高考数学一轮复习练案13第二章函数导数及其应用第十讲函数模型及其应用含解析

高考数学一轮复习练案13第二章函数导数及其应用第十讲函数模型及其应用含解析

‎ [练案13]　　第十讲　函数模型及其应用 A组基础巩固 一、单选择 ‎1．现有一组数据如下：‎ t ‎1.99‎ ‎3.0‎ ‎4.0‎ ‎5.1‎ ‎6.12‎ v ‎1.5‎ ‎4.04‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　C　)‎ A．v＝log2t　　 B．v＝logt C．v＝　　 D．v＝2t－2‎ ‎[解析]　解法一：v值随t值增大，且增长速度越来越快，故应选择幂函数模型，仅选项C符合．‎ 解法二：取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝log2＝－1≠1.5；代入C，得v＝＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.其余4组数据同样代入可知C最合要求．故选C.‎ ‎2．(2020·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　C　)‎ A．7　 B．8　‎ C．9　 D．10‎ ‎[解析]　由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6(k－9)2＋864(1≤k≤10，k∈N)，所以当k＝9时，获得利润最大，故选C.‎ ‎3．(2020·安徽马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈ 0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　B　)‎ A．2020年　 B．2021年　‎ C．2022年　 D．2023年 ‎[解析]　若2018年是第一年，则第n年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B.‎ - 7 -‎ ‎4．(2020·河南豫南豫北第二次联考)古代数学名著《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿垣的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？”意思是：有面厚五尺的墙壁，大、小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打1尺，以后每天的速度是前一天的一半．它们多久可以相遇？(　A　)‎ A．天　 B．天　‎ C．天　 D．天 ‎[解析]　由于前两天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打(1＋)尺，因此前两天两只老鼠共打3＋1.5＝4.5(尺)．‎ 第三天，大鼠打4尺，小鼠打尺，因此两只老鼠第三天相遇．‎ 设第三天相遇时，大鼠打y尺，小鼠打(0.5－y)尺，‎ 则＝，所以y＝，因为第三天大鼠的速度是4尺/天，所以第三天进行了＝(天)，所以它们经过2＋＝天可以相遇．故选A.‎ ‎5．(2020·江西南昌二轮复习测试)某地一电商2016年和2017年这两年“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a,2017年的增长率为b，则该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为(　D　)‎ A．　　 B． C.　　 D．－1‎ ‎[解析]　设该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为x，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，∴x＝－1，故选D.‎ ‎6．(2020·云南保山联考)某种新药服用x h后，血液中的药物残留量为y毫克，如图，为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟应在当日(　C　)‎ A．上午10：00‎ - 7 -‎ B．中午12：00‎ C．下午4：00‎ D．下午6：00‎ ‎[解析]　当x∈[0,4]时，设y＝k1x，‎ 把(4,320)代入，得320＝4k1，解得k1＝80，所以y＝80x.‎ 当x∈(4,20]时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)分别代入可得，解得所以y＝400－20x.‎ 所以y＝f(x)＝ 令f(x)＝240，得x＝3或x＝8.‎ 故第二次服药最迟应在当日下午4：00.‎ 二、多选题 ‎7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则要洗的次数是(　CD　)‎ A．2　 B．3　‎ C．4　 D．5‎ ‎[解析]　设至少要洗x次，则(1－)x≤，所以≤，4x≥100，因此至少洗4次，故选C、D.‎ ‎8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙，如图所示，那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中不一定正确的是(　BCD　)‎ A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面 ‎[解析]　由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大，则在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面．故选B、C、D.‎ 三、填空题 ‎9．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射出时，t秒后的高度为x米，可由x＝at－5t2确定，已知射箭2秒后箭离地面高‎100米 - 7 -‎ ‎，则弓箭能达到的最大高度为__‎180米__.‎ ‎[解析]　由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60，所以x＝60t－5t2，而x＝60t－5t2＝－5(t－6)2＋180，则当t＝6时，x的最大值为‎180米，即弓箭能达到的最大高度为‎180米．‎ ‎10．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙最为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过__16__min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．‎ ‎[解析]　当t＝8时，y＝ae－8b＝a，‎ 所以e－8b＝.‎ 容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24.‎ 所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．‎ ‎11．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．小明和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为546.6元．‎ ‎[解析]　依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为 f(x)＝ 当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；‎ 当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.‎ 所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，‎ 又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．‎ 四、解答题 ‎12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．‎ ‎(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？‎ ‎(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．‎ ‎[解析]　(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，‎ 则y＝400＋60t－120，‎ - 7 -‎ 令＝x，则x2＝6t，即t＝，‎ 所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(构建二次函数)‎ 所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，‎ 即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．‎ ‎(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，‎ 解得40.2，不符合要求．‎ 当y＝4lg x－3时，该函数在定义域上为增函数，最大值为9.‎ ≤0.2⇔y－0.2x≤0.令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10,1 000]，则g′(x)＝<0.‎ 所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．‎ - 7 -‎