1，
由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos π
3
，得 AC＝ 3，再由三角形的面
积公式，得 S＝1
2AC·BCsin C＝ 3
2
，即可得出 sin C＝1
2.
【答案】 1
2
14．(2015·湖北高考)若变量 x，y 满足约束条件
x＋y≤4，
x－y≤2，
3x－y≥0，
则 3x＋y 的
最大值是________．
【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设 z＝3x＋y，则 y＝－3x＋z，
平移直线 y＝－3x 知当直线 y＝－3x＋z 过点 A 时，z 取得最大值．
由 x＋y＝4，
x－y＝2，
可得 A(3,1)．故 zmax＝3×3＋1＝10.
【答案】 10
15．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种
酒每瓶 70 元，不加附加税时，每年大约产销 100 万瓶，若政府征收附加税，每
销售 100 元要征税 k 元(叫做税率 k%)，则每年的产销量将减少 10k 万瓶．要使每
年在此项经营中所收取附加税金不少于 112 万元，则 k 的取值范围为________．
【解析】 设产销量为每年 x 万瓶，则销售收入每年 70x 万元，从中征收的
税金为 70x·k%万元，其中 x＝100－10k.由题意，得 70(100－10k)k%≥112，整理
得 k2－10k＋16≤0，解得 2≤k≤8.
【答案】 [2,8]
16．观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…
照此规律，第 n 个等式可为 12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝________.
【解析】 分 n 为奇数、偶数两种情况．
第 n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n－1n2.
当 n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7
＋11＋15＋…＋2n－1)＝－
n
2
×3＋2n－1
2
＝－nn＋1
2 .
当 n 为奇数时，第 n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－2)2－(n－1)2]＋
n2＝－nn－1
2
＋n2＝nn＋1
2 .
综上，第 n 个等式为
12－22＋32－…＋(－1)n－1n2
＝(－1)n＋1nn＋1
2 .
【答案】 (－1)n＋1nn＋1
2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
若 m＝(a2＋c2－b2，－ 3a)，n＝(tan B，c)，且 m⊥n，求∠B 的值．
【解】 由 m⊥n 得
(a2＋c2－b2)·tan B－ 3a·c＝0，
即(a2＋c2－b2)tan B＝ 3ac，得 a2＋c2－b2＝ 3ac
tan B
，
所以 cos B＝a2＋c2－b2
2ac
＝ 3
2tan B
，
即 tan Bcos B＝ 3
2
，即 sin B＝ 3
2
，
所以∠B＝π
3
或∠B＝2π
3 .
18．(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比
数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7, 求 b6. 【导学号：05920087】
【解】 ∵S9＝－36＝9a5，∴a5＝－4，
∵S13＝－104＝13a7，∴a7＝－8.
∴b26＝b5·b7＝a5 ·a7＝32.
∴b6＝±4 2.
19．(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R). 【导学号：
05920088】
【解】 原不等式可化为
ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.
(1)当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0⇒x≤－1；
(2)当 a>0 时，原不等式化为 x－2
a (x＋1)≥0⇒x≥2
a
或 x≤－1；
(3)当 a<0 时，原不等式化为 x－2
a (x＋1)≤0.
①当2
a>－1，即 a<－2 时，原不等式等价于－1≤x≤2
a
；
②当2
a
＝－1，即 a＝－2 时，原不等式等价于 x＝－1；
③当2
a<－1，即－20 时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪
2
a
，＋∞
.
20．(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，
c，已知 a＝1，b＝2，cos C＝1
4.
(1)求△ABC 的周长；
(2)求 cos A 的值．
【解】 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×1
4
＝4.
∴c＝2.∴△ABC 的周长为 a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C＝1
4
，∴sin C＝ 1－cos2C＝ 1－
1
4 2＝ 15
4 .
∴sin A＝asin C
c
＝
15
4
2
＝ 15
8 .
∵a
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