安徽省滁州市明光市明光中学2019-2020高二下学期月考数学（理）试卷

安徽省滁州市明光市明光中学2019-2020高二下学期月考数学（理）试卷

数学（理科）试卷 一、单选题（共 12 题，每题 5 分） 1．已知复数 z 满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝（ ） A． B．5 C． D． 2．用反证法证明命题“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做 的假设是（　　） A．方程 没有实根 B．方程 至多有一个实根 C．方程 至多有两个实根 D．方程 恰好有两个实根 3．已知函数 的导函数为 且满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知 的图象如图所示,则 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 与 大小不能确定 5．随机变量 的分布列如表所示，若 ，则 （ ） 0 1 A． B． C．5 D．7 6．曲线 与 轴以及直线 所围图形的面积为（ ） A． B． C． D． 7．由“0”、“1”、“2” 组成的三位数码组中，若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件， 用 B 表示“第一位数字为 0”的事件，则 P（A|B）=（ ） A． B． C． D． 2 5 5 2 ,a b 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = ( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 1 lnf x x f x′= ⋅ + 1f e   =   ′ 1 2e − 2e− 1− ( )y f x= ( )Af x′ ( )Bf x′ ( ) ( )A Bf x f x′ ′> ( )= ( )A Bf x f x′ ′ ( ) ( )A Bf x f x′ ′< ( )Af x′ ( )Bf x′ X 1( ) 3E X = (3 2)D X − = X 1− P 1 6 b 5 9 5 3 3πcos 0 2y x x =   ≤ ≤ x 3π 2x = 4 2 5 2 3 2 1 3 1 4 1 8 1 8． 的展开式中 的系数为（ ）． A． B． C．40 D．80 9．若 3 个班分别从 5 个风景点中选择一处浏览，则不同选法的种数是( )种. A．3 B．15 C． D． 10．若随机变量 ，且 ，则 （ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 11．设集合 ，那么集合 中满足条件 “ ”的元素个数为（ ） A．60 B．65 C．80 D．81 12．已知函数 ，若对任意 ，存在 ， 使 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 4 题，每题 5 分） 13．曲线 在点 处的切线方程为__________． 14．复数 为虚数单位）的虚部为__________． 15．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2，要使敌机一旦进入这个区域后 有 0.9 以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知 ， ） 16. 如图所示，由直线 ， ， 及 轴围成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 介 于 小 矩 形 和 大 矩 形 的 面 积 之 间 ， 即 ， 类 比 之 ， ， 恒成立，则实数 ______. 三、解答题（共 6 题，17 题 10 分，18-22 题均为 12 分） 512x x  −   x 80− 40− 53 35 ( )23,X N σ∼ ( )5 0.2P X ≥ = ( )1 5P X< < = ( ) { }{ }1 2 3 4, , , | 1,0,1 , 1,2,3,4iA x x x x x i= ∈ − = A 2 2 2 2 1 2 3 4 4x x x x+ + + ≤ ( ) 21 ln2f x x a x= + [ )( )1 2 1 2, 2,x x x x∈ +∞ ≠ 31, 2a  ∈   ( ) ( )1 2 1 2 f x f x mx x − >− m ( ],2−∞ ( ), 6−∞ 5, 2  −∞   11, 4  −∞   ( ) 12f x x x = − ( )4 1−, 2 (1 iz ii = + lg 2 0.3010= lg 3 0.4771= x a= ( )1 0x a a= + > 2y x= x ( )1 22 2 1a a a x dx a +< < +∫ *n N∀ ∈ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1An n n n n n + + ⋅⋅⋅ + < < + + ⋅⋅⋅ ++ + + − A = 17．已知函数 在 处取得极值. （1）求实数的值；（2）当 时，求函数 的最小值. 18．已知数列 满足 ， . （1）求 ， ， ，并由此猜想出 的一个通项公式（不需证明）； （2）用数学归纳法证明：当 时， . 19．已知 的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项；（2）求展开式中系数最大的项. 20．（本小题满分 13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个 黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱 子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原 箱）（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率；（ii）获奖的概率； （Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数 的分布列． 21．已知函数 . （1）求函数 的单调区间；（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ， 求证： . 22．