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文档介绍
山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题 高二理科数学(选修2—1) 注意事项: 1.本试题分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页. 2.答卷前考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将答题卡交回. 5.考试时间90分钟,满分100分. 第Ⅰ卷(30分) 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设命题,使得,则为( ) A.,使得 B.,使得 C.,使得 D.,使得 2.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点P是抛物线C上一点,若|PF|=5,则点P的横坐标是( ) A.-4 B. 1 C.4 D.-4或4 3.已知向量a=(0,3,3)和b=(-1,1,0)分别是直线l和m的方向向量,则直线l与m所成的角为( ) A. B. C. D. 4.“m>0”是“方程表示双曲线”的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图,在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点 ,则等于( ) A. B. C. D. 6.与命题“若实数x≠y,则cosx≠cosy”等价的命题是( ) (第5 题图) A.若实数x=y,则cosx=cosy B.若cosx=cosy ,则实数x=y C.若cosx≠cosy ,则实数x≠y D.若实数x≥y,则cosx≥cosy 7. 若直线l:x-y-1=0与椭圆C:交于A、B两点,则|AB|=( ) A. B. C. D. 8.若命题都有是假命题,则实数m的取值范围是( ) A. (-,3] B. [-1,+) C.[-1, 3] D.[3,+) 9.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的 纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm, 灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是( ) A.2.5 cm B.3.5 cm C.4.5cm D.5.5 cm (第9题图) 10.已知双曲线的渐近线与抛物线E:的准线分别交于A、B两点,若抛物线的焦点为F,且FAFB,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.2 D. 第Ⅱ卷(70分) 二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分) 11.已知直线l的一个方向向量为a=(4,2,-2),平面α的一个法向量为n=(-1,1,t),若l∥α,则实数t的值是 . 12. 已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴,且一个焦点为F(0,1),离心率为,则该椭圆的方程是 . 13.在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测: 甲说:我的成绩比乙高; 乙说:丙的成绩比我和甲的都高; 丙说:我的成绩比乙高. 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人中预测正确的是 . 14.已知空间四点A(2,-1,1)、B(1,2,3)、C(0,2, 1)、D(1,0,λ)在同一平面内, 则实数λ=________. 15.已知焦点为F的抛物线C:的准线是直线l,若点A(0,-3),点P为抛物线C上一点,且PMl于M,则|PM|+|PA|的最小值为 . 16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为 . 17.设 是双曲线C:的两个焦点,P为双曲线C上一点,若ΔPF1F2是直角三角形,则ΔPF1F2的面积为 . 18.已知命题p:方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线; 命题q:已知椭圆E:,过点的直线与椭圆E相交于A、B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为. 则下列四个命题①中,是真命题的是 (只写出序号). 三、解答题(本大题共5个小题,共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题8分) 已知双曲线C与椭圆E:有公共的焦点,且离心率为,求双曲线C的方程及其渐近线方程. 20. (本小题8分) 设集合S=,T=,且命题p:x∈S,q:x∈T,若命题q是p的必要且不充分条件,求实数a的取值范围. 21.(本小题10分) 已知向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1). (1)若a∥c,求|c|; (2)若b⊥c,求(a-c)∙(2b+c)的值. 22.(本小题10分) 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABAD,AD∥BC, 侧棱SA平面ABCD,且SA=AB=BC=2AD=2. (1)求证:平面SBC平面SAB; (2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值. (第22题图) 23.(本小题10分) 已知圆M:和点N(,0),Q为圆上的动点,线段NQ的垂直平分线交MQ于点P,记点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)设过点A(0,2)的直线l与E相交于B、C两点,当△OBC的面积最大时,求直线l的方程. 山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试 高二理科数学(选修2—1)参考答案与评分标准 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B C B D C A D 二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分) 11.-1;12.;13. 甲;14. ; 15.;16.17. 4或 ; 18.①②④. 三、解答题(本大题共5个小题,共46分.) 19. (本小题8分) 解:∵椭圆E:的焦点为(-5,0)和(5,0), ∴c=5, …………………………………………2分 ∵双曲线C的离心率为, ∴a=4,b=3, ……………………………………6分 ∵双曲线C的焦点在x轴上, ∴双曲线C的方程为,渐近线方程为.…………………8分 20. (本小题8分) 解:∵q:x∈T==, ∴q:x∈∁RT={x|-1≤x≤2}, ∵命题q是p的必要且不充分条件, ∴S是∁RT的真子集, ………………………………4分 ∵S= ∴∴-1≤a≤1,检验知a=-1和1时满足题意, ∴实数a的取值范围是[-1,1]. ………………………………8分 21.(本小题10分) 解:(1) ∵ a∥c, ∴, ∴x=1, ………………………………2分 ∴c=(1,2,-1), |c|=. ………………………………5分 (2)∵b⊥c, ∴-x+2×0-1×2=0, ∴x=-2,………………………………7分 ∴c=(-2,2,-1), ∴a-c=(4,2,-1),2b+c=(-4,2,3), ∴(a-c)∙(2b+c)=-15.………………………………10分 22.(本小题10分) (1)证明:∵SA平面ABCD,BC平面ABCD, ∴SABC, ∵ABAD,AD∥BC, ∴BCAB, ∵SA∩AB=A, ∴BC平面SAB,………………………………3分 ∵BC平面SBC, ∴平面SBC平面SAB.………………………………5分 (2)解:分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系,则 由SA=AB=BC=2AD=2可知, A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2), 由(1)知BC平面SAB, ∴ 为平面SAB的一个法向量,且=(2,0,0); 设=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,则 , , ∴. =0,.=0, ∵=(1,2,0),=(1,0,-2), ∴ 令z=1,则x=2,y=-1,∴=(2,-1,1), ………………………………8分 设平面SCD与平面SAB所成的二面角为θ,则 ∴|cosθ|=|cos<,>|=, ∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………10分 23.(本小题10分) 解:(1)由题意可知,M(-,0),|MQ|=4,|MN|=2, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=|MQ|=4>|MN|, ∴曲线E是以M、N为焦点的椭圆,且2a=4,c=, ∴a=2,b=1, ………………………………2分 ∴曲线E的方程为. ………………………………4分 (2)由题意可知,直线l存在斜率,不妨设为k,则l:y=kx+2,且设B(x1,y1)、C(x2,y2),于是 , ∴, ∴Δ= ∴4k2-3>0,∴∪, 且,, ………………………………6分 ∴|BC|==, ∵点O到直线l的距离为d=,且4k2-3>0, ∴SΔOBC=×=≤1,……8分 当且仅当时,即k=时,SΔOBC最大为1, 此时,直线l的方程为y=x+2. ………………………………10分查看更多