高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷·理科）（附答案，完全word版）

高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷·理科）（附答案，完全word版）

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修Ⅱ） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分）． 1．复数 (2 ) 1 2 i i i   等于（ ） A．i B． i C．1 D． 1 2．已知全集 {1 2 3 4 5}U  ，，，， ，集合 2{ | 3 2 0}A x x x    ， { | 2 }B x x a a A  ， ，则 集合 ( )U A Bð 中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3． ABC△ 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，若 2 6 120c b B   ， ， ，则 a 等于（ ） A． 6 B．2 C． 3 D． 2 4．已知{ }na 是等差数列， 1 2 4a a  ， 7 8 28a a  ，则该数列前 10 项和 10S 等于（ ） A．64 B．100 C．110 D．120 5．直线 3 0x y m   与圆 2 2 2 2 0x y x    相切，则实数 m 等于（ ） A． 3 或 3 B． 3 或3 3 C． 3 3 或 3 D． 3 3 或3 3 6．“ 1 8a  ”是“对任意的正数 x ， 2 1ax x  ≥ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数 3( ) 2xf x  ， 1( )f x 是 ( )f x 的反函数，若 16mn  （ m n +R， ），则 1 1( ) ( )f m f n  的值为（ ） A． 2 B．1 C．4 D．10 8．双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点分别是 1 2F F， ，过 1F 作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于 M 点，若 2MF 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A． 6 B． 3 C． 2 D． 3 3 9．如图， l A B A B        ， ， ， ， ， 到l 的距离分别是 a 和b ，AB 与 ， 所成的角分别是 和 ， AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n ，若 a b ，则（ ） A． m n  ， B． m n  ， C． m n  ， D． m n  ， 10．已知实数 x y， 满足 1 2 1 y y x x y m      ≥ ， ≤ ， ≤ ． 如果目标函数 z x y  的最小值为 1 ，则实数 m 等 于（ ） A．7 B．5 C．4 D．3 11．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy    （ x y R， ）， (1) 2f  ， 则 ( 3)f  等于（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信 息 ． 设 定 原 信 息 为 0 1 2 ia a a a， {01} ， （ 01 2i  ，， ）， 传 输 信 息 为 0 0 1 2 1h a a a h ， 其 中 0 0 1 1 0 2h a a h h a   ， ， 运算规则为：0 0 0  ，0 1 1  ，1 0 1  ，1 1 0  ， 例如原信息为 111，则传输信息为 01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A．11010 B．01100 C．10111 D．00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）． 13． (1 ) 1lim 2n a n n a   → ，则 a  ． 14 ． 长 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D 的 各 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 其 中 1: : 1:1: 2AB AD AA  ．A B， 两点的球面距离记为 m ， 1A D， 两点的球面距离记为 n ， 则 m n 的值为 ． 15．关于平面向量 ， ，a b c ．有下列三个命题： ①若  a b = a c ，则 b c ．②若 (1 ) ( 2 6)k  ， ， ，a b ， ∥a b ，则 3k   ． ③非零向量 a 和 b 满足| | | | | |  a b a b ，则 a 与 a b 的夹角为 60 ． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 16．某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成．如果第一棒火 A Ba bl   炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传 递方案共有 种．（用数字作答）． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) 2sin cos 2 3sin 34 4 4 x x xf x    ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令 π( ) 3g x f x     ，判断函数 ( )g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分 12 分） 某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第 i 次击中目标得 1~ i ( 1 2 3)i  ，， 分，3 次均未击中目标得 0 分．已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各 次射击结果互不影响． （Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率； （Ⅱ）该射手的得分记为 ，求随机变量 的分布列及数学期望． 19．（本小题满分 12 分） 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 1 1 1A B C ， 90BAC   ， 1A A  平面 ABC ， 1 3A A  ， 2AB  ， 2AC  ， 1 1 1AC  ， 1 2 BD DC  ． （Ⅰ）证明：平面 1A AD  平面 1 1BCC B ； （Ⅱ）求二面角 1A CC B  的大小． 