高中函数补充知识

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函数补充知识 【初等函数】 1、抽象函数的周期 （1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a| （2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a| （3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a （4）f(x-a)=f(x+a) T=2a （5）f(x+a)=-f(x) T=2a 2．奇偶函数概念的推广及其周期： （1）对于函数 f（x），若存在常数 a，使得 f（a-x）=f（a+x），则称 f（x）为广义（Ⅰ） 型偶函数，且当有两个相异实数 a，b 同时满足时，f（x）为周期函数 T=2|b-a| （2）若 f（a-x）=-f（a+x），则 f（x）是广义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数 a，b 同时满足时，f（x）为周期函数 T=2|b-a| 3.抽象函数的对称性 （1）若 f（x)满足 f（a+x）+f（b-x）=c ，则函数关于（ ， ）成中心对称（充要） （2）若 f（x）满足 f（a+x）=f（b-x），则函数关于直线 x= 成轴对称（充要） 4、函数 ( )y f x 的图像按向量 ( , )a k h 平移后，得函数 ( )y h f x k   的图像. 5、形如 ( 0, )ax by c ad bccx d    的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线 dx c  (由分母为零确定)、直线 ay c (由分子、分母中 x 的系数确定)，双曲线的中心是 点 ( , )d a c c . 【三角函数】 1.三角形恒等式 （1）在△中， （2） 正切定理和余切定理： 在非 Rt△中，有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （3） （4） 2、任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）： 在△ABC 中，有： a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA 3、（1）任意三角形内切圆半径 r= （S 为面积）， （2）外接圆半径 （3） 欧拉不等式：R>2r 4、和差化积公式（只记忆第一条） sinα+sinβ=2sin cos sinα-sinβ=2cos sin cosα+cosβ=2cos cos cosα-cosβ=-2sin sin 5、积化和差公式 sinαsinβ=- cosαcosβ= sinαcosβ= cosαsinβ= 6、万能公式 2tan1 2tan2 tan, 2tan1 2tan1 cos, 2tan1 2tan2 sin 22 2 2        7、三角混合不等式：若 x∈（0， ),sinx＜x＜tanx 当 x→0 时 sinx x tanx 8、三角形变形公式 9、在△中，sinA>sinB cos2A>cos2B 10、三角形三边 a.b.c 成等差数列，则 11、正弦平方差公式 )sin()sin(sinsin 22   【洛必达法则】 【法则 1】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1)  lim 0x a f x  及  lim 0x a g x  ； (2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0； (3)    limx a f x lg x   ， 那么    limx a f x g x =    limx a f x lg x   。 【法则 2】 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1)  lim 0x f x  及  lim 0x g x  ； (2) 0A  ，f(x) 和 g(x)在 , A 与 ,A  上可导，且 g'(x)≠0； (3)    limx f x lg x   ， 那么    limx f x g x =    limx f x lg x   。 法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1)  limx a f x   及  limx a g x   ； (2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0； (3)    limx a f x lg x   ， 那么    limx a f x g x =    limx a f x lg x   。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1 将上面公式中的 x→a，x→∞换成 x→+∞，x→-∞， x a  ， x a  洛必达法则也 成立。○2 洛必达法则可处理 0 0 ，   ， 0 ，1 ， 0 ， 00 ，    型。 ○3 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 0 ，   ， 0 ，1 ， 0 ， 00 ，    型 定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这 时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 【双绝对值函数图像】 【中值定理与函数凹凸性】 中值 定理 名称 条件 结论 罗尔 中值 定理 )(xfy  ： （1）在 ][a,b 上连续； （2） 在 )(a,b 内可导；（3） )()( bfaf  至少存在一点 )(a,bξ  使得 0)(/ ξf 拉格 朗日 中值 定理 )(xfy  ： （1）在 ][a,b 上连续； （2） 在 )(a,b 内可导 至少存在一点 )b,a( 使得 )(/ ξf ab afbf   )()( 柯西 中值 定理 )(xf 、 )(xg ： （1）在 ][a,b 上连续， 在 )(a,b 内可导；（2）在 )(a,b 内每点处 0)(/ xg 至少存在一点 )(a,bξ  使得 ab afbf ξg ξf   )()( )( )( / / 1、曲线凹凸性的概念：设 )(xf 在区间 I 内连续，如果对 I 上任意两点 21 , xx ，恒有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf  ，则称 )(xf 在 I 上的图形是凹的； 如果恒有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf  ，则称 )(xf 在 I 上的图形是凸的。 2、拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。 3、曲线凹凸性的判别法：设 )(xf 在 ][a,b 上连续，在 )(a,b 内具有一阶和二阶导数，则 （1）若在 )(a,b 内 ( ) 0f x  ，则 )(xfy  在 ][a,b 上的图形是凹的； （2）若在 )(a,b 内 ( ) 0f x  ，则 )(xfy  在 ][a,b 上的图形是凸的。