材料一：2018 年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试 和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“ ”的 考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区 域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命 题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命 题．材料二：2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等 8 省市 发布高考综合改革实施方案，方案决定从 2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考 综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语 3 个科目成绩和考生选择的 3 科 普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为 750 分．即通常所说的“ ”模 式，所谓“ ”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选 3( ) 3 1f x x ax= − − 1x = − [ 2,1]x ∈ − ( )f x { }na 1 2a = ( )2 * 1 1n n na a na n N+ = − + ∈ 2a 3a 4a { }na 1n > 2 1 2 1 1 1 2n n a a a n + +⋅⋅⋅+ < + 4 1 2 n x x  +   X ( ) ( )212 ln 2f x x x ax a R= + − ∈ ( )f x ( )f x 1x 2x ( ]1 0,1x ∈ ( ) ( )1 2 3 2 ln 22f x f x− ≥ − 3 3+ 3 1 2+ + 3 1 2+ + 的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化 学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋 分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为 、 、 、 、 五个等 级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数． （1）若按照“ ”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学” 的概率． （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学 校中抽取高一学生 2500 名参加语数外的网络测试，满分 450 分，并给前 400 名颁发荣誉证 书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为 450 分； ①考生甲得知他的成绩为 270 分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为 171 分，351 分以上共有 57 人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为 430 分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201 分， 351 分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪． 附： ； ； . A B C D E 3 1 2+ + ( ) 0.6828P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + = ( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + = 高二第二次月考答案 一、单选题 1．已知复数 z 满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝（ ） A． B．5 C． D． 2．用反证法证明命题“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做 的假设是（　　） A．方程 没有实根 B．方程 至多有一个实根 C．方程 至多有两个实根 D．方程 恰好有两个实根 3．已知函数 的导函数为 且满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知 的图象如图所示,则 与 的大小关系是 A． B． C． D． 与 大小不能确定 2 5 5 2 ,a b 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = ( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 1 lnf x x f x′= ⋅ + 1f e   =   ′ 1 2e − 2e − 1− e ( )y f x= ( )Af x′ ( )Bf x′ ( ) ( )A Bf x f x′ ′> ( )= ( )A Bf x f x′ ′ ( ) ( )A Bf x f x′ ′< ( )Af x′ ( )Bf x′ 5．随机变量 的分布列如表所示，若 ，则 （ ） 0 1 A． B． C．5 D．7 6．曲线 与 轴以及直线 所围图形的面积为（ ） A． B． C． D． 7．由“0”、“1”、“2” 组成的三位数码组中，若用 A 表示“第二位数字为 0”的事件， 用 B 表示“第一位数字为 0”的事件，则 P（A|B）=（ ） A． B． C． D． 8． 的展开式中 的系数为（ ）． A． B． C．40 D．80 9．若 3 个班分别从 5 个风景点中选择一处浏览，则不同选法的种数是( )种. A．3 B．15 C． D． 10．若随机变量 ，且 ，则 （ ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 11．设集合 ，那么集合 中满足条件 “ ”的元素个数为（ ） A．60 B．65 C．80 D．81 12．