北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高二下学期5月测试数学试题

北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高二下学期5月测试数学试题

北京师范大学附属实验中学 2019—2020 学年度第二学期 高二年级诊断性测试数学试卷 试卷说明： 1．考试时间为 13：30-14：50，共 80 分钟：试卷总分为 100 分． 2．所有答案都写在一页 A4 白纸（单面）上，超出范围的内容无效． 3．考试结束后，14：55 之前，将答题纸拍照、上传，逾期无效． 一、选择题（8 道小题，每题 4 分，共 32 分） 1.若等式 1 1 1 0( 1)n n n n nx a x a x a x a       对任意 xR 成立，则 1 0n na a a  的 值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2n D.  2 n 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 1 1 1 0( 1)n n n n nx a x a x a x a       ，利用赋值法令 1x  求解即可. 【详解】因为 1 1 1 0( 1)n n n n nx a x a x a x a       ， 令 1x  得： 1 0 0   n na a a ， 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式展开式的项的系数的和，还考查了赋值法的应用，属于基础题. 2.复数 2 1 2 iz i   则在复平面内， z 对应的点的坐标是（ ） A.  1,0 B.  0,1 C. 5 4( , )3 3   D. 4 5( , )3 3   【答案】B 【解析】 【分析】 先通过复数的除法运算化简复数 z i= ，然后利用复数的几何意义求解. 【详解】因为       2 1 22 1 2 1 2 1 2       i iiz ii i i ， 所以在复平面内， z 对应的点的坐标是 0,1 . 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.下列函数中，既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递增的是（ ） A. 4y x B. 2 1y x  C. cosy x D. xy e 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性，再通过函数的解析式判断单调性即可. 【详解】A. 定义域为 R，且  4 4x x  ， 所以为偶函数，在 (0, ) 上单调递增，故正确； B.定义域为  ,0 (0, )   ，且  2 2 1 1 xx   ， 所以为偶函数，在 (0, ) 上单调递减，故错误； C. 定义域为 R，且  cos cosx x  ， 所以为偶函数，在 (0, ) 上不单调，故错误； D.定义域为 R，且 x xe e  ， 所以不为偶函数，故错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4.对于任意的 1 2 1 2, ,x x R x x  ，下列不等式中一定成立的是（ ） A. 1 2x x B. 1 2 1 1 x x  C. 2 110 ( ) 12 x x  D.  2 1–1 cos 1x x   【答案】C 【解析】 【分析】 A.取特殊值判断；B.取特殊值判断；C. 由 1 2x x ，得到 2 1 0x x  ，再利用 1( )2 xy  的单调 性判断；D.由 1 2x x ，得到 2 1 0x x  ，再利用 cosy x 的值域判断. 【详解】A.当 1 22, 1x x    时，不成立，故错误； B.当 1 21, 1x x   时，不成立，故错误； C. 因为 1 2x x ，所以 2 1 0x x  ， 又因为 1( )2 xy  在 R 上是减函数， 所以 2 1 01 10 ( )2 2 x x       ，故正确； D. 因为 1 2x x ，所以 2 1 0x x  ，所以  2 1–1 cos 1x x   ，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及函数的单调性，还考查了特殊值法的应用，所 以基础题. 5.函数 cos( ) xf x x  的导数  f x  （ ） A. 2 sin cosxx x x  B. 2 sin cosxx x x  C. 2 sin cosxx x x  D. 2 sin cosxx x x  【答案】B 【解析】 【分析】 由导数的除法计算法则即可选出正确答案. 【详解】解：     2 2 cos cos sin cosx x x x x xf x x x       . 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的除法运算.本题的易错点是误将 cos x 的导数记成了sin x . 6.已知函数 ( )f x x 在点 0x x 处的切线的倾斜角是 π 4 ，则 0x 的值为（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解. 【详解】由题意知 0 0 0 1 1( ) tan 14 42 f x x x       . 故选：A 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 7.已知函数  f x 满足  1 1f   ，  1 2f   ，则函数 ( ) xy f x e 在 1x  处的瞬时变化率 为（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 2e 【答案】C 【解析】 【分析】 求得函数的导数 ) (( ) xxy f x e f x e    ，代入 1x  ，结合题设条件，代入即可求解. 