【数学】重庆市北碚区西南大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题（解析版）

【数学】重庆市北碚区西南大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题（解析版）

www.ks5u.com 重庆市北碚区西南大学附属中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.经过点与的直线方程为（    ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将点的坐标代入选项可得，直线符合，‎ 故选：A.‎ ‎2.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，直线过抛物线的焦点，则抛物线方程为（    ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴，‎ 则该抛物线的焦点在轴上， 直线与轴交点为（0，2），即抛物线的焦点为（0，2）；‎ 则抛物线开口向上，设抛物线方程为， 则，则，即抛物线的方程为； 故选：B.‎ ‎3.若表示面积为的圆的方程，则实数的值为（   ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程表示圆，且圆的半径为，‎ 可得，可得，‎ 解得，经检验，均符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎4.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 则该椭圆的标准方程为：，则，解得，‎ 故选：C.‎ ‎5.已知双曲线C：的离心率为，则点(3，0)到双曲线C渐近线的距离为（   ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：双曲线C：的离心率为， 可得，即：，解得， 双曲线C：的渐近线方程为：， 点(3，0)到C的渐近线的距离为：. 故选：D.‎ ‎6.已知圆与圆相交，则实数a的取值范围是（    ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】圆，其圆心为，半径， 圆，其圆心为，半径为， 根据两圆相交的充要条件：两个圆的圆心距大于半径差，小于半径和，‎ 得，解得或 ，‎ 故选：C.‎ ‎7.已知抛物线，若过点的直线与抛物线交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则p的值为（    ）‎ A. 2 B. 4 C. 7 D. 与直线AB的斜率有关 ‎【答案】A ‎【解析】若OA⊥OB，设直线，‎ 代入抛物线方程可得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 即直线过点　，，，‎ 故选：A ‎8.方程对应的曲线为（     ）‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 线段 D. 射线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 即，‎ 其表示动点到定点和定点的距离的和为，且大于点和点的距离，故方程对应的曲线为椭圆，‎ 故选：A.‎ ‎9.下列命题错误的是（　　　　）‎ ‎①与表示的是同一条抛物线 ‎②所有过原点的直线都可设为；‎ ‎③若方程表示圆，则必有 ‎④椭圆的短轴长为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】①中，其仅表示抛物线的一部分，与表示的不是同一条抛物线，故错误；‎ ‎②所有过原点的直线中，不可设为，故错误；‎ ‎③若方程表示圆，则必有，故正确；‎ ‎④椭圆标准方程为，，故错误.‎ 故选：D.‎ ‎10.为迎接祖国“70岁”生日，某画家准备在一个外形为半个椭圆的墙面上开辟一个矩形墙面作画，如图，已知米，米，，则该画家能够作画的最大面积是（     ）‎ A. 10平方米 B. 平方米 C. 15平方米 D. 平方米 ‎【答案】C ‎【解析】以为坐标原点，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则，‎ 则题中半个椭圆所在椭圆方程为：，‎ 设点，‎ 这四边形的面积为，‎ 当时，四边形的面积最大，最大为，‎ 故选：C.‎ ‎11.已知，点P为抛物线上一动点，点P到直线的距离是，则的最小值为（     ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵抛物线的准线方程为，焦点坐标， 因为点在抛物线外， 设点到直线的距离为，则， 根据抛物线的定义可得， 的最小值为， 故选：A.‎ ‎12.双曲线C：左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，B为虚轴的上顶点，若直线上存在两点使得，且过双曲线的右焦点作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的 范围是（    ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线上存在两点使得等价于以线段为直径的圆与直线相交，‎ 由已知， ，即，‎ ‎，即，‎ 即，‎ 即，解得，‎ 又过双曲线的右焦点作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，‎ 则，，解得，‎ 综上双曲线离心率的范围是，‎ 故选：D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．‎ ‎13.