高二数学人教a必修5练习：3-3-1二元一次不等式（组）与平面区域word版含解析
§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标
1．了解二元一次不等式表示的平面区域．
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
含有两个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式．
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧
所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式 Ax＋By＋C≥0 表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C 所得的符号都相同．
(2)在直线 Ax＋By＋C＝0 的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 Ax0＋By0＋C 的符号可以断
定 Ax＋By＋C>0 表示的是直线 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域．
一、选择题
1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A.
y≥－2
3x－2y＋6>0
x<0
B.
y≥－2
3x－2y＋6≥0
x≤0
C.
y>－2
3x－2y＋6>0
x≤0
D.
y>－2
3x－2y＋6<0
x<0
答案 C
解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图
知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以 C 正确．
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线 3x＋y－a＝0 的两侧，则 a 的取值范围是( )
A．(－1,6) B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－1
0 的点(x，y)所在的区域为( )
答案 B
解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0 等价于不等式组
(Ⅰ)
x－y>0，
x＋2y－2>0
或不等式组(Ⅱ)
x－y<0，
x＋2y－2<0.
分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并
集，可得正确答案为 B.
4．不等式组
4x＋3y≤12，
x－y>－1，
y≥0
表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
答案 C
解析 画出可行域后，可按 x＝0，x＝1，x＝2，x＝3 分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，
(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共 6 个．
5．在平面直角坐标系中，不等式组
x＋y≥0，
x－y＋4≥0，
x≤a
(a 为常数)表示的平面区域的面
积是 9，那么实数 a 的值为( )
A．3 2＋2 B．－3 2＋2
C．－5 D．1
答案 D
解析 区域如图，
易求得 A(－2,2)，B(a，a＋4)，
C(a，－a)．
S△ABC＝1
2|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得 a＝1.
6．若不等式组
x≥0，
x＋3y≥4，
3x＋y≤4
所表示的平面区域被直线 y＝kx＋4
3
分为面积相等的两部
分，则 k 的值是( )
A.7
3 B.3
7 C.4
3 D.3
4
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线 y＝kx＋4
3
过定点 0，4
3 .因此只有直线过 AB 中点时，直线 y＝kx＋4
3
能平分平面
区域．
因为 A(1,1)，B(0,4)，所以 AB 中点 M
1
2
，5
2 .
当 y＝kx＋4
3
过点
1
2
，5
2 时，5
2
＝k
2
＋4
3
，
所以 k＝7
3.
二、填空题
7．△ABC 的三个顶点坐标为 A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC 的内部及边界所
对应的二元一次不等式组是________________．
答案
x＋2y－1≥0
x－y＋2≥0
2x＋y－5≤0
解析
如图直线 AB 的方程为 x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线 AC 的方程为 2x＋y－5＝0，
直线 BC 的方程为 x－y＋2＝0，
把(0,0)代入 2x＋y－5＝－5<0，
∴AC 左下方的区域为 2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC 区域(含边界)为
x＋2y－1≥0
x－y＋2≥0
2x＋y－5≤0
.
8．已知 x，y 为非负整数，则满足 x＋y≤2 的点(x，y)共有________个．
答案 6
解析 由题意点(x，y)的坐标应满足
x∈N
y∈N
x＋y≤2
，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，
(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6 个．
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式 2x－y＋a>0 表示的平面区域内，则 a 的取值
范围为________．
答案 －10
a＋1≤0
.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则 a≤0
a＋1>0
，∴－11，y＝ax 恰好经过 A 点时，由 a2＝9，得 a＝3.
要满足题意，
需满足 a2≤9，解得 14
3
时，表示区域是△AOB；
当 x＋y＝a 过 B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时 a＝1；
当 0
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