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线C ： 22y x ，直线 2y kx  交C 于 A B， 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交C 于点 N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数 k 使 0NA NB    ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由． A1 A C1 B1 B D C 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1( ) kxf x x c   （ 0c  且 1c  ， k R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其 中一个是 x c  ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的另一个极值点； （Ⅱ）求函数 ( )f x 的极大值 M 和极小值 m ，并求 1M m ≥ 时 k 的取值范围． 22．（本小题满分 14 分） 已知数列{ }na 的首项 1 3 5a  ， 1 3 2 1 n n n aa a   ， 1 2n  ，， ． （Ⅰ）求{ }na 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的 0x  ， 2 1 1 2 1 (1 ) 3n na xx x        ≥ ， 1 2n  ，， ； （Ⅲ）证明： 2 1 2 1n na a a n      ． 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14． 1 2 15．② 16．96 三、17．解：（Ⅰ） 2( ) sin 3(1 2sin )2 4 x xf x    sin 3 cos2 2 x x  π2sin 2 3 x     ． ( )f x 的最小正周期 2π 4π1 2 T   ． 当 πsin 12 3 x      时， ( )f x 取得最小值 2 ；当 πsin 12 3 x     时， ( )f x 取得最大值 2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 π( ) 2sin 2 3 xf x      ．又 π( ) 3g x f x     ．  1 π π( ) 2sin 2 3 3g x x         π2sin 2 2 x     2cos 2 x ．  ( ) 2cos 2cos ( )2 2 x xg x g x        ． 函数 ( )g x 是偶函数． 18．（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为 ( 1 2 3)iA i  ，， ，则 ( ) 0.8 ( ) 0.2i iP A P A ， ， ( ) ( ) ( ) 0.2 0.8 0.16i i i iP A A P A P A    ． （Ⅱ） 可能取的值为 0，1，2，3．  的分布列为 0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 2.752E          . 19．解法一：（Ⅰ） 1A A  平面 ABC BC ， 平面 ABC ，  1A A BC ．在 Rt ABC△ 中， 2 2 6AB AC BC   ， ， ，  0 1 2 3 P 0.008 0.032 0.16 0.8 : 1: 2BD DC  ， 6 3BD  ，又 3 3 BD AB AB BC   ， DBA ABC△ ∽△ ， 90ADB BAC     ，即 AD BC ． 又 1A A AD A ， BC  平面 1A AD ， BC  平面 1 1BCC B ，平面 1A AD  平面 1 1BCC B ． （Ⅱ）如图，作 1AE C C 交 1C C 于 E 点，连接 BE ， 由已知得 AB  平面 1 1ACC A ． AE 是 BE 在面 1 1ACC A 内的射影． 由三垂线定理知 1BE CC ， AEB 为二面角 1A CC B  的平面角． 过 1C 作 1C F AC 交 AC 于 F 点， 则 1CF AC AF   ， 1 1 3C F A A  ， 1 60C CF   ． 在 Rt AEC△ 中， 3sin 60 2 32AE AC    ． 在 Rt BAE△ 中， 2 6tan 33 ABAEB AE    ． 6arctan 3AEB  ， 即二面角 1A CC B  为 6arctan 3 ． 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系， 则 1 1(0 0 0) ( 2 0 0) (0 2 0) (0 0 3) (01 3)A B C A C，，， ，，， ，，， ，， ， ，， ， : 1: 2BD DC  ， 1 3BD BC   ． A1 A C1 B1 B D CF E （第 19 题，解法一） A1 A C1 B1 B D C z y x （第 19 题，解法二） D 点坐标为 2 2 2 03 3       ，， ．  2 2 2 03 3AD        ，， ， 1( 2 2 0) (0 0 3)BC AA   ，，， ，， ． 1 0BC AA     ， 0BC AD    ， 1BC AA  ， BC AD ，又 1A A AD A ， BC  平面 1A AD ，又 BC  平面 1 1BCC B ，平面 1A AD  平面 1 1BCC B ． （Ⅱ） BA  平面 1 1ACC A ，取 ( 2 0 0)AB  ，，m 为平面 1 1ACC A 的法向量， 设平面 1 1BCC B 的法向量为 ( )l m n ， ，n ，则 10 0BC CC    ，n n ． 2 2 0 3 0 l m m n       ， ， 32 3l m n m  ， ， 如图，可取 1m  ，则 321 3       ，，n ， 2 2 2 2 2 2 32 2 0 1 0 153cos 53( 2) 0 0 ( 2) 1 3                   ，m n ， 即二面角 1A CC B  为 15arccos 5 ． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设 2 1 1( 2 )A x x， ， 2 2 2( 2 )B x x， ，把 2y kx  代入 22y x 得 22 2 0x kx   ， 由韦达定理得 1 2 2 kx x  ， 1 2 1x x   ，  1 2 2 4N M x x kx x    ， N 点的坐标为 2 4 8 k k     ， ． 设抛物线在点 N 处的切线l 的方程为 2 8 4 k ky m x      ， 将 22y x 代入上式得 2 22 04 8 mk kx mx    ， 直线l 与抛物线C 相切， x A y 1 1 2 M N B O 2 2 2 2 28 2 ( ) 04 8 mk km m mk k m k             ， m k  ． 