新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：1-5-1 正弦函数的图象与性质再认识 课件（79张）
§5 正弦函数、余弦函数的图象与
性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
必备知识·自主学习
1.正弦函数的图象
(1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下:
第一步:如图所示,在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单
位圆;
导思
1.三角函数的定义是怎样的?
2.怎么作正弦函数y=sin x的图象?
3.正弦函数y=sin x有哪些性质?
第二步:从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份;
第三步:过圆O1上各分点分别作x轴的垂线,得到对应于角0, , , ,…,2π
等分点的正弦值;
第四步:相应地,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份;
第五步:再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重
合;
第六步:最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了正弦函数
y=sin x,x∈[0,2π]的图象.
(2)五点法作正弦函数的图象,五个点为.
(0,0), ,(π,0), ,(2π,0).
6
3
2
( ,1)2
3( , 1)2
2.正弦函数的性质
(1)定义域:R.
(2)周期性:最小正周期为2π.
(3)单调性:单调增区间: (k∈Z),
单调减区间: (k∈Z).
[2k ,2k ]2 2
－
3[2k ,2k ]2 2
(4)值域:[-1,1].
当且仅当x=2kπ+ (k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最大值1;
当且仅当x=2kπ- (k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最小值-1.
(5)奇偶性:正弦函数y=sin x在R上是奇函数.
(6)对称性:对称轴x=kπ+ ,k∈Z,对称中心(kπ,0),k∈Z.
2
2
2
【思考】
(1)-2π是正弦函数的周期吗?
提示:是.2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期.
(2)正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点?对称中心呢?
提示:对称轴之间的距离差了π的整数倍.对称中心之间也相差了π的整数倍.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦函数在区间 上是递增的.( )
(2)若存在一个常数T,使得对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),则函数f(x)
为周期函数.( )
(3)函数f(x)=sin x-1的一个对称中心为(π,-1).( )
2[ , ]6 3
提示:(1)×.正弦函数在区间 上先递增,再递减.
(2)×.应为非零常数T.
(3)√.因为正弦函数的一个对称中心为(π,0),函数f(x)=sin x-1即将正弦函
数向下平移一个单位,故一个对称中心为(π,-1).
2[ , ]6 3
2.函数y=sin x是( )
A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.周期函数
【解析】选D.由正弦曲线y=sin x的图象,可得函数y=sin x的增区间是
(k∈Z),减区间是 (k∈Z),函数是奇函数,且是
周期为2π的周期函数.
[ 2k 2k ]2 2
，
3[ 2k 2k ]2 2
，
3.(教材二次开发:例题改编)下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°
1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin x有两个交点,求a的取值范围;
(3)求函数y=1-2sin x的最大值,最小值及相应的自变量的值.
【思路导引】用五点法作图.再根据函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图解题.
【解析】按五个关键点列表
x -π 0 π
sin x 0 -1 0 1 0
1-2sin x 1 3 1 -1 1
2
2
描点连线得:
(1)由图象可知函数y=1-2sin x在y=1上方
的部分y>1,在y=1下方的部分y<1,
所以当x∈(-π,0)时,y>1,当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图,当直线y=a与y=1-2sin x有两个交点时,1sin .
2
18
10
[ ,0]2
( )18
( )10
(2)因为cos =sin ,又 ,
而正弦函数y=sin x在 上是减函数
所以sin >sin ,即sin >cos .
2.因为y=-2sin x-1,
所以函数y=-2sin x-1的递增区间就是函数y=sin x的递减区间.所以 +2kπ
≤x≤ +2kπ(k∈Z),
所以函数y=-2sin x-1的递增区间为 (k∈Z).
5
3
5( )2 3
7 5 3
2 4 2 3 2
＜ ＜ ＋ ＜
3[ , ]2 2
7
4
5( )2 3
7
4
5
3
2
3
2
3[ 2k , 2k ]2 2
【解题策略】
利用正弦函数单调性比较大小的步骤
(1)一定:利用诱导公式把角化到同一单调区间上.
(2)二比较:利用函数的单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.函数y=9-sin x的单调递增区间是( )
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
【解析】选B.y=9-sin x的单调递增区间与y=sin x的单调递减区间相同.
