2019版一轮复习理数通用版“空间位置关系”双基过关检测

2019版一轮复习理数通用版“空间位置关系”双基过关检测

“空间位置关系”双基过关检测 一、选择题 1．设三条不同的直线 l1，l2，l3，满足 l1⊥l3，l2⊥l3，则 l1 与 l2( ) A．是异面直线 B．是相交直线 C．是平行直线 D．可能相交、平行或异面 解析：选 D 如图所示，在正方体 ABCDEFGH 中，AB⊥AD， AE⊥AD，则 AB∩AE＝A；AB⊥AE，AE⊥DC，则 AB∥DC；AB⊥AE， FH⊥AE，则 AB 与 FH 是异面直线，故选 D. 2．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列几种说法正确的是( ) A．A1B∥D1B1 B．AC1⊥B1C C．A1B 与平面 DD1B1B 成 45°角 D．A1B 与 B1C 成 30°角 解析：选 B 易知四边形 BDD1B1 是平行四边形，所以 DB∥D1B1， 又因为 A1B 与 DB 相交，所以 A1B 与 D1B1 是异面直线，故 A 错误；连 接 A1C1 交 B1D1 于点 O，连接 BO，易知 A1C1 垂直平面 DD1B1B，所以 A1B 与平面 DD1B1B 成 30°角，故 C 错误；连接 A1D，则三角形 A1BD 是 等边三角形，且 A1D∥B1C，则 A1B 与 B1C 成 60°角，故 D 错误，选 B. 3．已知空间两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是 ( ) A．若 m∥α，n∥β，α∥β，则 m∥n B．若 m∥α，n⊥β，α⊥β，则 m∥n C．若 m⊥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n D．若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n 解析：选 D 若 m∥α，n∥β，α∥β，则 m 与 n 平行或异面，即 A 错误； 若 m∥α，n⊥β，α⊥β，则 m 与 n 相交或平行或异面，即 B 错误； 若 m⊥α，n∥β，α⊥β，则 m 与 n 相交、平行或异面，即 C 错误，故选 D. 4.(2018·广东模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，在此几何体中，给 出下面四个结论： ①BE 与 CF 异面； ②BE 与 AF 异面； ③EF∥平面 PBC； ④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B 画出该几何体，如图， 因为 E，F 分别是 PA，PD 的中点，所以 EF∥AD， 所以 EF∥BC，BE 与 CF 是共面直线，故①不正确； ②BE 与 AF 满足异面直线的定义，故②正确； ③由 E，F 分别是 PA，PD 的中点，可知 EF∥AD，所以 EF∥BC，因为 EF⊄平面 PBC， BC⊂平面 PBC，所以 EF∥平面 PBC，故③正确； ④因为 BE 与 PA 的关系不能确定，所以不能判定平面 BCE⊥平面 PAD，故④不正确．故 选 B. 5.如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为 O， M 为 PB 的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面 AMC；②OM∥平面 PCD；③OM∥平面 PDA；④OM∥平面 PBA；⑤OM∥平面 PBC.其中正 确的个数有( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C 因为矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， 所以 O 为 BD 的中点． 在△PBD 中，M 是 PB 的中点， 所以 OM 是△PBD 的中位线，OM∥PD， 则 PD∥平面 AMC，OM∥平面 PCD，且 OM∥平面 PDA. 因为 M∈PB，所以 OM 与平面 PBA、平面 PBC 相交． 6．(2018·余姚模拟)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分 别是 BC1，CD1 的中点，则下列说法错误的是( ) A．MN 与 CC1 垂直 B．MN 与 AC 垂直 C．MN 与 BD 平行 D．MN 与 A1B1 平行 解析：选 D 如图，连接 C1D，在△C1DB 中，MN∥BD，故 C 正确；∵CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN 与 CC1 垂直，故 A 正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN 与 AC 垂直， 故 B 正确，故选 D. 7.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两 个动点 E，F，且 EF＝1 2 ，则下列结论中错误的是( ) A．AC⊥BE B．EF∥平面 ABCD C．三棱锥 ABEF 的体积为定值 D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 解析：选 D 因为 AC⊥平面 BDD1B1，BE⊂平面 BDD1B1，所以 AC⊥BE，A 项正确； 根据线面平行的判定定理，知 B 项正确；因为三棱锥的底面△BEF 的面积是定值，且点 A 到平面 BDD1B1 的距离是定值 2 2 ，所以其体积为定值，C 项正确；很显然，点 A 和点 B 到 EF 的距离不相等，故 D 项错误． 8．(2018·福州质检)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC1 的中点，则在 空间中与直线 A1B1，EF，BC 都相交的直线( ) A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 解析：选 D 在 EF 上任意取一点 M，直线 A1B1 与 M 确定一个 平面，这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N，当 M 的位置不同时确 定不同的平面，从而与 BC 有不同的交点 N，而直线 MN 与 A1B1， EF，BC 分别有交点 P，M，N，如图，故有无数条直线与直线 A1B1， EF，BC 都相交． 