已知函数 ，若对任意 ，存在 ， X 1( ) 3E X = (3 2)D X − = X 1− P 1 6 a b 5 9 5 3 3πcos 0 2y x x =   ≤ ≤ x 3π 2x = 4 2 5 2 3 4 1 512x x  −   x 80− 40− 53 35 ( )23,X N σ∼ ( )5 0.2P X ≥ = ( )1 5P X< < = ( ) { }{ }1 2 3 4, , , | 1,0,1 , 1,2,3,4iA x x x x x i= ∈ − = A 2 2 2 2 1 2 3 4 4x x x x+ + + ≤ ( ) 21 ln2f x x a x= + [ )( )1 2 1 2, 2,x x x x∈ +∞ ≠ 31, 2a  ∈   2 1 3 1 8 1 使 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．曲线 在点 处的切线方程为__________． 14．复数 为虚数单位）的虚部为__________． 15．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2，要使敌机一旦进入这个区域后 有 0.9 以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知 ， ） 16. 如图所示，由直线 ， ， 及 轴围成的曲边梯形的面积介于 小 矩 形 和 大 矩 形 的 面 积 之 间 ， 即 ， 类 比 之 ， ， 恒成立，则实数 ______. 三、解答题 17．已知函数 在 处取得极值. （1）求实数 的值； （2）当 时，求函数 的最小值. 18．已知数列 满足 ， . （1）求 ， ， ，并由此猜想出 的一个通项公式（不需证明）； ( ) ( )1 2 1 2 f x f x mx x − >− m ( ],2−∞ ( ), 6−∞ 5, 2  −∞   11, 4  −∞   ( ) 12f x x x = − ( )4 1−, 2 (1 iz ii = + lg 2 0.3010= lg3 0.4771= x a= ( )1 0x a a= + > 2y x= x ( )1 22 2 1a a a x dx a +< < +∫ *n N∀ ∈ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1An n n n n n + +⋅⋅⋅+ < < + +⋅⋅⋅++ + + − A = 3( ) 3 1f x x ax= − − 1x = − a [ 2,1]x∈ − ( )f x { }na 1 2a = ( )2 * 1 1n n na a na n N+ = − + ∈ 2a 3a 4a { }na （2）用数学归纳法证明：当 时， . 19．已知 的展开式中前三项的系数为等差数列. （1）求二项式系数最大项； （2）求展开式中系数最大的项. 20．（本小题满分 13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个 黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱 子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原 箱） （Ⅰ）求在一次游戏中， （i）摸出 3 个白球的概率； （ii）获奖的概率； （Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数 的分布列． 21．已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： . 22．材料一：2018 年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试 和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“ ”的 考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区 域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命 题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命 题．材料二：2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等 8 省市 发布高考综合改革实施方案，方案决定从 2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考 综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语 3 个科目成绩和考生选择的 3 科 普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为 750 分．即通常所说的“ ”模 式，所谓“ ”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选 1n > 2 1 2 1 1 1 2n n a a a n + +⋅⋅⋅+ < + 4 1 2 n x x  +   X ( ) ( )212ln 2f x x x ax a R= + − ∈ ( )f x ( )f x 1x 2x ( ]1 0,1x ∈ ( ) ( )1 2 3 2ln 22f x f x− ≥ − 3 3+ 3 1 2+ + 3 1 2+ + 的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化 学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋 分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为 、 、 、 、 五个等级， 五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数． （1）若按照“ ”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学” 的概率． （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学 校中抽取高一学生 2500 名参加语数外的网络测试，满分 450 分，并给前 400 名颁发荣誉证 书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为 450 分； ①考生甲得知他的成绩为 270 分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为 171 分，351 分以上共有 57 人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为 430 分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201 分， 351 分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪． 