吉林省白城市洮北区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题
白城一中 2019-2020 学年度下学期期期中考试
高二数学（理）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求。）
1.抛物线 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
即 , ,焦点在 轴负半轴上，所以焦点坐标为 .
故选 C.
2.下列命题中为真命题的是( )
A. 命题“若 ，则 ”的逆命题
B. 命题“ ，则 ”的否命题
C. 命题“若 ，则 ”的否命题
D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题
【答案】A
【解析】
命题“若 ,则 ”的逆命题为“若 ,则 ” ，所以为真
命 题 ； 命 题 “ 若 , 则 ” 的 否 命 题 为 “ 若 , 则 ”，因 为 -2 , 但
，所以为假命题；命题“若 ,则 ”的否命题为“若 ,则
”，因为当 时 ，所以为假命题；命题“若 ,则 ”
为假命题，所以其逆否命题为假命题，因此选 A
3.已知直线 l 与平面 α 垂直，直线 l 的一个方向向量为 ＝(1，－3，z)，向量 ＝(3，－
2,1)与平面 α 平行，则 z 等于（ ）
A. 3 B. 6 C. －9 D. 9
21
2y x= −
1(0, )8
1( )8 ,0− 1(0, )2
− 1( ,0)2
−
21
2y x= − 2 2yx = − 1p = y 10, 2
−
x y> x y>
1x > 2 1x >
1x = 2 2 0x x+ − =
2 0x > 1x >
x y> x y> x y> x y> x y y> ≥因为
1x > 2 1x > 1x ≤ 2 1x ≤ 1≤
( )22 1− > 1x = 2 2 0x x+ − = 1x ≠
2 2 0x x+ − ≠ 2x = − 2 2 0x x+ − = 2 0x > 1x >
u v
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得 ，可得 ，即可得出 ．
【详解】由题意可得 ，
，
解得 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了线面位置关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
4.已知 ，那么命题 的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解 : p：x2－x<0 的充要条件为 0
> 1
4
2 0x y± = 2 0x y± = 3 0x y± =
【答案】C
【解析】
试题分析：因为双曲线 一个焦点到一条渐近线的距离为 所以
因 此 因 为 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为
所以该双曲线的渐近线方程是 .
考点：双曲线的渐近线方程
7.过点 P(2,2)作抛物线 的弦 AB,恰好被 P 平分，则弦 AB 所在的直线方程是（ ）
A. x-y=0 B. 2x-y-2=0 C. x+y-4=0 D. x+2y-6=0
【答案】A
【解析】
【分析】
先设出直线方程，再联立直线方程与抛物线方程整理可得 ， 的横坐标与直线的斜率之间
的关系式，结合弦 恰好是以 为中点，以及中点坐标公式即可求出直线的斜率，进而求出
直线方程．
【详解】由题得直线存在斜率，
设 ， ， ， ，弦 所在直线方程为： ，
即 ，
联立 ，消去 整理得 ．
不满足题意，
当 时，
由题得 且 ，
弦 恰好是以 为中点，
．
的
3 0x y± =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > ,b
2 , 2 .4
cb c b= = 3 .a b=
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
,by xa
= ± 3 0x y± =
2y 4x=
A B
AB P
1(A x 1)y 2(B x 2 )y AB (2 2)y k x− = −
2 2y kx k= + −
2
2 2
4
y kx k
y x
= + −
=
y 2 2 2[2 (2 2 ) 4] (2 2 ) 0k x k k x k+ − − + − =
0k =
0k ≠
2 2 2[2 (2 2 ) 4] 4 (2 2 ) 0k k k k∆ = − − − × − > 1 2 2
2 (2 2 ) 4k kx x k
− −+ = −
AB P
2
2 (2 2 ) 4 4k k
k
− −∴− =
解得 ．满足
所以直线方程为 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于利用中点坐标公式
以及韦达定理得到关于直线的斜率的等式，是中档题．
8.直三棱柱 ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E 为 BB′的中点，异面直线 CE
与 所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. - D.