二、填空题 9．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c 为三条交线，且 a∥b，则 a，b，c 的位 置关系是________． 解析：∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α. 又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c. 答案：a∥b∥c 10．(2018·天津六校联考)设 a，b 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给 出下列命题： ①若 a∥α且 b∥α，则 a∥b； ②若 a⊥α且 a⊥β，则α∥β； ③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β； ④若α⊥β，则一定存在直线 l，使得 l⊥α，l∥β. 其中真命题的序号是________． 解析：①中 a 与 b 也可能相交或异面，故不正确． ②垂直于同一直线的两平面平行，正确． ③中存在γ，使得γ与α，β都垂直，正确． ④中只需直线 l⊥α且 l⊄β就可以，正确． 答案：②③④ 11．如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 CC1，AD 的中 点，那么异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于________． 解析：取 BB1 的中点 G，连接 FG，A1G，易得 A1G∥D1E， 则∠FA1G 是异面直线 D1E 和 A1F 所成角或补角， 易得 A1F＝A1G＝ 5，FG＝ 6， 在三角形 FA1G 中， 利用余弦定理可得 cos∠FA1G＝ 5＋5－6 2× 5× 5 ＝2 5. 答案：2 5 12．(2017·全国卷Ⅲ)a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角 边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60°. 其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号) 解析：由题意，AB 是以 AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线， 又 AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面， ∴在底面内可以过点 B，作 BD∥a，交底面圆 C 于点 D， 如图所示，连接 DE，则 DE⊥BD，∴DE∥b，连接 AD， 设 BC＝1，在等腰△ABD 中，AB＝AD＝ 2， 当直线 AB 与 a 成 60°角时，∠ABD＝60°，故 BD＝ 2， 又在 Rt△BDE 中，BE＝2，∴DE＝ 2， 过点 B 作 BF∥DE，交圆 C 于点 F，连接 AF，EF， ∴BF＝DE＝ 2， ∴△ABF 为等边三角形， ∴∠ABF＝60°，即 AB 与 b 成 60°角，故②正确，①错误． 由最小角定理可知③正确； 很明显，可以满足平面 ABC⊥直线 a， ∴直线 AB 与 a 所成角的最大值为 90°，④错误． ∴正确的说法为②③. 答案：②③ 三、解答题 13.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线 A1B 与 B1C1 所成的角等于 60°，设 AA1＝a. (1)求 a 的值； (2)求三棱锥 B1A1BC 的体积． 解：(1)∵BC∥B1C1， ∴∠A1BC 就是异面直线 A1B 与 B1C1 所成的角， 即∠A1BC＝60°. 又 AA1⊥平面 ABC，AB＝AC，则 A1B＝A1C， ∴△A1BC 为等边三角形， 由 AB＝AC＝1，∠BAC＝90°⇒BC＝ 2， ∴A1B＝ 2⇒ 1＋a2＝ 2⇒a＝1. (2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∩AB＝A， ∴CA⊥平面 A1B1B， ∴VB1A1BC＝VCA1B1B＝1 3 ×1 2 ×1＝1 6. 14．如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB＝ 4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F 分别是棱 AD，AA1，AB 的中点． (1)证明：直线 EE1∥平面 FCC1； (2)证明：平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 证明：(1)∵F 是 AB 的中点，AB∥ CD，AB＝4，BC＝CD＝2， ∴AF 綊 CD，∴四边形 AFCD 为平行四边形， ∴CF∥AD. 又 ABCDA1B1C1D1 为直四棱柱， ∴C1C∥D1D. 而 FC∩C1C＝C，D1D∩DA＝D， ∴平面 ADD1A1∥平面 FCC1. ∵EE1⊂平面 ADD1A1， ∴EE1∥平面 FCC1. (2)在直四棱柱中，CC1⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， ∴CC1⊥AC， ∵底面 ABCD 为等腰梯形，AB＝4，BC＝2，F 是棱 AB 的中点， ∴CF＝AD＝BF＝2， ∴△BCF 为正三角形，∠BCF＝∠CFB＝60°， ∠FCA＝∠FAC＝30°， ∴AC⊥BC. 又 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C， ∴AC⊥平面 BB1C1C，而 AC⊂平面 D1AC， ∴平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.