直线的倾斜角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，直线的斜率为，故倾斜角为，‎ 故答案为：.‎ ‎14.经过点，，的圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆的方程为，‎ 由已知可得，解得：，‎ 故圆的方程为，即，‎ 故答案为：.‎ ‎15.过点P(2，4)作两条互相垂直的直线，若交x轴于A点，交y轴于B点，若点M是线段AB上的点，且满足，则点M的轨迹方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，当，得，‎ ‎，当，得，‎ 则，设，‎ 由已知，，‎ 得，‎ 消去得，‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知方程的图像是双曲线，且该双曲线的渐近线分别是直线，则双曲线的焦距为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】的对称中心是，‎ 对称轴是，又双曲线的渐近线分别是直线，‎ 故双曲线为等轴双曲线，则，‎ 联立，解得，‎ ‎，解得，故，‎ 所以，即焦距为，‎ 故答案为：‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17.已知直线，．‎ ‎(1)若，求实数a的值；‎ ‎(2)点关于直线l1的对称点Q在直线l2上，求实数a的值．‎ ‎【解】(1) ∵l1∥l2，∴ ；‎ ‎(2) 设 ，‎ ‎∵关于对称，‎ ‎∴ ，解得 ，‎ ‎∴代入l2得：，∴ .‎ ‎18.已知点F是椭圆C：的右焦点，且其短轴长，若 点满足(其中点O为坐标原点)．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点B，若点P是线段BQ的中点，求该直线方程；若，求实数a的值；‎ ‎【解】(1) 由题意知：，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，由，解得，‎ ‎∴椭圆方程为：；‎ ‎(2)设直线l为：，‎ 联立，得，∴，‎ ‎∵P为BQ中点，∴，‎ 即， 代入得：，‎ 解得： ，经检验时，，‎ ‎∴直线l的方程为.‎ ‎19.已知双曲线C：与双曲线 有相同的渐近线，且双曲线C过点．‎ ‎(1)若双曲线C的左、右焦点分别为，，双曲线C上有一点P，使得，求△的面积；‎ ‎(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若△的周长是，求直线l的方程．‎ ‎【解析】(1) 设双曲线C：，点代入得： ‎ ‎∴双曲线C：‎ 在△PF1F2中，设 ，‎ ‎∴ ，‎ 由②得：，‎ ‎，  ，‎ ‎∴；‎ ‎(2) ∵ ‎ ‎∴ ，‎ ‎1°当直线AB斜率不存在时，，不符合题意（舍）‎ ‎2°当直线AB斜率存在时，设AB： ，‎ 联立： ，‎ ‎∴，‎ 解得：，此时 ，‎ ‎∴直线l方程：或.‎ ‎20.若圆的内接矩形的周长最大值为．‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．‎ ‎【解析】(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x> 0，y> 0)，‎ 则，∴矩形周长 ，‎ ‎∵　， ∴，  ‎ ‎∴，当且仅当取“=”‎ ‎∴矩形周长的最大值为，‎ ‎∴r = 2，∴圆O的方程：‎ ‎(2)设直线AB：， ,‎ 联立：，‎ 消去y并整理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ 同理： ‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴异号，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎21.已知抛物线E：焦点F，过点F且斜率为2的直线与抛物线交于A、B两点，且．‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)设O是坐标原点，P，Q是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 ‎①证明：直线PQ必过定点，并求出定点G的坐标；‎ ‎②过G作PQ的垂线交抛物线于C，D两点，求四边形PCQD面积的最小值．‎ ‎【解】(1) 设直线： ，联立：，‎ 得：， ‎ ‎∵，∴p = 2，‎ ‎∴抛物线方程为： ；‎ ‎(2) ①设直线PQ： ‎ 联立：得：，‎ ‎∴，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴或（舍），∴ ‎ ‎② ‎ 同理 ‎ ‎ ，‎ 设，∴ ，‎ ‎∵在递增，‎ ‎∴当t = 2时，即时，∴‎ ‎22.已知圆，A为圆O1上任意一点，点D在线段上．，已知，．‎ ‎(1)求点D的轨迹方程H；‎ ‎(2)若直线与方程H所表示的图像交于E，F两点，是椭圆上任意一点．若OG平分弦EF，且，，试判断四边形OEGF形状并证明．‎ ‎【解】(1) ∵，‎ ‎∴DC为AB中垂线，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴D的轨迹是以为焦点的椭圆，且 ，‎ ‎ ，解得，‎ ‎∴点D轨迹方程H：；‎ ‎(2)联立，，‎ 设 ，‎ ‎∵OG平分EF，∴由中点弦公式有，①‎ ‎∴，‎ 又G到EF距离为，‎ ‎ ∴，‎ 利用①以及有，‎ 化为，‎ 令，则 （*），观察有t = 1是一解，‎ ‎∴，又，∴，‎ 又由，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴方程（*）有唯一解t = 1即，‎ ‎∴ ，∴EF也平分OG，‎ 故四边形OEGF对角线相互平分，四边形OEGF是平行四边形.‎