附： ； ； . 参考答案 1．C 【解析】 【分析】 利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出. 【详解】 ∵(1＋2i)z＝－3＋4i， ∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|， 则|z|＝ ＝ . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查的是复数的四则运算，以及复数模的求法，是基础题. A B C D E 3 1 2+ + ( ) 0.6828P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + = ( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− ≤ ≤ + = 2 2 2 2 ( 3) 4 1 2 − + + 5 2．A 【解析】 分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程 没有实根． 详解：结论“方程 至少有一个实根”的假设是“方程 没有实根．” 点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的 否定形式如下： 结 论 词 没 有 至 少 有 一 个 至 多 一 个 不 大 于 不 等 于 不 存 在 反 设 词 有 一 个 也 没 有 至 少 两 个 大 于 等 于 存 在 3．B 【解析】 【分析】 利用导数的运算法则求得 ，令 得 ，即得 ，即可求解. 【详解】 ∵函数 的导函数为 ，且满足 ， ∴ ， 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = 3 0x ax b+ + = ( )f x′ 1x = ( )1 1f ′ = − ( ) 1 2f x x ′ = − ( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 1 lnf x x f x′= ⋅ + ( )0x > ( ) ( ) 12 1f x f x ′ ′= + 令 ，则 ，即 ， ∴ ，故 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查导数的运算法则，解决此题的关键是 是一个常数，属于基础题. 4．A 【解析】 由题意可知 表示曲线在点 处切线的斜率 ， 表示曲线在点 处切线的斜率 ， 结合题中的函数图象可知 ，则 . 本题选择 A 选项. 5．C 【解析】 【分析】 由 ，利用随机变量 X 的分布列列出方程组，求出 ， ，由此能求出 ，再由 ，能求出结果． 【详解】 由随机变量 X 的分布列得： ，解得 ， ， 1x = ( ) ( )1 2 1 1f f′ ′= + ( )1 1f ′ = − ( ) 1 2f x x ′ = − 1 2f ee  ′ = −   ( )1f ′ ( )' Af x ( )( ),A Ax f x Ak ( )' Bf x ( )( ),B Bx f x Bk A Bk k> ( ) ( )A Bf x f x>′ ′ 1( ) 3E X = 1 3a = 1 2b = ( )D X (3 2) 9 ( )D X D X− = 1( ) 3E X = ∴ 1 16 1 1 6 3 a b b  + + =  − + = 1 3 1 2 a b  =  = 2 2 21 1 1 1 1 1 5( ) ( 1 ) (0 ) (1 )3 6 3 3 3 2 9D X∴ = − − × + − × + − × = 5(3 2) 9 ( ) 9 59D X D X∴ − = = × = 故选：C． 【点睛】 本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．D 【解析】 试题分析： 考点：定积分的几何意义 7．B 【解析】 试题分析： 考点：条件概率 8．D 【解析】 【分析】 写出 的展开式的通项即可 【详解】 的展开式的通项为 令 得 所以 的展开式中 的系数为 故选：D 【点睛】 本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单. 9．D 【解析】 ( )2 2 00 3 cos 3 sin | 3S xdx x π π = = =∫ ( ) ( ) ( ) 3 1| 3 3 3 n ABP A B n B = = =× 512x x  −   512x x  −   ( ) ( )5 5 5 2 1 5 5 12 1 2 r r rr r r r rT C x C xx − − − +  = − = −   5 2 1r− = 2r = 512x x  −   x ( )2 5 2 2 51 2 80C−− = 【分析】 因为每个班级的选择可以重复出现，由分步计数既可以求得答案. 【详解】 因为每个班级的选择可以重复出现，所以第一个班先选有 5 种；第二班再选有 5 种；最后一 个班最后选有 5 种，分步计数再相乘，则共有 种不同的选法. 故选：D 【点睛】 本题考查分步乘法计数原理求事件的所有可能，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】 根据随机变量 X 服从正态分布 N（3，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=3，根 据正态曲线的特点，即可得到结果． 【详解】 ∵随机变量 X 服从正态分布 N（3，σ2）， ∴对称轴是 x=3． ∵P（X≥5）=0.2， ∴P（1＜X＜5）=1﹣2P（X≥5）=1﹣0.4=0.6． 故选：A． 