【答案】D
【解析】
【分析】
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求
出异面直线 与 所成角的余弦值．
【详解】直三棱柱 中， ， ， 为 的中点．
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ，
，2， ， ，0， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ．
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
1k = 2 2 2[2 (2 2 ) 4] 4 (2 2 ) 0k k k k∆ = − − − × − >
y x=
A
C A′
5
5
5
5
− 10
10
10
10
C CA x CB y CC′ z
CE C A′
ABC A B C− ′ ′ ′ AC BC AA= = ′ 90ACB∠ = ° E BB′
C CA x CB y CC′ z
2AC BC AA= = ′ = (0C 0) (0E 1) (0C′ 2) (2A 0)
(0CE = 1) (2C A′ = 2)−
CE C A′ θ
| | 2 10cos 10| | | | 5 8
CE C A
CE C A
θ ′= = =
′
∴ CE C A′ 10
10
D
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与双
曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）
A. B. (1,2), C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值
小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】已知双曲线 的右焦点为 ，
若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，
，离心率 ，
，
故选： ．
【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
10.在椭圆 上有一点 P，F1、F2 是椭圆的左、右焦点，△F1PF2 为直角三角形，这样
2 2
2 2 1x y
a b
− =
[2, )+∞ (2, )+∞ (1,2]
F 3
π
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F
F 3
π
b
a
∴ 3b
a
2 2
2
2 4a be a
+=
2e∴
A
2 2
14 2
x y+ =
的点 P 有（ ）
A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点 对 、 张开的角 最大，可得 ．当
轴或 轴时，也满足题意．即可得出．
【详解】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点 对 、 张开的角 最大，
， ， ，此时 ．这样的点 P 有两个；
当 轴或 轴时，也满足题意．这样的点 P 有 4 个；
因此△ 为直角三角形，则这样的点 有 6 个．
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
11.设 F1，F2 是双曲线 的两个焦点，P 在双曲线上，当△F1PF2 的面积为 时，
的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
求得双曲线的焦点坐标，利用△ 的面积为 ，确定 的坐标，运用两点的距离公式，
即可求得结论．
【详解】双曲线 的两个焦点坐标为 ，
设 的坐标为 ，则
△ 的面积为 ，
(0, 2)iB ± 1F 2F θ 90θ = °
1PF x⊥ 2PF x⊥
(0, 2)iB ± 1F 2F θ
2b = 2a = 2c = 90θ = °
1PF x⊥ 2PF x⊥
1 2F PF P
2
2 13
x y− = 3
1 2PF PF
1 2F PF 3 P
2
2 13
x y− = 1( 2,0)F − 2 (2,0)F
P ( , )x y
1 2F PF 3
，
，代入双曲线方程解得 ，不妨取 ， ，
，
故选： ．
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查两点的距离公式，确定 的坐标是关键，是中档
题．
12.椭圆 C： （a＞b＞0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A，B
两点，F1A 与 y 轴相交于点 D，若 BD⊥F1A，则椭圆 C 的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得 ， 的坐标，且知点 为 的中点，再由 ，利用斜率之积等于
列式求解．
【详解】由题意可得， ， ，
则点 为 的中点， ，
由 ，得 ，
即 ，整理得 ，
，
∴
解得 ．
故选： ．
∴ 1 4 | | 32 y× × =
3| | 2y∴ = 21| | 2x = 21( 2P 3)2
2 2 2 2
1 2
21 3 21 3| || | ( 2) ( ) ( 2) ( ) 10 2 21 10 2 21 42 2 2 2PF PF∴ = + + − + = + − =
C
P
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1
3 3 1
2
3
3
A B D 1F A 1BD F A⊥ 1−
2
( , )bA c a
2
( , )bB c a
−
D 1F A
2
(0, )2
bD a
∴
1BD F A⊥
1
1BD F Ak k = −
2 2 2
2 12
b b b
a a a
c c
− −
= −
23 2b ac=
∴ 2 23( ) 2a c ac− =
23 +2 3 0e e − =
3
3e =
D
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.已知点 是抛物线 上的一个动点，则 到点 的距离与 到该抛物线准线的
距离之和的最小值为__________．
【答案】 .
【解析】
分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得 ，再求出
的值即可.
详解：依题设 P 在抛物线准线的投影为 ，抛物线的焦点为 F，则 ，
依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 ，
则点 P 到点 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和，
.
故答案为： .
点睛：本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数
形结合等数学思想.
14.命题“∃x0∈R, ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题得“ x0∈R, ”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于 的
不等式，解不等式即得解.
