湖南省娄底市双峰县第一中学湘潭县一中2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题

湖南省娄底市双峰县第一中学湘潭县一中2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题

‎2019年下学期湘潭县一中、双峰县一中高二9月联考试题卷 数学科目 一、选择题 ‎1.设集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，故，故选B．‎ 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．‎ ‎2.已知，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由，得：，所以，选项A,B,C均不正确；‎ 因为函数为增函数，所以，故选D．‎ 考点：1、不等式的性质；2、指数函数．‎ ‎3.在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（ ）‎ A. 9 B. 12 C. 15 D. 18‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据等差数列的性质得出2a9=a5+a13，然后将值代入即可求出结果．‎ 解：∵{an}是等差数列 ‎∴2a9=a5+a13‎ a13=2×6﹣3=9‎ 故选A．‎ 考点：等差数列的通项公式．‎ ‎4.在中，，，，则为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据大边对大角可知最大内角为；利用余弦定理可求得，可知为钝角，从而得到结果.‎ ‎【详解】 最大内角为 且 ‎ 为钝角三角形 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够通过求解最大角的余弦值确定最大角所处的范围.‎ ‎5.等比数列中，，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列的公比为，则，则，故填.‎ 考点：等比数列的性质.‎ ‎6.下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是(　　)‎ A. y＝tan x B. y＝cos x C. y＝tan D. y＝|sin x|‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选项中所给函数都是偶函数，不符合；‎ 选项中所给的函数的周期为，不符合；‎ 故选 ‎7.设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵是与的等比中项，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当且，即时等号成立．选D．‎ ‎8.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，再向右平移个单位，得到的图象，此图象关于直线对称，故，解得，又，故；故选D.‎ 点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误”，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量而言，如：将的图象将左平移个单位时得到函数的图象，而不是的图象.‎ ‎9.对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，不等式为一元一次不等式，可求得解集不为，不满足题意；当时，根据一元二次不等式与二次函数图象的关系可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】当时，，解得：‎ 不等式不恒成立，不合题意 当时，由对一切实数恒成立可得：‎ ‎，解得：‎ 综上所述：取值范围为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够根据二次函数的图象得到开口方向和判别式的要求；易错点是忽略二次项系数为零的情况，造成求解错误.‎ ‎10.已知数列为等差数列,若,且其前项和有最大值,则使得的最大值为 A. 11 B. 19 C. 20 D. 21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为,所以一正一负,又因为其前项和有最大值,所以,则数列的前10项均为正数,从第11项开始都是是负数,所以又因为,所以,即,所以使得的最大值为19.选B.‎ ‎11.数列满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入求得；当时，可知，与已知等式作差可求得，可知数列为等比数列；由等比数列下标和性质将所求等式化为，求得后代入求得结果.‎ ‎【详解】当时，‎ 当且时，‎ ‎ ‎ 经验证，时，满足 ‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查由数列前项和求解数列通项公式、等比数列的判断、等比数列性质应用等知识；关键是能够确定已知等式为数列的前项和的形式，进而根据前项和与通项关系求得与有关的数列的通项公式.‎ ‎12.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以，‎ 由正弦定理可得 ，即，‎ 所以，因为，所以，‎ 所以，‎ 因为，所以，所以，即，‎ 故选A．‎ 二、填空题 ‎13.在中，若，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在中，由正弦定理可得，即，解得.‎ 因为，所以，得.‎ 故答案为：.‎ ‎14.数列中，若，则 ______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，确定数列为常数数列，即可求出结果.‎ ‎【详解】，则 ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考查转换思想和计算能力.‎ ‎15.已知满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的可行域，由得，平移直线，根据的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．