【详解】由函数 ( ) xy f x e ，可得 ) (( ) xxy f x e f x e    ， 所以函数在 1x  的导数为 1 11| (1) (1)xy f ef e     ， 又由  1 1f   ，  1 2f   ，所以 1 1| 2x ey e e     ， 即函数 ( ) xy f x e 在 1x  处的瞬时变化率为 e . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的四则运算，以及瞬时变化率的概念与计算，其中解答中熟记 瞬时变化率的概念，以及熟练应用导数的运算法则求解是解答的关键，着重考查了运算与求 解能力. 8.从 20 名同学中选派 3 人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每 人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有 n 种，则 n 的计算式可以是（ ） A. 3 203C B. 3 206C C. 3 202A D. 3 20 3A  【答案】B 【解析】 【分析】 先从 20 名同学中选派 3 人，再分为两类：第一类：2 人参加数学，1 人参加物理竞赛，第二 类：1 人参加数学，2 人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从 20 名同学中选派 3 人，共有 3 20C 种不同的选法， 又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛， 可分为两类： 第一类：2 人参加数学，1 人参加物理竞赛，共有 2 3 3C  中不同的选法； 第二类：1 人参加数学，2 人参加物理竞赛，共有 1 3 3C  中不同的选法， 综上可得，不同的选派方式共有 3 3 20 20(3 3) 6C C    . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出 3 人 后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 二、填空题（8 道小题，每题 4 分，共 32 分） 9.已知  f x 是 R 上的奇函数，当 0x  时， 2( )f x x x  ，则  2f  的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 结合函数的奇偶性，得到    2 2f f   ，代入即可求解. 【详解】由题意，函数  f x 是 R 上的奇函数，当 0x  时， 2( )f x x x  ， 可得     22 2 (2 2 ) 2f f       ， 即  2f  的值为 2 . 故答案为： 2 . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的计算，其中解答中熟练应用函 数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及计算能力. 10.函数 1lg xy x  的定义域是__________． 【答案】 ( ,0) (1, )   【解析】 【分析】 根据函数的解析式有意义，得出不等式 1 0x x   ，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数 1lg xy x  有意义，则满足 1 0x x   ，解答 0x  或 1x  ， 即函数 1lg xy x  的定义域为 ( ,0) (1, )   . 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中根 据对数函数的性质，得出不等式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 11.若复数 z 的共轭复数 2 1z z i   ，则 z  __________． 【答案】 11 3i  【解析】 【分析】 设 z a bi  ，代入所给等式根据复数相等的充要条件求出 a、b 即可求得复数. 【详解】设 z a bi  ，则 2( ) 1 (2 1) (2 1)a bi a bi i a b i         ， 所以 12 1 12 1 3 aa a b b b           ，所以 11 3z i   . 故答案为： 11 3i  【点睛】本题考查共轭复数、根据复数相等求参数，属于基础题. 12.若 2 36 n nC A 则正整数 n __________． 【答案】5 【解析】 【分析】 按组合数、排列数公式列出等式求解即可. 【详解】由 2 36 n nC A 得    ( 1)6 ( 1) 2 , 32 1 n n n n n n     ， 解得 5n  故答案为：5 【点睛】本题考查组合数、排列数公式，属于基础题. 13.二项式 62( )x x  的展开式中，常数项为__________． 【答案】 160 【解析】 【分析】 根据二项展开式的通项公式，即可得到答案； 【详解】 6 6 2 1 6 6 2) 2) , 0,1, ,6( (r r r rr r rT C x C x rx         ， 当 6 2 0 3r r    时， 4 6 33 02( 6) 1T C    ， 常数项为 160 ， 故答案为： 160 . 【点睛】本题考查二项式定理通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 14.除函数 y x ，  2, 1x   外，再写出一个定义域和值域均为 2, 1  的函数：__________． 【答案】答案不唯一．例如： 3y x   ，  2, 1x   . 