【详解】由题得“ x0∈R, ”为真命题,
所以 ，
P 2 2y x= P ( )0,2 P
17
2
d PF PA AF= + ≥ | |AF
'P
1 ,02F
PP PF′ =
( )0,2A
2
21 1722 2d PF PA AF = + ≥ = + =
17
2
2
0 04 1 0− +
由
整理得 3x2-10x+3=0，所以 x1=3，x2= ，（x1＞x2）
∴由抛物线的定义知
= = ，
故答案为 3。
考点：本题主要考查抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系。
点评：中档题，涉及直线与抛物线的位置关系，由于曲线方程已确定，所以通过解方程组，
得到点的坐标，利用抛物线的定义，得到线段长度得解。
三、解答题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17.设命题 p：实数 x 满足 ，其中 ；命题 q：实数 x 满足
若 ，且 为真，求实数 x 的取值范围．
若 是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
若 ，分别求出 p，q 成立的等价条件，利用 为真，求实数 x 的取值范围；
利用 是 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
【详解】由 得 ，其中 ，
得 ， ，则 p： ， ．
由
解得 ．
即 q： ．
若 ，则 p： ，
若 为真，则 p，q 同时为真，
1
3
1
2
1
1
x
x
+
+
3 1 31 13
+ =
+
2 2x 4ax 3a 0− + < a 0> x 3 0x 2
− ≤−
( )1 a 1= p q∧
( )2 p¬ q¬
( )2,3 1 2a< ≤
( )1 1a = p q∧ ( )2
p￢ q￢
2 2x 4ax 3a 0− + < ( )( )x a x 3a 0− − < a 0>
a x 3a< < a 0> a x 3a< < a 0>
x 3 0x 2
− ≤−
2 x 3< ≤
2 x 3< ≤
( )1 a 1= 1 x 3< <
p q∧
即 ，解得 ，
实数 x 的取值范围 ．
若 是 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件，
，即 ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将 是
的充分不必要条件，转化为 q 是 p 的充分不必要条件是解决本题的关键．
18.已知双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点(4 6)．
(1)求双曲线方程；
(2)若双曲线的左，右焦点分别是 F1，F2，试问在双曲线上是否存在点 P，使得|PF1|＝5|PF2|.
请说明理由.
【答案】（1） ；（2）不存在
【解析】
【分析】
（1）由题得 ，解方程组即得双曲线方程；（2）假设在双曲线上存在点 P，使
得|PF1|＝5|PF2|，则点 P 只能在右支上．先求出|PF1|＝5，|PF2|＝1，分析得到此种情况不存
在.
【详解】(1)椭圆 的焦点在 x 轴上，且 ，即焦点为(±4,0)，
于是可设双曲线方程为 ，
则有 解得 a2＝4，b2＝12，
,
{ 2 x 3
1 x 3
< ≤
< < 2 x 3< <
∴ ( )2,3
( )2 p￢ q￢
{ 3 3
2
a
a
>
∴ ≤ { 1
2
a
a
>
≤
1 2a< ≤
p￢ q￢
2 2
125 9
x y+ =
2 2
14 12
x y− =
2 2
2 2
16
16 36 1
a b
a b
+ = − =
2 2
125 9
x y+ = 25 9 4= − =c
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2
2 2
16
16 36 1
a b
a b
+ = − =
故双曲线方程为 .
(2)假设在双曲线上存在点 P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点 P 只能在右支上．由于在双曲线
中，由双曲线定义知，|PF1|-5|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.
但当点 P 在双曲线右支上时，点 P 到左焦点 F1 的距离的最小值应为 a＋c＝6，
故不可能有|PF1|＝5，即在双曲线上不存在点 P，使得|PF1|＝5|PF2|
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的定义和简单几何性质，意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19.已知定点 A(a,0)，其中 0
5 33 a< < 9 273 5 5a< <
2
min| | 6 9 1PA a a= − + =
20. 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD
中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30°的角.
求证:(1)CM∥平面 PAD.
(2)平面 PAB⊥平面 PAD.
【答案】见解析
【解析】
建立空间直角坐标系.(1)可证明 与平面 PAD 法向量垂直;也可将 分解为平面 PAD 内的
两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明.
(2)取 AP 中点 E,利用向量证明 BE⊥平面 PAD 即可.
【证明】由题意可知:
以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系 Cxyz.
∵PC⊥平面 ABCD,
∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角,
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2 ,PB=4.
∴D(0,1,0),B(2 ,0,0),
A(2 ,4,0),P(0,0,2),M( ,0, ),
∴ =(0,-1,2), =(2 ,3,0),
=( ,0, ).
的
(1)方法一:令 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,则
即 ∴
令 y=2,得 n=(- ,2,1).
∵n· =- × +2×0+1× =0,
∴n⊥ .又 CM⊄平面 PAD,
∴CM∥平面 PAD.
方法二:∵ =(0,1,-2), =(2 ,4,-2),
假设 ∥平面 PAD,
则存在 x0,y0 使 =x0 +y0 ,则
方程组的解为
∴ =- + .
由共面向量定理知 与 , 共面,故假设成立.
又∵CM⊄平面 PAD
∴CM∥平面 PAD.
(2)取 AP 的中点 E,连接 BE,则 E( ,2,1),
=(- ,2,1).
易知 PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵ · =(- ,2,1)·(2 ,3,0)=0,
∴ ⊥ ,∴BE⊥DA.又 PA∩DA=A,
∴BE⊥平面 PAD.
