2019版一轮复习理数通用版第六单元 解三角形
第六单元 解三角形
教材复习课 “解三角形”相关基础知识一课过
正弦定理、余弦定理
[过双基]
1．正弦定理
a
sin A
＝ b
sin B
＝ c
sin C
＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：
(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos_A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos_C.
余弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a2
2bc
，cos B＝a2＋c2－b2
2ac
，cos C＝a2＋b2－c2
2ab .
1．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝2，c＝2 3，cos A＝ 3
2
，
且 b＜c，则 b＝( )
A．3 B．2 2
C．2 D. 3
解析：选 C 由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋12－6b，解得 b＝2 或 4，∵b＜c，
∴b＝2.
2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2＝bc，则角 A 的大
小为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选 B 由余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccos A，又因为 b2＋c2－a2＝bc，所以 cos
A＝1
2
，则 A＝60°.
3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asin A＋bsin B
1.
∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝2a，b＝4，cos B＝1
4.
则 c 的值为( )
A．4 B．2
C．5 D．6
解析：选 A ∵c＝2a，b＝4，cos B＝1
4
，
∴由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，
即 16＝1
4c2＋c2－1
4c2＝c2，
解得 c＝4.
4．已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若 A＝π
3
，b＝2acos B，c＝
1，则△ABC 的面积等于( )
A. 3
2 B. 3
4
C. 3
6 D. 3
8
解析：选 B 由正弦定理得 sin B＝2sin Acos B，
故 tan B＝2sin A＝2sinπ
3
＝ 3，又 B∈(0，π)，所以 B＝π
3
，
又 A＝B＝π
3
，则△ABC 是正三角形，
所以 S△ABC＝1
2bcsin A＝1
2
×1×1× 3
2
＝ 3
4 .
5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(a2＋
b2－c2)tan C＝ab，则角 C 的大小为( )
A.π
6
或5π
6 B.π
3
或2π
3
C.π
6 D.2π
3
解析：选 A 由题意知，a2＋b2－c2
2ab
＝ 1
2tan C
⇒cos C＝ cos C
2sin C
，
sin C＝1
2
，又 C∈(0，π)，∴C＝π
6
或5π
6 .
6．已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得∠ABC＝
120°，则 A，C 两地间的距离为( )
A．10 km B．10 3 km
C．10 5 km D．10 7 km
解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－
2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10 7(km)．
7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2＝(a
－b)2＋6，C＝π
3
，则△ABC 的面积是( )
A．3 B.9 3
2
C.3 3
2 D．3 3
解析：选 C ∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝π
3
，∴c2＝a2＋b2－2abcos π
3
＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即 ab＝6.
∴S△ABC＝1
2absin C＝1
2
×6× 3
2
＝3 3
2 .
8．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 n mile 的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30
分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B
处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( )
A．10 2 n mile B．10 3 n mile
C．20 3 n mile D．20 2 n mile
解析：选 A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20，
∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得 BC
sin 30°
＝ AB
sin 45°
，解得 BC
＝10 2.
故 B，C 两点间的距离是 10 2 n mile.
二、填空题
9．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos C＝－1
4
，3sin A
＝2sin B，则 c＝________.
解析：因为 3sin A＝2sin B，所以由正弦定理可得 3a＝2b，则 b＝3，由余弦定理可得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3× －1
4 ＝16，则 c＝4.
答案：4
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若角 A，B，C 成等差数列，
且边 a，b，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．
解析：∵在△ABC 中，角 A，B，C 成等差数列，
∴2B＝A＋C，由三角形内角和定理，可得 B＝π
3
，
又∵边 a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac，
由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos B，
∴ac＝a2＋c2－ac，即 a2＋c2－2ac＝0，
故(a－c)2＝0，可得 a＝c，
所以△ABC 的形状为等边三角形．
答案：等边三角形
11．已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝x，b＝2，B＝45°，
若三角形有两解，则 x 的取值范围为________．
解析：由 AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以 C 为圆心，以 2 为半径的圆与
AB 有两个交点，当 A＝90°时，圆与 AB 相切，只有一解；当 A＝45°时，交于 B 点，也就
是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足 45°b，
a＝5，c＝6，sin B＝3
5.
(1)求 b 和 sin A 的值；
(2)求 sin 2A＋π
4 的值．
[解] (1)在△ABC 中，因为 a>b，
故由 sin B＝3
5
，可得 cos B＝4
5.
由已知及余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
所以 b＝ 13.
由正弦定理 a
sin A
＝ b
sin B
，得 sin A＝asin B
b
＝3 13
13 .
所以 b 的值为 13，sin A 的值为3 13
13 .
(2)由(1)及 a0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，
故选 A.
