【数学】2020届一轮复习人教B版极坐标与参数方程学案

【数学】2020届一轮复习人教B版极坐标与参数方程学案

微专题94 极坐标与参数方程 ‎ 极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题 一、基础知识：‎ ‎（一）极坐标：‎ ‎1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系 ‎2、点坐标的刻画：用一组有序实数对确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常： ‎ ‎3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴重合，则同一个点可具备极坐标和直角坐标，那么两种坐标间的转化公式为：，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程（在转化成时要设法构造 ，然后进行整体代换即可）‎ ‎（二）参数方程：‎ ‎1、如果曲线中的变量均可以写成关于参数的函数，那么就称为该曲线的参数方程，其中称为参数 ‎2、参数方程与一般方程的转化：消参法 ‎（1）代入消参： ‎ ‎（2）整体消参：，由可得： ‎ ‎（3）平方消参：利用消去参数 例如： ‎ ‎3、常见图形的参数方程：‎ ‎（1）圆：的参数方程为：，其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角 ‎（2）椭圆：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为椭圆的离心角 ‎（3）双曲线：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为双曲线的离心角 ‎（4）抛物线：的参数方程为，其中为参数 ‎（5）直线：过，倾斜角为的直线参数方程为，其中代表该点与的距离 注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解 二、典型例题：‎ 例1：已知直线参数方程为，圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为____________‎ 思路：将参数方程转化为一般方程： ‎ 所以圆心为，到直线的距离为： ‎ 答案： ‎ 例2：以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点的极坐标为，曲线的参数方程为，‎ 则曲线上的点到点距离的最大值为___________‎ 思路：，故曲线上距离最远的距离为到圆心的距离加上半径，故 ‎ 答案： ‎ 例3：已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为，则圆截直线所得弦长为__________‎ 思路：圆的方程为：，对于直线方程，无法直接替换为，需构造再进行转换：‎ ‎ ‎ 再求出弦长即可： ‎ 答案： ‎ 例4：已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为_____________‎ 思路：曲线方程为，‎ 联立方程可解得：或（舍）‎ 由可得： 所以，坐标为 ‎ 答案：‎ 例5：在极坐标系中，直线与曲线相交于两点，‎ 且，则实数的值为_____________‎ 思路：先将直线与曲线转化为直角坐标方程：，曲线，所以问题转化为直线与圆相交于，且，利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离即，解得或 ‎ 答案：或 例6：以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点，则_________‎ 思路：先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。对于，这种特殊的极坐标方程可以考虑数形结合来确定直线：即，曲线消参后可得：即圆心是，半径为的圆，所以， ‎ 答案： ‎ 小炼有话说：对于形如的极坐标方程，可以作出图像并根据图像得到直角坐标方程，或者可以考虑对赋予三角函数，然后向直角坐标进行转化：‎ ‎ ‎ 例7：在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是______________‎ 思路：将转变为直角坐标系的普通方程。，‎ 则为直线与双曲线位置关系，联立方程，利用韦达定理求得弦长即可 解： ‎ ‎ ‎ 的方程为 ‎ 联立方程可得： 代入消去可得：‎ ‎ ‎ 设交点 则 ‎ ‎ ‎ 答案： ‎ 例8：已知曲线的极坐标方程分别为，其中，则曲线交点的极坐标为_______‎ 思路一：按照传统思路，将转变为直角坐标系的普通方程，求出交点坐标后再转换为极坐标 解：‎ 或 将两个点转化为极坐标分别为，因为，所以只有符合条件 思路二：观察到所给方程形式简单，且所求也为极坐标，‎ 所以考虑直接进行极坐标方程联立求解 解：代入消去可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 交点坐标为 ‎ 小炼有话说：（1）思路一中规中矩，但解题过程中要注意原极坐标方程对的限制条件 ‎（2）思路二有些学生会对联立方程不很适应，要了解到极坐标中的本身是实数，所以关于它们的方程与方程一样，都是实数方程，所以可以用实数方程的方法去解根，只是由于其具备几何含义（尤其）导致方程形式有些特殊（数与三角函数）。但在本题中，通过代入消元还是容易解出的 例9：已知在极坐标系中，为极点，圆的极坐标方程为，点的极坐标为，则的面积为___________‎ 思路一：将转变为直角坐标系方程：‎ ‎，所以，再求出的直角坐标为，则，因为，所以，且，所以 思路二：本题求出后，发现其极坐标为，而，所以可结合图像利用极坐标的几何含义求解，可得，，所以 ‎ ‎ 答案： 小炼有话说：（1）在思路一中面积的求法用向量求解还可以更为简单：‎ ‎，所以，代入即可 ‎（2）思路二体现了极坐标本身具备几何特点，即长度（）与角，在解决一些与几何相关的问题时，灵活运用极坐标的几何含义往往能达到出奇制胜的效果 例10：在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，设点，曲线交于，求的值 思路一：将转化为直角坐标系下普通方程： ，，联立方程，解出坐标，再求出即可 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ 思路二：本题在思路一的基础上通过作图可发现三点共线，则可以考虑将转变为向量的数量积，即，进而向量坐标化后整体代入即可 解：（前面转化方程，联立方程同思路一）设，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由得 ‎ ‎ ‎ 思路三：观察到恰好是直线参数方程的定点，且所求恰好是到的距离，所以联系到直线参数方程中参数的几何含义。只需求得对应参数的乘积即可 解：设，则有，，则有 代入到中可得：‎ 所以是方程的两根，整理可得：‎ ‎ ‎ 答案： ‎ 小炼有话说：（1）思路二体现了处理线段模长乘积时，可观察涉及线段是否具备共线特点，如果具备可以将其转化为向量的数量积，从而简化运算，但要注意与图像结合，看好向量是同向还是反向 ‎（2）思路三体现了对直线参数方程中参数几何含义的巧用。在处理两条曲线（其中一条为参数方程）的交点问题时，可以将参数代换掉另一曲线中的得到关于参数的方程。另外在使用直线参数方程时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值。否则参数不具备几何含义。例如本题中如果参数方程为，则并不代表点到的距离。‎ 三、历年好题精选 ‎1、已知直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以直角坐标系中的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为________‎ ‎2、（2015，北京）在极坐标系中，点到直线的距离为______‎ ‎3、（2015，广东）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点 到直线的距离为_______‎ ‎4、（2015，新课标II）在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ‎ ‎（1）求交点的直角坐标 ‎（2）若相交于点，相交于点，求的最大值 ‎5、（2015，陕西）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为 ‎ ‎（1）写出的直角坐标方程 ‎（2）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标 习题答案：‎ ‎1、答案：‎ 解析：可知直线的方程为：，圆的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离为 ‎ ‎2、答案：1‎ 解析：点化为直角坐标系坐标为，直线方程为，从而该点到直线的距离为 ‎ ‎3、答案： ‎ 解析：直线，转化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，则到直线的距离为 ‎ ‎4、解析：（1）曲线的直角坐标方程分别为： ‎ 联立方程：解得：或 ‎ 交点的直角坐标为 ‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为 在极坐标系下 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，当时取到 ‎5、解析：（1）‎ 直角坐标方程为整理可得： ‎ ‎（2）设，由（1）可得 ‎ ‎ ‎ 等号成立条件为，此时 ‎ ‎6、答案： ‎ 解析：圆的直角坐标方程为：，设直线方程为：，因为，可知，所以为直径，即过圆心，计算可得：，直线方程为，再转化为极坐标方程为