又∵BE⊂平面 PAB,
∴平面 PAB⊥平面 PAD.
,
DP· =0,{
DA· =0,
n
n
DP· =0,{
DA· =0,
n
n
21.已知动圆 恒过点 ，且与直线 ： 相切.
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（2）探究在曲线 上，是否存在异于原点的两点 ， ，当 时，
直线 恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）轨迹方程为 ；（2）直线 过定点 .
【解析】
(1)因为动圆 M,过点 F 且与直线 相切, 所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 的距
离.根据抛物线的定义可以确定点 M 的轨迹是抛物线，易求其方程.
（II）本小题属于存在性命题，先假设存在 A,B 在 上, 直线 AB 的方程:
,即 AB 的方程为 ,然后根据
,∴AB 的方程为 ,从而可确定其所过定点.
解：(1) 因为动圆 M,过点 F 且与直线 相切,
所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 的距离. …………2 分
所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, 为准线的抛物线,且 , , ……4 分
所以所求的轨迹方程为 ……………6 分
(2) 假设存在 A,B 在 上, …………7 分
∴直线 AB 的方程: , …………9 分
即 AB 的方程为: , …………10 分
即 …………11 分
又∵ ∴AB 的方程为 ，…………12 分
令 ,得 ，所以,无论 为何值,直线 AB 过定点(4,0) …………14 分
M (1,0)F l 1x = −
M C
C 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 16y y = −
AB
2 4y x= AB (4,0)
(1,0) : 1l x = − l
2 4y x=
2 1
1 1
2 1
( )y yy y x xx x
−− = −−
2 2
1 2 1 1 2 1( ) 4y y y y y y x y+ − − = −
1 2 16y y = − 1 2( ) (16 4 ) 0y y y x+ + − =
(1,0) : 1l x = −
l
l 12
p = 2p =
2 4y x=
2 4y x=
2 1
1 1
2 1
( )y yy y x xx x
−− = −−
2
1
1
1 2
4 ( )4
yy y xy y
− = −+
2 2
1 2 1 1 2 1( ) 4y y y y y y x y+ − − = −
1 2 16y y = − 1 2( ) (16 4 ) 0y y y x+ + − =
0y = 4x = 1 2,y y
22.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 P ，过它的左、右焦点
分别作直线 l1 和 12.l1 交椭圆于 A.两点，l2 交椭圆于 C,D 两点， 且
(1)求椭圆的标准方程.
(2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题得关于 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程;（2）当 与 中有一条直
线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，求出此时四边形的面积；若 与 的斜率都存在，
设 的斜率为 ，则 的斜率为 ．求出 ，再利
用基本不等式求 S 的取值范围.
【详解】（1）由 得 ，所以 ，
将点 P 的坐标代入椭圆方程得 ，
故所求椭圆方程为 .
（2）当 与 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，
此时四边形的面积为 ，
若 与 的斜率都存在，设 的斜率为 ，则 的斜率为 ．
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2
31, 2
1 2,F F 1 2l l⊥
2 2
14 3
x y+ = 288 ,649S ∈
, ,a b c 1l 21
1l 21
1l k 21 1
k
− 1 | | | |2S AB CD= ⋅ ( )
( ) ( )
22
2 2
72 1
4 3 3 4
k
k k
+
=
+ ⋅ +
1
2
c
a
= 2a c= 2 2 2 24 , 3= =a c b c
2 1c =
2 2
14 3
x y+ =
1l 21
6S =
1l 21 1l k 21 1
k
−
直线 的方程为 ，设 ， ，联立 ，
消去 整理得，
， ，
，
同理得 ，
所以 ，
令 ，
，
(当且仅当 t=1 时取到等号)
综上可知，四边形 面积的 .
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用基本不等式求最值，考查直线和椭圆
的位置关系和面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
1l ( 1)y k x= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
= + + =
y ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0+k x k x k+ + − =
2
1 2 2
8- 4 3
kx x k
+ = +
2
1 2 2
4 12
4 3
−⋅ = +
kx x k
2
1 2 2
12 1
4 3
+− = +
kx x k
( )2
2
1 2 2
12 1
| | 1 4 3
+
= + − = +
k
AB k x x k
( )2
2
12 1
| | 3 4
+
= +
k
CD k
( )
( ) ( )
22
2 2
72 11 | | | |2 4 3 3 4
+
= ⋅ =
+ ⋅ +
k
S AB CD
k k
2 (0, )= ∈ +∞k t
( )22
2
6 12 25 12 672(1 ) 6 6 2886 612(4 3) (3 4) 12 25 12 49 4912 25
+ + −+= = = − ≥ − =+ ⋅ + + + + +
t t ttS t t t t t t
ACBD 288 ,649S ∈