3．(2018·太原模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2
＝ 3bc，且 b＝ 3a，则下列关系一定不成立的是( )
A．a＝c B．b＝c
C．2a＝c D．a2＋b2＝c2
解析：选 B 由余弦定理，得 cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝ 3bc
2bc
＝ 3
2
，则 A＝30°.又 b＝ 3a，
由正弦定理得 sin B＝ 3sin A＝ 3sin 30°＝ 3
2
，所以 B＝60°或 120°.当 B＝60°时，△ABC
为直角三角形，且 2a＝c，可知 C、D 成立；当 B＝120°时，C＝30°，所以 A＝C，即 a＝c，
可知 A 成立，故选 B.
4．在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则 cos∠DAC＝
( )
A. 10
10 B.3 10
10
C. 5
5 D.2 5
5
解析：选 B 如图所示，设 CD＝a，则易知 AC＝ 5a，AD＝ 2a，在
△ACD 中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝( 2a)2＋
( 5a)2－2× 2a× 5a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝3 10
10 .
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC 的面积为 S，且 2S
＝(a＋b)2－c2，则 tan C 等于( )
A.3
4 B.4
3
C．－4
3 D．－3
4
解析：选 C 因为 2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
则由面积公式与余弦定理，得 absin C＝2abcos C＋2ab，
即 sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，
即sin2C－4sin Ccos C＋4cos2C
sin2C＋cos2C
＝4，
所以tan2C－4tan C＋4
tan2C＋1
＝4，
解得 tan C＝－4
3
或 tan C＝0(舍去)．
6．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 b2＋c2－a2＝bc，AB―→
· BC―→
>0，
a＝ 3
2
，则 b＋c 的取值范围是( )
A. 1，3
2 B.
3
2
，3
2
C.
1
2
，3
2 D.
1
2
，3
2
解析：选 B 在△ABC 中，b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理可得 cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝ bc
2bc
＝1
2
，
∵A 是△ABC 的内角，∴A＝60°.
∵a＝ 3
2
，
∴由正弦定理得 a
sin A
＝ b
sin B
＝ c
sin C
＝ c
sin120°－B
＝1，
∴b＋c＝sin B＋sin(120°－B)＝3
2sin B＋ 3
2 cos B
＝ 3sin(B＋30°)．
∵ AB―→
· BC―→＝| AB―→
|·| BC―→
|·cos(π－B)>0，
∴cos B<0，B 为钝角，
∴90°0，所以 c＝3.
故△ABC 的面积 S＝1
2bcsin A＝3 3
2 .
法二：由正弦定理，得 7
sin π
3
＝ 2
sin B
，从而 sin B＝ 21
7
，
又由 a>b，知 A>B，所以 cos B＝2 7
7 .
故 sin C＝sin(A＋B)＝sin B＋π
3 ＝sin Bcos π
3
＋cos Bsin π
3
＝3 21
14 .
所以△ABC 的面积 S＝1
2absin C＝3 3
2 .
12．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin B·(acos B＋bcos A)＝ 3ccos
B.
(1)求 B；
(2)若 b＝2 3，△ABC 的面积为 2 3，求△ABC 的周长．
解：(1)由正弦定理得，
sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝ 3sin Ccos B，
∴sin Bsin(A＋B)＝ 3sin Ccos B，
∴sin Bsin C＝ 3sin Ccos B.
∵sin C≠0，∴sin B＝ 3cos B，即 tan B＝ 3.
∵B∈(0，π)，∴B＝π
3.
(2)∵S△ABC＝1
2acsin B＝ 3
4 ac＝2 3，∴ac＝8.
根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B，
∴12＝a2＋c2－8，即 a2＋c2＝20，
∴a＋c＝ a＋c2＝ a2＋2ac＋c2＝6，
∴△ABC 的周长为 6＋2 3.
1．在平面五边形 ABCDE 中，已知∠A＝120°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠E＝90°，AB
＝3，AE＝3，当五边形 ABCDE 的面积 S∈ 6 3，33 3
4 时，则 BC 的取值范围为________．
解析：因为 AB＝3，AE＝3，且∠A＝120°，
由余弦定理可得 BE＝ AB2＋AE2－2AB·AE·cos A＝3 3，且∠ABE＝∠AEB＝30°.
又∠B＝90°，∠E＝90°，所以∠DEB＝∠EBC＝60°.
又∠C＝120°，所以四边形 BCDE 是等腰梯形．
易得三角形 ABE 的面积为9 3
4
，
所以四边形 BCDE 的面积的取值范围是
15 3
4
，6 3 .
在等腰梯形 BCDE 中，令 BC＝x，则 CD＝3 3－x，且梯形的高为 3x
2
，
故梯形 BCDE 的面积为1
2·(3 3＋3 3－x)· 3x
2
，
即 15≤(6 3－x)x<24，
解得 3≤x<2 3或 4 3
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