【点睛】 本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴 为 x=μ，并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近 x 轴，但永不与 x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的． 11．D 【解析】 由题意可得， 成立，需要分五种情况讨论： 当 时，只有一种情况，即 ； 35 2 2 2 2 1 2 3 4 4x x x x+ + + ≤ 2 2 2 2 1 2 3 4 0x x x x+ + + = 1 2 3 4 0x x x x= = = = 当 时，即 ，有 种； 当 时，即 ，有 种； 当 时，即 ，有 种 当 时，即 ，有 种， 综合以上五种情况，则总共为： 种，故选 D. 【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容， 先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住 只能 取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列 举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况. 12．D 【解析】 【分析】 根据条件原问题转化为 （ ），构造函数 ，知其为增函数，求导，知导数 ， 即对任意 ，存在 有 成立，利用对勾函数求最 小值即可求解. 【详解】 不妨设 ， 则由 得： ， 令 ， 则 在 上是增函数， ， 2 2 2 2 1 2 3 4 1x x x x+ + + = 1 2 3 41, 0x x x x= ± = = = 1 42 8C = 2 2 2 2 1 2 3 4 2x x x x+ + + = 1 2 3 41, 1, 0x x x x= ± = ± = = 2 44 24C = 2 2 2 2 1 2 3 4 3x x x x+ + + = 1 2 3 41, 1, 1, 0x x x x= ± = ± = ± = 3 48 32C = 2 2 2 2 1 2 3 4 4x x x x+ + + = 1 2 3 41, 1, 1, 1x x x x= ± = ± = ± = ± 16 81 1 2 3, 4, ,x x x x ( ) ( )11 2 2f x xx m f x m− > − 1 2x x> ( ) 21 ln2( )g x f x x a xx mxm= − = + − ( ) 0ag x x mx ′ = + − ≥ [ )( )1 2 1 2, 2,x x x x∈ +∞ ≠ 31, 2a  ∈   am x x ≤ + 1 2x x> ( ) ( )1 2 1 2 f x f x mx x − >− ( ) ( )11 2 2f x xx m f x m− > − ( ) 21 ln2( )g x f x x a xx mxm= − = + − ( )g x [ )2,+∞ ( ) 0ag x x mx ′∴ = + − ≥ 即对任意 ，存在 ，使得 成立， 令 ，则函数在 上单调递增， 又 ， 所以 在 上递增， 故 ， 即存在 ，使 ， 所以 ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数，求函数最值，转化思想，属于难题. 13． 【解析】 【分析】 先求解出 的导函数 ，再根据导数的几何意义求解出切线的斜率，根据直线的点 斜式方程求解出切线方程. 【详解】 因为 ，由导数的几何意义知 在点 处的切线斜率 ， 则 在点 处的切线方程为： ，即 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查曲线在某点处的切线方程的求解，难度较易.曲线 在某点处 的切 [ )( )1 2 1 2, 2,x x x x∈ +∞ ≠ 31, 2a  ∈   am x x ≤ + ay x x = + [ ,+ )a ∞ 2a < ay x x = + [ )2,+∞ min 2 2 ay = + 31, 2a  ∈   2 2 am ≤ + max 3 112(2 ) 22 2 4 am ≤ + = + = 5y x= − ( )f x ( )f x′ ( ) 2 1 12 2 f x xx ′ = + ( )f x ( )4 1−, ( )4 1k f ′= = ( )f x ( )4 1−, ( )1 1 4y x+ = × − 5y x= − 5y x= − ( )f x ( )( )0 0,x f x 线方程的求解思路：（1）先求导函数 ；（2）计算该点处的导数值 ，即为切 线斜率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程. 14．1 【解析】试题分析： ，即虚部为 1，故填：1. 考点：复数的代数运算 15． 【解析】 【分析】 设需要至少布置 门高炮，则 ，由此能求出结果． 【详解】 解：设需要至少布置 门高炮， 某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2， 要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中， ， 解得 ， ， 需要至少布置 11 门高炮． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率计算公式等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 16 17．（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求导，根据极值的定义可以求出实数 的值； （2）求导，求出 时的极值，比较极值和 之间的大小的关系，最后 ( )f x′ ( )0f x′ 11 n 1 (1 0.2) 0.9n− − > n  1 (1 0.2) 0.9n∴ − − > 10.3n > n N∈ ∴ 11 n A k ln 2 1 3− a [ 2,1]x∈ − ( 2) (1)f f− 、 求出函数的最小值. 【详解】 （1） ，函数 在 处取得 极值，所以有 ； （2）由（1）可知： ， 当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，故函数在 处取得极大值，因此 ， ， ，故函数 的最小值为 . 