即l AB∥ ． （Ⅱ）假设存在实数 k ，使 0NA NB    ，则 NA NB ，又 M 是 AB 的中点， 1| | | |2MN AB  ． 由（Ⅰ）知 1 2 1 2 1 2 1 1 1( ) ( 2 2) [ ( ) 4]2 2 2My y y kx kx k x x         2 21 4 22 2 4 k k       ． MN  x 轴， 2 2 2 16| | | | 24 8 8M N k k kMN y y        ． 又 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4AB k x x k x x x x        2 2 2 211 4 ( 1) 1 162 2 kk k k            ． 2 2 216 1 1 168 4 k k k    ，解得 2k   ． 即存在 2k   ，使 0NA NB    ． 解法二：（Ⅰ）如图，设 2 2 1 1 2 2( 2 ) ( 2 )A x x B x x， ， ， ，把 2y kx  代入 22y x 得 22 2 0x kx   ．由韦达定理得 1 2 1 2 12 kx x x x   ， ．  1 2 2 4N M x x kx x    ， N 点的坐标为 2 4 8 k k     ， ． 22y x ， 4y x  ， 抛物线在点 N 处的切线l 的斜率为 4 4 k k  ， l AB ∥ ． （Ⅱ）假设存在实数 k ，使 0NA NB    ． 由（Ⅰ）知 2 2 2 2 1 1 2 22 24 8 4 8 k k k kNA x x NB x x                ， ， ， ，则 2 2 2 2 1 2 1 22 24 4 8 8 k k k kNA NB x x x x                      2 2 2 2 1 2 1 244 4 16 16 k k k kx x x x                   1 2 1 21 44 4 4 4 k k k kx x x x                           2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 4 ( )4 16 4 k k kx x x x x x k x x                  2 2 1 1 4 ( 1)4 2 16 2 4 k k k k kk                     2 231 316 4 k k           0 ， 2 1 016 k   ， 233 04 k   ，解得 2k   ． 即存在 2k   ，使 0NA NB    ． 21．解：（Ⅰ） 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( 1) 2( ) ( ) ( ) k x c x kx kx x ckf x x c x c          ，由题意知 ( ) 0f c   ， 即得 2 2 0c k c ck   ，（*） 0c  ， 0k  ． 由 ( ) 0f x  得 2 2 0kx x ck    ， 由韦达定理知另一个极值点为 1x  （或 2x c k   ）． （Ⅱ）由（*）式得 2 1k c   ，即 21c k   ． 当 1c  时， 0k  ；当 0 1c  时， 2k   ． （i）当 0k  时， ( )f x 在 ( )c ， 和 (1 ) ， 内是减函数，在 ( 1)c ， 内是增函数． 1(1) 01 2 k kM f c      ， 2 2 1( ) 02( 2) kc km f c c c k         ， 由 2 12 2( 2) k kM m k     ≥ 及 0k  ，解得 2k ≥ ． （ii）当 2k   时， ( )f x 在 ( )c ， 和 (1 ) ， 内是增函数，在 ( 1)c ， 内是减函数． 2 ( ) 02( 2) kM f c k      ， (1) 02 km f   2 2( 1) 11 12( 2) 2 2 k k kM m k k         ≥ 恒成立． 综上可知，所求 k 的取值范围为 ( 2) [ 2 )   ， ， ． 22．解法一：（Ⅰ） 1 3 2 1 n n n aa a   ， 1 1 2 1 3 3n na a    ， 1 1 1 11 13n na a         ， 又 1 21 3na   ， 1 1 na       是以 2 3 为首项， 1 3 为公比的等比数列．  1 1 2 1 21 3 3 3n n na    ， 3 3 2 n n na   ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 3 03 2 n n na   ， 2 1 1 2 1 (1 ) 3n xx x        2 1 1 2 1 11 (1 ) 3n xx x           2 1 1 1 (1 )1 (1 ) n xx x a          2 1 1 2 (1 ) 1na x x     21 1 1 n n n a aa x        na≤ ，原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的 0x  ，有 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 (1 ) 3 1 (1 ) 3na a a x xx x x x                     ≥ 2 1 1 2 1 (1 ) 3n xx x          2 2 1 2 2 2 1 (1 ) 3 3 3 n n nxx x            ． 取 2 2 111 2 2 2 1 13 3 113 3 3 31 3 n n nx n nn                        ， 则 2 2 1 2 11 1 111 1 33 n nn n n na a a nn n              ≥ ． 原不等式成立． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设 2 1 1 2( ) 1 (1 ) 3nf x xx x         ， 则 2 2 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) 21 3 3( ) (1 ) (1 ) (1 ) n nx x x x f x x x x                       0x  ， 当 2 3nx  时， ( ) 0f x  ；当 2 3nx  时， ( ) 0f x  ， 当 2 3nx  时， ( )f x 取得最大值 2 1 23 1 3 nn n f a       ． 原不等式成立． （Ⅲ）同解法一． B 卷选择题答案： 1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D