【数学】2020届北京一轮复习通用版4-1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式作业

【数学】2020届北京一轮复习通用版4-1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式作业

专题四　三角函数 ‎【真题典例】‎ ‎4.1　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.三角函数的概念以及同角三角函数的基本关系 ‎1.理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 ‎2.理解同角三角函数的基本关系,并能够灵活运用,对三角函数进行化简,求值,证明 ‎2018北京文,7‎ 判断三角函数值的符号 同角三角函数基本关系式 ‎★★☆‎ ‎2017北京,12‎ 三角函数的基本概念 两角差的余弦公式 ‎2.三角函数的诱导公式 ‎1.能够利用单位圆中的三角函数线推导相关的诱导公式 ‎2.能利用诱导公式化简任意角的三角函数 ‎2017北京文,9‎ 利用诱导公式求值、三角函数的化简 两角和与差的三角函数公式、二倍角公式 ‎★★★‎ 分析解读　　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式是高考考查的重点内容,常与两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式相联系,用于求值和化简,‎ 同角三角函数的基本关系扮演着统一函数名称的角色,而诱导公式起着化简作用.本节内容常以选择题、填空题的形式出现,偶尔也会出现在解答题中,考查方式灵活,因此在高考备考中要给予重视.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　三角函数的概念以及同角三角函数的基本关系 ‎1.设α∈R,则“α是第一象限角”是“sin α+cos α>1”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　C　‎ ‎2.点A从(1,0)出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点B,O为坐标原点,若点B的坐标是‎-‎3‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎,记∠AOB=α,则sin 2α=　　　　. ‎ 答案　-‎‎24‎‎25‎ 考点二　三角函数的诱导公式 ‎3.已知sin α=‎5‎‎13‎,那么sin(π-α)等于(　　)‎ A.-‎12‎‎13‎　　　　B.-‎5‎‎13‎　　　　C.‎5‎‎13‎　　　　D.‎‎12‎‎13‎ 答案　C　‎ ‎4.若角θ的终边过点P(3,-4),则tan(θ+π)=(　　)‎ A.‎3‎‎4‎　　　　B.-‎3‎‎4‎　　　　C.‎4‎‎3‎　　　　D.-‎‎4‎‎3‎ 答案　D　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　同角三角函数基本关系式的应用技巧 ‎1.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=‎3‎‎4‎,则cos2α+2sin 2α=(　　)‎ A.‎64‎‎25‎　　　　B.‎48‎‎25‎　　　　C.1　　　　D.‎‎16‎‎25‎ 答案　A　‎ ‎2.已知sin(π-α)-cos(π+α)=‎2‎‎3‎π‎2‎‎<α<π,则sin α-cos α=　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎3‎ 方法2　利用诱导公式化简求值的思路和要求 ‎3.已知tanα+‎π‎3‎=2,则sinα+‎‎4π‎3‎+cos‎2π‎3‎‎-αcosπ‎6‎‎-α-sinα+‎‎5π‎6‎=　　　　. ‎ 答案　-3‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 ‎1.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中,AB,CD,EF,GH是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan αb>c　　　　B.b>c>a　　　　C.c>b>a　　　　D.c>a>b 答案　C　‎ ‎5.(2015四川,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是　　　　. ‎ 答案　-1‎ 考点二　三角函数的诱导公式 ‎1.(2016四川,11,5分)sin 750°=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎2.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎.‎ ‎(1)求sin(α+π)的值;‎ ‎(2)若角β满足sin(α+β)=‎5‎‎13‎,求cos β的值.‎ 解析　(1)由角α的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎得sin α=-‎4‎‎5‎,‎ 所以sin(α+π)=-sin α=‎4‎‎5‎.‎ ‎(2)由角α的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎得cos α=-‎3‎‎5‎,‎ 由sin(α+β)=‎5‎‎13‎得cos(α+β)=±‎12‎‎13‎.‎ 由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,‎ 所以cos β=-‎56‎‎65‎或cos β=‎16‎‎65‎.‎ 思路分析　(1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.‎ ‎(2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cos β的值.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2014课标Ⅰ,2,5分)若tan α>0,则(　　)‎ A.sin α>0　　　　B.cos α>0‎ C.sin 2α>0　　　　D.cos 2α>0‎ 答案　C　‎ ‎2.(2011课标全国,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=(　　)‎ A.-‎4‎‎5‎　　　　B.-‎3‎‎5‎　　　　C.‎3‎‎5‎　　　　D.‎‎4‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎3.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=‎1‎‎3‎,则sin β=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎4.