‎ ‎【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．‎ 由得．‎ 平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．‎ 由，解得，‎ 故点A的坐标为，‎ 所以．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．‎ ‎16.设是数列的前项和，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入求得；当时，将变为，分别在为偶数和为奇数的时候求得，然后利用等比数列求和公式求得结果.‎ ‎【详解】当时， ‎ 当且时，‎ 若为偶数，则 若为奇数，则 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用与关系求解通项公式、等比数列求和公式的应用等知识，关键是能够通过分类讨论得到，进而得到的奇数项为等比数列.‎ 三、解答题 ‎17.已知不等式解集为．‎ ‎(1)求，的值；‎ ‎(2)求函数 的最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：第一问应用一元二次不等式解的边界值就是对应的一元二次方程的根，从而将代入，求得的值，代入原不等式，解不等式即可求得的值；第二问先将的值代入，之后对式子进行整理，应用基本不等式求得结果.‎ 详解：(1)∵不等式的解集为 ‎∴1和是方程的两根 ,∴ 解得，. ‎ ‎(2)由(1)得, ‎ 当且仅当，即时，函数有最小值8．‎ 点睛：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出结果；（2）将的值代入，利用对勾函数的单调性也可以求得结果，也可以利用基本不等式求解.‎ ‎18.在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先可以通过解三角形的正弦定理将转化为，再通过三角形的内角的取值范围得出角的值；‎ ‎(2)通过可计算出的值，再通过解三角形的余弦定理得出的值。‎ ‎【详解】解：(1)由正弦定理，‎ 得，‎ 在三角形中，‎ 得因为所以；‎ ‎(2)，‎ ‎， 。‎ ‎【点睛】本题考查解三角形，对于解三角形正弦定理、余弦定理、面积公式能够进行灵活运用。‎ ‎19.已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用和表示出和，解方程组求得和；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得通项公式，采用裂项相消法求得结果.‎ ‎【详解】（1）设等差数列公差为 ‎，即：…①‎ 又成等比数列 ‎ ‎，整理可得：…②‎ 由①②得： ‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够将数列的通项公式进行准确裂项，从而前后相消得到结果，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数，当时，的最小值为. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在中，已知，延长至，使，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用两角和公式、降幂公式及辅助角公式把函数解析式化为标准形式，根据的范围求出的范围，根据的最小值为，求出的值；‎ 利用，求出角，在根据正弦定理、余弦定理及面积公式解题.‎ 试题解析：（Ⅰ），‎ 当时，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由（Ⅰ）知，又,∴，‎ 又∴，‎ 故∴‎ 中，由余弦定理可得：‎ 解得:∴‎ 在中，又 ‎∴，‎ ‎21.某新成立的汽车租赁公司今年年初用102万元购进一批新汽车，在使用期间每年有20万元的收入，并立即投入运营，计划第一年维修、保养费用1万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加1万元，该批汽车使用后同时该批汽车第年底可以以万元的价格出售.‎ ‎（1）求该公司到第年底所得总利润（万元）关于（年）的函数解析式，并求其最大值；‎ ‎（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，该公司应在第几年底出售这批汽车？说明理由.‎ ‎【答案】（1）当时，，‎ ‎（2）该公司第12年底出售该机器时经济效益最大.理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用收入加上出售价格减去购买费用和维修保养总费用即可得到总利润，由此可构造函数；根据二次函数性质可求得时，总利润最大，代入可求得总利润最大值；（2）年平均利润为，利用基本不等式可求得年平均利润最大时的取值.‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ 且 当时，‎ ‎∴该公司到第年所得的总利润最大，最大值为元 ‎（2）年平均利润为：‎ ‎（当且仅当，即时等号成立）‎ 时，‎ ‎∴该公司在第年底出售该机器时经济效益最大 ‎【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题的知识，涉及到二次函数最值的求解、利用基本不等式求解最值等知识，属于常考题型.‎ ‎22.已知：在数列中，，．‎ ‎（1）令，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若为数列的前项的和，对任意恒成立，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知得到，从而得，可证得结论；（2）由（1）得，进而得到；利用错位相减法求得，代入，整理为；通过换元法求得的最大值，从而求得结果.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ 可得：，即，又 数列是首项为，公差为的等差数列 ‎（2）由（1）得：‎ ‎ ‎ ‎．‎ 又 整理得：‎ 因为对任意恒成立 所以对任意恒成立 即对任意恒成立 ‎ ‎ 设，则 ‎ 当，即时，‎ ‎ ‎ 的最小值为 ‎【点睛】本题考查等差数列的证明、错位相减法求和问题、数列中的恒成立问题，关键是能够熟练应用数列求和的方法，进而通过分离变量的方式变成所求参数与之间的关系，通过函数求值域的方法得到最值，进而得到结果.‎ ‎ ‎