【解析】 【分析】 可设 ( 0)y kx b k   ，再根据函数的最值，可得方程组，解出 ,k b 的值，即可得到答案； 【详解】设 ( 0)y kx b k   ，  2 1, 1, 2, 3, k b k k b b               函数可为： 3y x   ，  2, 1x   . 故答案为： 3y x   ，  2, 1x   . 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式、函数的定义域和值域的概念，考查函数与方 程思想，考查运算求解能力. 15.设有编号为 1，2，3，4，5 的五把锁和对应的五把钥匙．现给这 5 把钥匙也贴上编号为 1， 2，3，4，5 的五个标签，则共有______种不同的贴标签的方法：若想使这 5 把钥匙中至少有 2 把能打开贴有相同标签的锁，则有______种不同的贴标签的方法．（本题两个空均用数字作 答） 【答案】 (1). 120 (2). 31 【解析】 【分析】 （1）利用排列数 5 5A 计算，即可得到答案； （2）分三种情况讨论，即有 2 把能打开贴有相同标签的锁；有 3 把能打开贴有相同标签的锁； 有 5 能打开贴有相同标签的锁； 【详解】（1）问题等价于将五个数进行全排列，即 5 5 120A  ； （2）有 2 把能打开贴有相同标签的锁为 2 5 2 20C   种； 有 3 把能打开贴有相同标签的锁为 3 5 1 10C   种； 有 5 能打开贴有相同标签的锁为 5 5 1C  种； 总共有 20 10 1 31   种. 故答案为：120 ；31. 【点睛】本题考查排列数和组合数的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求 解能力，求解时注意先分类再分步. 16.如果直线  0y t t  与函数 1( )f x x x   的图象有两个不同的交点，其横坐标分别为 1x ， 2x ，则以下结论： ① 2t  ； ② 1 2ln ln 0x x  ； ③ 1 2 2x x  ； ④ 1 2x x 的取值范围是 (0, ) ， 其中正确的是__________．（填入所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 作出函数 1( )f x x x   的图象，分析 ( )f x 的单调性与值域，数形结合可求得 t 的范围，根据 题意可得 1x 、 2x 是方程 2 1 0x tx   的两根，利用韦达定理即可判断②③④的正误. 【详解】作出函数 1( )f x x x   的图象如图所示： 函数 1( )f x x x   在 ( , 1),(1, )   上单调递增，在    1,0 , 0,1 上单调递减，且  1 2, (1) 2f f    ，所以 ( )f x 的值域为  , 2 (2, )    ， ①若  0y t t  与 ( )f x 的图象有两个交点，则 2t  ，①正确； ②取 1 2 1 , 22x x  ，有  1 522 2f f      ，满足条件，但 1ln ln2 02   ，故②错误； ③由题意知 2 1 1 1 1 1 1 0x t x txx       ，同理 2 2 2 1 0x tx   ，即 1x 、 2x 是方程 2 1 0x tx   的两根，所以 1 2 2x x t   ，③正确； ④由③知 1 2 =1x x ，  2 2 1 2 1 2 1 24 4x x x x x x t      ，因为 2t  ，所以 2 4 0t   ， 即 1 2 0x x  ，④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查函数的图象与性质、函数与方程、韦达定理，属于中档题. 三、解答题（4 道小题，共 36 分） 17.已知函数 l 1( ) n3f x x x   ． （1）求  f x 在 1x  处的切线方程； （2）求不等式   2f x  的解集． 【答案】（1） 2 1y x  （2） 1(0, ) (1, )2   【解析】 【分析】 (1)求出导数，进而可求  1 2f   ，即可知切线的斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线. (2)结合(1)可得 2 3 1 2( 0)x xx    ，解出不等式即可. 【详解】解：(1) 2 2 3 1 3 1( ) xf x x x x     ( 0x  )．  1 2f   ，  1 1f  ， 所以切线方程为  1 2 1y x   ，即 2 1y x  ． (2)不等式为 2 3 1 2( 0)x xx    ，所以 22 3 1 0( 0)x x x    ． 解此不等式得 1x  或 1 2x  ，且 0x  ．所以   2f x  的解集为 1(0, ) (1, )2   ． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了不等式的求解.本题的关键是对函数的导数的求 解.本题的易错点是求解不等式时，忽略了函数的定义域. 18.已知：直线 1y kx  与抛物线 2y ax （a 为常数）交于两点    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，且抛 物线在点 A，B 处的切线互相垂直． （1）求 a 的值； （2）求两条切线交点的横坐标（用 k 表示）． 【答案】（1） 1 4a  （2） 2x k 【解析】 【分析】 （1）联立直线 1y kx  的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，利用导数求得两条切 线的斜率，根据两条切线互相垂直列方程，解方程求得 a 的值. （2）利用点斜式写出两条切线方程，由此求得两条切线交点的横坐标. 【详解】（1）直线 1y kx  与抛物线方程 2y ax 联立，得 2 1 0ax kx   ， 所以 1 2 1 2 1,kx x x xa a    ． 2y ax 求导得 2y ax  ， 所以两条切线的斜率分别为 1 12k ax ， 2 22k ax ． 