[2k ,2k ]2 2
3[2k ,2k ]2 2
[2k ,2k ]
[2k ,2k ]
2.比较大小:
(1)sin 250°与sin 260°;(2)sin 与sin .
【解析】(1)sin 250°=sin(180°+70°)=-sin 70°,sin 260°=sin(180°+
80°)=-sin 80°,
因为0°<70°<80°<90°,且函数y=sin x,x∈ 是增函数,所以sin 70°
-sin 80°,即sin 250°>sin 260°.
23( )5
17( )4
[0, ]2
(2)sin =-sin =-sin
=-sin =-sin .
sin =-sin =-sin .
因为0< < < ,且函数y=sin x,x∈ 是增函数,所以sin -sin ,
即sin 0时,由题意
解得
[0, ]2
a b 1,
3a b 5,
a 2,
b 1,
a b 5,
3a b 1,
－
－
a 2,
b 7.
－
2.f(x)=sin(π+x)+sin2x-1=sin2x-sin x-1,令t=sin x,则y=t2-t-1= -
,t∈ .
因为-1≤t≤1,所以- ≤y≤1,
所以ymax=1,此时sin x=-1,x=- +2kπ,k∈Z;
所以ymin=- ,此时sin x= ,x= +2kπ,k∈Z或x= +2kπ,k∈Z.
21(t )2
5
4 [ 1,1]
5
4
2
5
4
1
2 6
5
6
【解题策略】
与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法
(1)求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性
(-1≤sin x≤1)求解.
(2)求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,
令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值.求解
过程中要注意正弦函数的有界性.
【跟踪训练】
1.求使下列函数取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的最大值和最小值:
(1)y=2sin x-1;(2)y=-sin2x+ sin x+ .2
3
4
【解析】(1)由-1≤sin x≤1知,当x= +2kπ,k∈Z时函数y=2sin x-1取得最大
值,ymax=1;
当x= π+2kπ,k∈Z时函数y=2sin x-1取得最小值,ymin=-3.
(2)y=-sin2x+ sin x+ = ,因为-1≤sin x≤1,所以当
sin x= ,即x= +2kπ或x= +2kπ(k∈Z)时,函数取得最大值,ymax= ;
当sin x=-1,即x= +2kπ(k∈Z)时,函数取得最小值,ymin=- - .
3
2
2
2 3
4
22 5 (sinx )2 4－ － ＋
2
2 4
3
4
5
4
3
2
1
4 2
2.设f(x)=asin x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=b2sin x+a2的最大值.
【解析】由题意,a≠0,
当a>0时, 所以
此时g(x)=sin x+4的最大值为5.
当a<0时, 所以
此时g(x)=sin x+4的最大值为5.
综上知g(x)的最大值为5.
a b 1,
a b 3,
＋ ＝
－ ＋ ＝－
a 2
b 1
＝ ，
＝－ ，
a b 3
a b 1
＋ ＝－ ，
－ ＋ ＝ ，
a 2
b 1,
＝－ ，
＝－
备选类型 正弦函数图象与性质的应用(直观想象、数学运算)
【典例】1.函数f(x)= -sin x在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.求函数y= 的定义域、值域和零点.
【思路导引】1.转化为函数图象的交点个数判断.
2.按照相关的概念列式,结合不等式、方程求解.
x1( )3
3 2sin x－
【解析】1.选B.令f(x)= -sin x=0,即 =sin x,如图所示.
函数y= 与y=sin x在[0,2π]上有两个交点,
故函数f(x)= -sin x有两个零点.
x1( )3
x1( )3
x1( )3
x1( )3
2.令 -2sin x≥0,即sinx≤ ,
解得 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z,
所以函数的定义域为 ,k∈Z.
因为-1≤sin x≤ ,所以0≤ -2sin x≤ +2,
所以0≤ ≤ ,
故函数的值域为 .
令y= =0,
解得x= +2kπ或x= π+2kπ,k∈Z.
3
3
2
2
3
7
3
2 7[ 2k , 2k ]3 3
3
2 3 3
3 2sin x－ 3 2
[0, 3 2]
3 2sin x－
2
3
7
3
【解题策略】
关于正弦函数性质、图象的应用
(1)周期性的应用:正弦函数是周期函数,可以先研究其在一个周期内的性质,再
推广到定义域内.