【点睛】 本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力. 18．（1） ， ， ， （2）证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由 ，得 ； 由 ，得 ； 由 ，得 ； 由此猜想 的一个通项公式： . （2） ①当 时， ，不等式成立， ②假设当 时结论成立，即 ， 3 ' 2( ) 3 1 ( ) 3 3f x x ax f x x a=⇒= − − − 3( ) 3 1f x x ax= − − 1x = − 2' 3( 1( )0 11 3 0) af a− − == ⇒− =⇒ 3 ' 2( ) 3 1 ( ) 3 3 3( 1)( 1)f x x x f x x x x= − − = − = + −⇒ ( 2, 1)x∈ − − ' ( ) 0f x > ( )f x ( 1,1)x∈ − ' ( ) 0f x < ( )f x 1x = − 3( 1) ( 1) =13 ( 1) 1f − = − − × − − 3( 2) ( 2) 3 ( 2) 1 3=f − = − − × − − − 3(1) 1 3 1 1 = 3f = − × − − ( )f x 3− 2 3a = 3 4a = 4 5a = 1na n= + 1 2a = 2 1 12 1 3a a a= − + = 2 3a = 2 3 2 22 1 4a a a= − + = 3 4a = 4 3 3 2 3 1 5a a a= − + = na 1na n= + 2n = 2 1 2 1 1 1 1 5 12 3 2 6 2 2a a + = + = < =+ n k= 2 1 2 1 1 1 2ka a a k k+ +⋅⋅⋅+ < + 当 时， ， 而 ， 所以 即 时，结论也成立． 由①和②可知，当 时， . 【点睛】 本题考查了数列的递推公式，数学归纳法，考查计算、推理与证明的能力，属于中档 题． 19．（1） ；（2） 和 . 【解析】 【分析】 （1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解 的取值，再根据展开 式求解二项式系数最大项； （2）由（1）中展开式，求解系数最大的项. 【详解】 （1）由题意， 的展开式是 ， 化简得 则 ， ， 1n k= + 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2k k k k a a a a k a k k k k k + + ++ +⋅⋅⋅+ + < + = + =+ + + + 2 2 21 ( 1) ( 2) 5 02 3 ( 2)( 3) k k k k k k k + + − + +− = <+ + + + 2 2 1 2 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 3 1 2k k k k a a a a k k+ + ++ +⋅⋅⋅+ + < =+ + + 1n k= + 1n > 2 1 2 1 1 1 2n n a a a n + +⋅⋅⋅ < + 35 8 x 7 47x 5 27x n 4 1 2 n x x  +   ( )1 4 1 2 r n rr r nT C x x − +  =    2 3 2 4 4 1 2 2 n r r n r r r r r r n nT C x x C x − −−− − + = ⋅ = ⋅ ⋅ 0 2 2 1 1 n n nT C x x= ⋅ = ⋅ 2 3 2 3 1 1 4 4 2 2 2 n n n nT C x x − − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ( )3 3 2 2 2 2 3 12 8 n n n n nT C x x − − − −= ⋅ ⋅ = ⋅ 因为，前三项的系数为等差数列，则有 ，解得 或 （舍去） 则 ，则 的展开式是 二项式系数是 ，当 时，二项式系数最大，则 （2）由（1）得， 的展开式是 根据组合数性质， 最大，而 随着 的增大而减小，且 ， 则计算 ， ， ， ， 则当 或 时，系数最大，则系数最大项是 和 【点睛】 本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨 析，属于中等题型. 20．（Ⅰ） （Ⅱ） X 0 1 2 P 【解析】 试题分析：（Ⅰ）中描述的概率都是古典概型概率，求解时找到所有基本事件总数和满足条 件的基本事件个数，求其比值即可（Ⅱ）中找到 2 次试验随机变量出现的次数及对应的概率， 其中概率值为独立重复试验形式的概率，求出概率后汇总为分布列即可 ( )12 12 8 n nn −⋅ = + 8n = 1n = 8n = 8 4 1 2 x x  +   16 3 4 1 8 2 r r r rT C x − − + = ⋅ ⋅ 8 rC 4r = 16 12 4 4 4 5 8 352 8T C x x − −= ⋅ ⋅ = 8 4 1 2 x x  +   16 3 4 1 8 2 r r r rT C x − − + = ⋅ ⋅ 4 8C 2 r− r 2 1r− < 0 0 4 4 1 8 2 1T C x x= ⋅ ⋅ = ⋅ 13 13 1 1 4 4 2 8 2 4T C x x−= ⋅ ⋅ = ⋅ 5 5 2 2 2 2 3 8 2 7T C x x−= ⋅ ⋅ = ⋅ 7 7 3 3 4 4 4 8 2 7T C x x−= ⋅ ⋅ = ⋅ 4 4 5 8 352 8T C x x−= ⋅ ⋅ = ⋅ 2r = 3r = 7 47x 5 27x 1.5 7 .10 9 100 21 50 49 100 试题解析：（I）（i）解：设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 则 3 分 （ii）解：设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 ，又 且 A2，A3 互斥，所以 7 分 （II）解：由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2． 所以 X 的分布列是 X 0 1 2 P 考点：1．古典概型概率；2．随机变量的分布刘 21．（1）见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导数，根据对称轴的正负分类讨论即可求出单调区（2）借助方程有两个不同实根， 将 表达为一元新函数 ，再利用其单调性证明. 