高中数学第三章不等式3-3-2简单的线性规划问题课时作业含解析新人教A版必修5

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高中数学第三章不等式3-3-2简单的线性规划问题课时作业含解析新人教A版必修5

课时作业23 简单的线性规划问题 时间:45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1.设实数x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为( A )‎ A.-2 B.1‎ C.8 D.13‎ 解析:不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.‎ 由z=3x-2y得y=x-,平移直线y=x,‎ 经过A(0,1)时,-最大,此时z最小,‎ z最小=3×0-2×1=-2.故选A.‎ ‎2.若点(x,y)在曲线y=-|x|与y=-2所围成的封闭区域内(包括边界),则2x-y的最大值为( C )‎ A.-6 B.4‎ C.6 D.8‎ 解析:‎ 如图,点(x,y)在阴影部分区域内,设2x-y=z,则y=2x-z,当直线y=2x-z过点A(2,-2)时-z最小,此时z最大.‎ 7‎ z最大=2×2-(-2)=6.故选C.‎ ‎3.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为( B )‎ A.- B. C. D.或 解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,‎ 则解得m=.‎ ‎4.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( A )‎ A.-1 B.-1‎ C.2-1 D.-1‎ 解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到Q的最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.‎ ‎5.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=( B )‎ A.-16 B.-6‎ C.- D.6‎ 7‎ 解析:‎ 由z=x+3y得y=-x+.先作出的图象,如图,‎ 因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.‎ ‎6.已知点P(x,y)的坐标满足约束条件若z=x+3y+m的最小值为6,则m=( D )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:根据题意,作出可行域(图略),由图可知目标函数在点处取得最小值6,从而m=6--=4.‎ 二、填空题 ‎7.若变量x,y满足约束条件则z=5y-x的取值范围是[-8,16].‎ 解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.作直线l0:y=x,平移直线l0.由图可知,当l0移至过点A(4,4)时可得zmax=16,当l0移至过点B(8,0)时可得zmin=-8,∴z=5y-x的取值范围是[-8,16].‎ ‎8.设实数x,y满足则u=的取值范围是.‎ 解析:‎ 7‎ 作出可行域如图阴影部分所示,由u==+1,令z=,表示点(x,y)与原点连线的斜率,由图象数形结合知,zmin=kOB,zmax=kOA,‎ 由得点B的坐标为(3,1).‎ 由得点A的坐标为(1,2).‎ 则zmin=,zmax=2,即∈.‎ 故∈,所以u=+1∈.‎ ‎9.已知x,y满足约束条件点A(2,1),B(x,y),O为坐标原点,则·最大值时为.‎ 解析:‎ 画出可行域,如图中的阴影部分.已知点A(2,1),B(x,y),O为坐标原点,则·=2x+y.由图可知,当直线y=-2x+z过点C时,z有最大值.解方程组得 故zmax=2×+=.‎ 三、解答题 ‎10.设z=2y-2x+4,已知x,y满足条件求z的最大值和最小值.‎ 解:作出满足不等式组的可行域,如图所示的阴影部分.‎ 7‎ 作直线l:2y-2x=t.‎ 当l经过点A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8;‎ 当l经过点B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4.‎ ‎11.设x,y满足条件 ‎(1)求v=的最大值与最小值;‎ ‎(2)求u=x2+y2的最大值与最小值.‎ 解:画出满足条件的可行域如图所示,‎ ‎(1)v=表示可行域内的点P(x,y)与定点D(5,0)的斜率,由图可知,kBD最大,kCD最小,又C(3,8),B(3,-3),‎ 所以vmax==,vmin==-4.‎ ‎(2)x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点x2+y2的值都相等,由图可知:当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大,过(0,0)时,u最小,点C坐标为(3,8),‎ 所以umax=73,umin=0.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为( A )‎ A.-3 B.-2‎ C.-1 D.0‎ 7‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由z=x+y,得y=-x+z,由图可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z在y轴上的截距最大,此时z最大为6,由得即点A(k,k),∴z=k+k=6,得k=3.当直线y=-x+z经过点B时,z取得最小值,由解得即点B(-6,3),此时z的最小值为-6+3=-3.‎ ‎13.已知变量x,y满足约束条件若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为( C )‎ A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)‎ C.[-1,1] D.[-1,1)‎ 解析:由题意作出可行域,如图所示,由图易知a≤1,x+2y≥-5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x+2y=-5的右上方,即点A在直线x+2y=-5上或其右上方,易知A点坐标为(a,a-1),所以a+2(a-1)≥-5,所以实数a的取值范围为[-1,1].‎ ‎14.若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是3.‎ 解析:‎ 7‎ 作出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示,令z=2y-x,作出直线2y-x=0,平移该直线,当直线过点A(1,2)时,2y-x取得最小值,最小值为2×2-1=3.‎ ‎15.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?‎ 解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x分钟、y分钟,总收益为z万元,由题意得:‎ 目标函数为z=3 000x+2 000y.‎ 作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图阴影部分所示:‎ 作直线l即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.‎ 由解得 即M(100,200).‎ 则zmax=3 000x+2 000y=700 000(元),‎ 即该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司收益最大,最大收益是70万元.‎ 7‎
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