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=‎2‎‎2‎‎,-‎‎2‎‎2‎,n=(sin x,cos x),x∈‎0,‎π‎2‎.‎ ‎(1)若m⊥n,求tan x的值;‎ ‎(2)若m与n的夹角为π‎3‎,求x的值.‎ 解析　(1)因为m⊥n,‎ 所以m·n=‎2‎‎2‎sin x-‎2‎‎2‎cos x=0.‎ 即sin x=cos x,‎ 又x∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以tan x=sinxcosx=1.‎ ‎(2)易求得|m|=1,|n|=sin‎2‎x+cos‎2‎x=1.‎ 因为m与n的夹角为π‎3‎,‎ 所以cosπ‎3‎=m·n‎|m|·|n|‎=‎2‎‎2‎sinx-‎2‎‎2‎cosx‎1×1‎=‎1‎‎2‎.‎ 则‎2‎‎2‎sin x-‎2‎‎2‎cos x=sinx-‎π‎4‎=‎1‎‎2‎.‎ 又因为x∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以x-π‎4‎∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎.‎ 所以x-π‎4‎=π‎6‎,解得x=‎5π‎12‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2019届北京一零一中学10月月考,5)“sin x=cos x+1”是“tanx‎2‎=1”的(　　)‎ A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎2.(2019届北京潞河中学10月月考,5)以角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角θ的终边过点P(1,3),则tanθ-‎π‎4‎=(　　)‎ A.-2　　　　B.2　　　　C.-‎1‎‎2‎　　　　D.‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019届北京朝阳期中,5)“α=π‎6‎”是“sin α=‎1‎‎2‎”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎4.(2019届北京海淀期中,5)角θ的终边经过点P(4,y),且sin θ=-‎3‎‎5‎,则tan θ=(　　)‎ A.-‎4‎‎3‎　　　　B.‎4‎‎3‎　　　　C.-‎3‎‎4‎　　　　D.‎‎3‎‎4‎ 答案　C　‎ ‎5.(2019届北京四中期中,7)设x∈R,定义符号函数sgn(x)=‎1,x>0,‎‎0,x=0,‎‎-1,x<0.‎则下列等式正确的是(　　)‎ A.sin x·sgn(x)=sin|x|‎ B.sin x·sgn(x)=|sin x|　　　　C.|sin x|·sgn(x)=sin|x|‎ D.sin|x|·sgn(x)=|sin x|‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎6.(2019届北京牛栏山一中期中,12)如图,在直角坐标系xOy中,锐角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A.将角α的终边按逆时针方向旋转‎2π‎3‎,交单位圆于点B.若已知sin α=‎3‎‎5‎,则点B的横坐标是　　　　. ‎ 答案　‎‎-4-3‎‎3‎‎10‎ ‎7.(2019届北京朝阳期中,9)已知α∈‎-π‎2‎,0‎,sin α=-‎3‎‎5‎,则cos α=　　　　;tan(π+α)=　　　　. ‎ 答案　‎4‎‎5‎;-‎‎3‎‎4‎ ‎8.(2019届北京杨镇一中10月月考,10)若tan(π+α)=3,则‎2cos(π-α)-3sin(π+α)‎‎4cos(-α)+sin(π+α)‎=　　　　. ‎ 答案　7‎ ‎9.(2018北京人大附中10月月考,9)已知角α的终边经过点P(-1,3),则cos α=　　　 ‎ 答案　-‎‎10‎‎10‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎10.(2019届北京杨镇一中10月月考,14)已知θ是第三象限角,且f(θ)=sin‎3π‎2‎‎-θcosπ‎2‎‎+θtan(-θ+π)‎tan(θ-2π)sin(-θ-π)‎.‎ ‎(1)化简f(θ);‎ ‎(2)若cosθ-‎‎3π‎2‎=‎1‎‎3‎,求f(θ)的值;‎ ‎(3)若θ=-‎41π‎6‎,求f(θ)的值.‎ 解析　(1)f(θ)=‎sin‎3π‎2‎‎-θcosπ‎2‎‎+θtan(-θ+π)‎tan(θ-2π)sin(-θ-π)‎ ‎=‎‎-cosθ·(-sinθ)·(-tanθ)‎tanθ·sinθ ‎=-cos θ.‎ ‎(2)∵cosθ-‎‎3π‎2‎=‎1‎‎3‎,‎ ‎∴-sin θ=‎1‎‎3‎,即sin θ=-‎1‎‎3‎,‎ ‎∵θ是第三象限角,‎ ‎∴cos θ=-‎1-sin‎2‎θ=-‎2‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴f(θ)=-cos θ=‎2‎‎2‎‎3‎.‎ ‎(3)∵θ=-‎41π‎6‎,‎ ‎∴f(θ)=-cos θ=-cos‎-‎‎41π‎6‎=-cos‎41π‎6‎,‎ 即f(θ)=-cos‎5π‎6‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎11.(2017北京西城二模,15)已知函数f(x)=tanx+‎π‎4‎.‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)设β∈(0,π),且f(β)=2cosβ-‎π‎4‎,求β的值.‎ 解析　(1)由x+π‎4‎≠kπ+π‎2‎,k∈Z,得x≠kπ+π‎4‎,k∈Z,‎ 所以函数f(x)的定义域是x|x≠kπ+π‎4‎,k∈Z.‎ ‎(2)依题意,得tanβ+‎π‎4‎=2cosβ-‎π‎4‎,‎ 所以sinβ+‎π‎4‎cosβ+‎π‎4‎=2sinβ+‎π‎4‎,‎ 整理得sinβ+‎π‎4‎·‎2cosβ+‎π‎4‎-1‎=0,‎ 所以sinβ+‎π‎4‎=0或cosβ+‎π‎4‎=‎1‎‎2‎.‎ 因为β∈(0,π),‎ 所以β+π‎4‎∈π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎.‎ 由sinβ+‎π‎4‎=0,得β+π‎4‎=π,所以β=‎3π‎4‎,‎ 由cosβ+‎π‎4‎=‎1‎‎2‎,得β+π‎4‎=π‎3‎,所以β=π‎12‎.‎ 所以β=π‎12‎或β=‎3π‎4‎.‎ 思路分析　(1)利用正切函数的定义域求解.(2)将已知的三角恒等式进行化简,求出β+π‎4‎的三角函数值,再结合β的范围确定β的值.‎