(2)奇偶性的应用:先确定函数的奇偶性,只研究函数在[0,+∞)上的性质,再利
用奇偶函数的性质推广到(-∞,0]上.
(3)数形结合的应用:将问题转化为正弦函数与其他初等函数图象间的关系,利
用图象解决问题.
【跟踪训练】
1.(2020·福州高一检测)函数y= 的定义域为( )2sin( 2x) 1
5A.{x|2k x 2k ,k Z}6 6
5B.{x|k x k ,k Z}6 6
2C.{x|2k x 2k ,k Z}3 3
5D.{x|k x k ,k Z}12 12
【解析】选D.要使函数有意义,则2sin(π-2x)-1≥0,
即sin2x≥ ,则2kπ+ ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z,
则kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,
即函数的定义域为 .
1
2 6
5
6
12
5
12
5{x|k x k ,k Z}12 12
2.函数f(x)=sin x- 的零点个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选D.令f(x)=sin x- =0,即sin x= ,
令y1=sin x,y2= ,在同一坐标系内分别作出y1,y2的图象如图.
由图象可知图象有7个交点,即函数有7个零点.
x
10
x
10
x
10
x
10
【补偿训练】
求方程sin x=lg x的解的个数.
【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin x,x∈[0,2π]
的图象,再向右连续平移2π个单位,得到y=sin x的图象.
描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图所示.
由图象可知方程sin x=lg x的解有3个.
1.(教材二次开发:练习改编)函数y=2-sin x在______上单调递增,在区间
________上单调递减.当x=______时,y取最大值______,当x=________时,y取最
小值________.
【解析】函数y=2-sin x的单调递增区间是函数y=sin x的单调递减区间即
(k∈Z),
同理可得单调递减区间是 (k∈Z),
当x=2kπ- ,k∈Z时,y取最大值3.
当x=2kπ+ ,k∈Z时,y取最小值1.
课堂检测·素养达标
3[2k ,2k ]2 2
[2k ,2k ]2 2
2
2
答案: (k∈Z)
(k∈Z) 2kπ- ,k∈Z 3
2kπ+ ,k∈Z 1
3[2k ,2k ]2 2
[2k ,2k ]2 2
2
2
2.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于________.
【解析】定义域x∈R,因为f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin x-|a|,又f(x)=-f(-x),
所以sin x-|a|=sin x+|a|,所以|a|=0,即a=0.
答案:0
3.用五点法画出函数y=-2sin x在区间[0,2π]上的简图.
【解析】列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
-2sin x 0 -2 0 2 0
2
3
2
描点、连线得y=-2sin x的图象如图.
七 正弦函数的图象与性质再认识
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.以下对正弦函数y=sin x的图象描述不正确的是 ( )
A.在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
课时素养评价
【解析】选C.由正弦函数y=sin x在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象可知
C项不正确.
2.不等式sin x≥ ,x∈(0,2π)的解集为 ( )2
2
3A.[ ] B.[ ]6 2 4 4
3C.[ ] D.[ ]2 4 6 4
， ，
， ，
【解析】选B.因为sin x≥ ,x∈(0,2π),结合y=sin x的图象知 ≤x≤
,故不等式sin x≥ 的解集为 .
2
2 4
3
4
2
2
3[ , ]4 4
3.函数y=sin x,x∈ ,则y的范围是( )
A.[-1,1] B.
C. D.
【解析】选C.当x= 时,y取最小值 ,当x= 时y取最大值1.
2[ , ]6 3
1 3[ , ]2 2
1[ ,1]2
3[ ,1]2
6
2
1
2
4.函数y= 的定义域为 ( )
A.[0,π]
B.{第一或第二象限的角}
C.{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}
D.(0,π)
【解析】选C.要使函数y= 有意义,则需sin x≥0,由y=sin x的图象
可得{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}.
sin x
sin x
5.函数y=-2sin x+10取最小值时,自变量x的集合是________.
【解析】由题意知y=-2sin x+10取最小值,就是sin x取最大值,即x=
+2kπ,k∈Z.