【详解】 . （1）当 时， ( 0,1,2,3),iA i= = 2 1 3 2 3 2 2 5 3 1( ) .5 C CP A C C = ⋅ = 2 3B A A=  2 1 12 1 3 3 22 2 2 2 2 2 2 5 3 5 3 1( ) ,2 C C CC CP A C C C C = ⋅ + ⋅ = 2 3 1 1 7( ) ( ) ( ) .2 5 10P B P A P A= + = + = 2 1 2 2 7 9( 0) (1 ) ,10 100 7 7 21( 1) (1 ) ,10 10 50 7 49( 2) ( ) .10 100 P X P X C P X = = − = = = − = = = = 9 100 21 50 49 100 1 2( ) ( )f x f x− 1( )F x ( ) ( )2 ' 2 2 0x axx a xx xf x − += + − = > 2 2a > 由 解得 或 ， 解得 ， 故函数在 增， 减， 增， 当 时， 当 时， ， 所以函数在 增. （2）由于 有两个极值点 ， ， 则 在 上有两个不等的实根 ， ， ∴ ， ， 设 ， 所以 ， 所以 在 上递减， 所以 ， ( ) 0f x′ > 2 80 2 a ax − −< < 2 8 2 a ax + −> ( ) 0f x′ < 2 28 8 2 2 a a a ax − − + −< < 2 80, 2 a a − −    2 28 8,2 2 a a a a − − + −    2 8 ,2 a a + − +∞    2 2a ≤ 0x > ( ) 0f x′ > ( )0, ∞+ ( )f x 1x 2x 2 2 0x ax− + = ( )0,x∈ +∞ 1x 2x ( ) 2 1 2 1 1 21 2 2 1 8 0 2 2 0 12 2 02 a ax x a x a x xx x a x x ∆ = − >  >+ =  < ≤ ⇒ = + =     =>   ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 12ln 2ln2 2f x f x x x ax x x ax   − = + − − + −       ( ) ( )( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 ln ln 2 2x x x x x x x x= − + − − + − 2 2 1 1 1 1 2 1 2 12 ln ln 2 2x xx x    = − + −        ( )2 1 1 12 1 24ln 2ln 2 0 12 xx xx = + − − < ≤ ( ) ( )2 2 24ln 2ln 2 0 12 xxF x xx = + − − < ≤ ( ) ( )222 4 3 3 3 24 4 4 4 0' xx xxx xx xF x − −− −= − − = = < ( )F x ( ]0,1 ( ) ( ) 31 2ln 22F x F≥ = − 即 . 【点睛】 本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，二元函数转化为一元新函数，然后利用其单调 性证明不等式，分类讨论，属于难题. 22．（1） ；（2）①甲同学能够获得荣誉证书；②乙同学所说为假. 【解析】 【分析】 （1）已经选出五科，再从剩余三个科目中选 1 个科目的方法为 ；计算出从物理、历史里 选一门，生物、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门的总方案数，即可得其概率. （2）①由题意可知 ，而 ，结合 原则即可求得 的值.结合获奖 概率，并求得 ，比较后可求得获奖的最低成绩.即可由甲的成绩得知甲能否 获得荣誉证书. ②假设乙所说为真，求得 ，进而求得 的值.从而确定 的值，即可 确定 的概率.比较后即可知该事件为小概率事件，而丙已经有这个成绩，因而可 判断乙所说为假. 【详解】 （1）设事件 A：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”； 则从剩余生物、思想政治、地理三个科目中选择一个有 . 从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门的方案有 种， 所以 . （2）设此次网络测试的成绩记为 . ①由题意可知 ， ( ) ( )1 2 3 2ln 22f x f x− ≥ − 1 4 1 3C 171µ = 57 0.02282500 = 3σ σ ( )P X µ σ≥ + ( )2P X µ σ≥ + σ 3µ σ+ 3X µ σ≥ + 1 3C 1 2 2 4C C ( ) 1 3 1 2 2 4 3 1 4 3 42 2 CP A C C = = =×× ( )2~ ,X N µ σ 171µ = 因为 ，且 ， 所以 ； 而 ， 且 ， 所以前 400 名学生成绩的最低分高于 ， 而考生甲的成绩为 270 分，所以甲同学能够获得荣誉证书. ②假设考生乙所说为真，则 ， ， 而 ，所以 ， 从而 ， 而 ， 所以 为小概率事件，即丙同学的成绩为 430 分是小概率事件，可认为其不可能 发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假. 【点睛】 本题考查了古典概型概率求法，由组合数求法求概率，结合 原则求概率值，并由 原 则判断事件真伪，综合性强，属于难题. 57 0.02282500 = ( )1 2 2 1 0.9544 0.02282 2 P Xµ σ µ σ− − ≤ ≤ + −= = 351 171 902 σ −= = 400 0.162500 = ( ) ( )1 1 0.6828 0.1587 0.162 2 P XP X µ σ µ σµ σ − − ≤ ≤ + −≥ + = = = < 261µ σ+ = 201µ = ( ) ( )1 2 2 1 0.95442 0.02282 2 P XP X µ σ µ σµ σ − − ≤ ≤ + −≥ + = = = 57 0.02282500 = 351 201 752 σ −= = 3 201 3 75 426 430µ σ+ = + × = < ( ) ( )1 3 3 1 0.99743 0.0013 0.0052 2 P XP X µ σ µ σµ σ − − ≤ ≤ + −≥ + = = = < 3X µ σ≥ + 3σ 3σ