因为两条切线互相垂直，所以 2 1 2 1 24 4 1k k a x x a     ， 所以 1 4a  ． （2）由 2 1 1 1( , )4A x x ， 2 2 2 1( , )4B x x ，得两条切线的方程分别为 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1( ), ( )4 2 4 2y x x x x y x x x x      ， 即 2 1 1 1 1 2 4y x x x  和 2 2 2 1 1 2 4y x x x  ． 解方程组 2 1 1 2 2 2 1 1 2 4 1 1 2 4 y x x x y x x x       得交点的横坐标为： 1 2 22 2 x x kx ka    ． 【点睛】本小题主要考查抛物线的切线，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 19.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     离心率为 1 2 ，点  0,2G 与椭圆的左、右顶点可以构成等 腰直角三角形．点 C 是椭圆的下顶点，经过椭圆中心 O 的一条直线与椭圆交于 A，B 两个点 （不与点 C 重合），直线 CA，CB 分别与 x 轴交于点 D，E． （1）求椭圆的标准方程． （2）判断 DGE 的大小是否为定值，并证明你的结论． 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  （2） 2DGE   是定值．证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆离心率，以及点  0,2G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，求得 ,a b 的值，由此求得椭圆的标准方程. （2）设出 ,A B 两点的坐标，求得直线CA 的方程，由此求得 D 点的坐标，同理求得 E 点的坐 标，通过计算 0GD GE   ，证得GD GE ，从而证得 2DGE   为定值. 【详解】（1）依题意可知 1 22   c a ca .由于点  0,2G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰 直角三角形，所以 2a  ，故 1c  ，所以 2 2 3b a c   . 所以椭圆方程为 2 2 14 3 x y  ． （2） 2DGE   是定值． 设    0 0 0 0, , ,A x y B x y  ， 则直线 CA 的方程为 0 0 3 3yy xx   ． 将 0y  代入，解得 0 0 3 xx y   ，即 0 0 3( ,0) 3 xD y  ． 同理，解得 0 0 3( ,0) 3 xE y    ． 2 0 0 0 2 00 0 3 3 3( , 2) ( , 2) 433 3 x x xGD GE yy y            将 2 2 0 0 33 4y x  代入上式，得 2 0 2 0 3 4 03 4 xGD GE x        ． 所以GD GE ，即证． 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属 于中档题. 20.已知，无穷数列 na 中，  (0,1 1,2,3 )ia i   ．记 na 前 n 项的和为 nS 构造数列 nb ：  *n n Sb nn  N ． （1）若 nb 为单调递减数列，直接写出数列 na 的通项公式： （2）若 1 0a  ，且存在 *mN 使得 0.8mb  ，求证：存在 *K N ，使得 0.8Kb  ． 【答案】（1） 1,( 1) 0,( 2)n na n    （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据数列 nb 满足  *n n Sb nn  N 及 nb 为单调递减数列，且  (0,1 1,2,3 )ia i   ， 代入化简即可归纳得数列 na 的通项公式： （2）由 1 0a  且 0.8mb  可知数列中存在 K 满足 1 0.8 0.8 K K b b     ，结合 n n Sb n  得不等式组并化 简，即可知 4 1 5 4KK S K   ，从而需5 4KS K ，即可证明结论. 【详解】（1）数列 nb 满足  *n n Sb nn  N ， nb 为单调递减数列， 则 1 1 1 1 01 n n n n a a a ab b n n            ， 所以 1 1 2n nna a a a     ， 无穷数列 na 中，  (0,1 1,2,3 )ia i   ， 当 1n  时， 2 1a a ，所以 1 21, 0a a  ， 当 2n  时， 13 2 12a a a  ，所以 3 0a  ， 当 3n  时， 4 2 31 13a a a a   ，所以 4 0a  ， 归纳可知  * 1 0na n  N ， 所以 1( 1) 0( 2)n na n    . （2）证明： 1 0a  ，且存在 *mN 使得 0.8mb  ， 则 1 0 0.8b   且 0.8mb  ， 所以存在 K 使得 1 0.8 0.8 K K b b     即 1 0.8 0.8( 1) K K S K S K     ，即 1 5 4 5 4 4 K K S K S K     两式相减得 15 4Ka   ， 由  (0,1 1,2,3 )ia i   ， 所以 1 1Ka   ． 再代入上式，得   5 4 5 1 4 4 K K S K S K      ， 即 4 1 5 4KK S K   ． 因为 *,KS K N N ，所以5 4KS K ． 即存在 *K N ， 4 0.85 k K Sb K    ． 【点睛】本题考查了数列递推公式的综合应用，归纳法得数列通项公式，数列与不等式的综 合应用，属于难题.