答案:
2
{x | x 2k k Z}2
＝ ＋ ，
6.求函数y=(sin x-1)2+2的最大值和最小值,并说出取得最大值和最小值时相
应的x的值.
【解析】设t=sin x,则有y=(t-1)2+2,
且t∈[-1,1],在闭区间[-1,1]上,
当t=-1时,函数y=(t-1)2+2取得最大值(-1-1)2+2=6.由t=sin x=-1,得x=2kπ-
(k∈Z),
即当x=2kπ- (k∈Z)时,函数y=(sin x-1)2+2取得最大值6.在闭区间[-1,1]上,
2
2
当t=1时,
函数y=(t-1)2+2取得最小值,最小值为2.
由t=sin x=1,得x=2kπ+ (k∈Z),
即当x=2kπ+ (k∈Z)时,函数y=(sin x-1)2+2取得最小值2.
2
2
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知a= sin 59°,b=sin 15°+cos 15°,c=2 sin 31°·cos 31°,
则实数a,b,c的大小关系是( )
A.a0,而图中显然小于零,因此排除选项B.
3.已知函数f(x)=2sin x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的
最小值为 ( )
A. B. C.π D.2π
【解析】选C.由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),
f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的
半个周期.因为f(x)=2sin x的周期为2π,所以|x1-x2|的最小值为π.
2
4
4.设函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为 ,令t=n-m,则t的最大值与最
小值的和为 ( )
A.2π B. C.π D.
1[ ,1]2
3
2
2
3
【解析】选A.因为函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为 ,结合正弦函数
y=sin x的图象与性质,不妨取m=- ,n= ,此时n-m取得最大值为 ,取
m=- ,n= ,n-m取得最小值为 ,则t的最大值与最小值的和为2π.
1[ ,1]2
6
7
6
4
3
6
2
2
3
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.已知函数f(x)= ·cos x,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于 中心对称
C.f(x)在区间 上单调递增
D.f(x)的值域为[-1,1]
sin x
cos x
( ,0)2
( , )2
【解析】选BC.因为函数f(x)= ·cos x=
画出函数f(x)的图象,如图所示:
f(x)的最小正周期是2π,根据f(x)的图象,f(x)的图象关于 中心对称,f(x)
在区间 上单调递增,f(x)的值域为(-1,1).
sin x
cos x
sin x x [k k ) k Z2
sin x x (k k ] k Z2
， ， ， ，
， ， ， ，
( ,0)2
( , )2
6.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选ABCD.f(x)=sin x+2|sin x|= 在同一坐标系内分
别作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,
当k>3或k<0时,两图象无交点;当k=3时,两图象有1个交点;当10得sin x>- ,
解得- +2kπ0时,
由题意,得 解得
所以f(x)=-2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
1
2
3
2
3a b ,2
1a b ,2
1a ,2
b 1.
②当b<0时,由题意,得
解得 所以f(x)=2sin x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
3a b ,2
1a b ,2
1a ,2
b 1
，
【创新迁移】
1.对于函数f(x)=asin(π-x)+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计
算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6 B.3和1
C.2和4 D.1和2
【解析】选D.因为sin(π-x)=sin x,
所以f(x)=asin x+bx+c,
则f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=asin(-1)+b×(-1)+c=-asin 1-b+c,
所以f(-1)=-f(1)+2c.①
把f(1)=4,f(-1)=6代入①式,得c=5∈Z,故排除A;
把f(1)=3,f(-1)=1代入①式,得c=2∈Z,故排除B;
把f(1)=2,f(-1)=4代入①式,得c=3∈Z,故排除C;
把f(1)=1,f(-1)=2代入①式,得c= ∉ Z.3
2
2.已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立,求实数a
的取值范围.
17
4
【解析】令t=sin x,t∈[-1,1],则原函数可化为g(t)=-t2+t+a=- +a+ .
当t= 时,g(t)max=a+ ,即f(x)max=a+ ;
当t=-1时,g(t)min=a-2,即f(x)min=a-2.
故对于一切x∈R,函数f(x)的值域为 .
所以 解得3≤a≤4.
21(t )2
1
4
1
2
1
4
1
4
1[a 2 a ]4－ ， ＋
1 17a 4 4
a 2 1
＋ ，
－ ，
