山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

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山西省阳泉市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题 高二理科数学(选修2—1)‎ 注意事项:‎ ‎1.本试题分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.‎ ‎2.答卷前考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.‎ ‎3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.‎ ‎4.考试结束后,将答题卡交回.‎ ‎5.考试时间90分钟,满分100分. ‎ 第Ⅰ卷(30分)‎ 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设命题,使得,则为( )‎ A.,使得 B.,使得 C.,使得 D.,使得 ‎2.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点P是抛物线C上一点,若|PF|=5,则点P的横坐标是( )‎ A.-4 B. ‎1 C.4 D.-4或4‎ ‎3.已知向量a=(0,3,3)和b=(-1,1,0)分别是直线l和m的方向向量,则直线l与m所成的角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.“m>‎0”‎是“方程表示双曲线”的( )‎ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 ‎ ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.如图,在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点 ,则等于( )‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎6.与命题“若实数x≠y,则cosx≠cosy”等价的命题是( ) (第5‎ ‎ 题图)‎ A.若实数x=y,则cosx=cosy B.若cosx=cosy ,则实数x=y ‎ C.若cosx≠cosy ,则实数x≠y D.若实数x≥y,则cosx≥cosy ‎7. 若直线l:x-y-1=0与椭圆C:交于A、B两点,则|AB|=( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若命题都有是假命题,则实数m的取值范围是( )‎ A. (-,3] B. [-1,+) C.[-1, 3] D.[3,+) ‎ ‎9.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的 纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是‎20 cm,‎ 灯深‎10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是(  )‎ A.‎2.5 cm B.‎3.5 cm C.‎4.5cm D.‎5.5 cm (第9题图)‎ ‎10.已知双曲线的渐近线与抛物线E:的准线分别交于A、B两点,若抛物线的焦点为F,且FAFB,则双曲线C的离心率为( )‎ A. B. C.2 D.‎ 第Ⅱ卷(70分)‎ 二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.已知直线l的一个方向向量为a=(4,2,-2),平面α的一个法向量为n=(-1,1,t),若l∥α,则实数t的值是 .‎ ‎12. 已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴,且一个焦点为F(0,1),离心率为,则该椭圆的方程是 .‎ ‎13.在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测:‎ 甲说:我的成绩比乙高;‎ 乙说:丙的成绩比我和甲的都高;‎ 丙说:我的成绩比乙高.‎ 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人中预测正确的是 .‎ ‎14.已知空间四点A(2,-1,1)、B(1,2,3)、C(0,2, 1)、D(1,0,λ)在同一平面内,‎ 则实数λ=________.‎ ‎15.已知焦点为F的抛物线C:的准线是直线l,若点A(0,-3),点P为抛物线C上一点,且PMl于M,则|PM|+|PA|的最小值为 .‎ ‎16.在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为 .‎ ‎17.设 是双曲线C:的两个焦点,P为双曲线C上一点,若ΔPF‎1F2是直角三角形,则ΔPF‎1F2的面积为 .‎ ‎18.已知命题p:方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线;‎ 命题q:已知椭圆E:,过点的直线与椭圆E相交于A、B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为.‎ 则下列四个命题①中,是真命题的是 (只写出序号).‎ 三、解答题(本大题共5个小题,共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎19.(本小题8分)‎ 已知双曲线C与椭圆E:有公共的焦点,且离心率为,求双曲线C的方程及其渐近线方程.‎ ‎20. (本小题8分)‎ 设集合S=,T=,且命题p:x∈S,q:x∈T,若命题q是p的必要且不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎21.(本小题10分)‎ 已知向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1).‎ ‎(1)若a∥c,求|c|;‎ ‎(2)若b⊥c,求(a-c)∙(2b+c)的值.‎ ‎22.(本小题10分)‎ 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABAD,AD∥BC,‎ 侧棱SA平面ABCD,且SA=AB=BC=2AD=2.‎ ‎(1)求证:平面SBC平面SAB;‎ ‎(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值. (第22题图)‎ ‎23.(本小题10分)‎ 已知圆M:和点N(,0),Q为圆上的动点,线段NQ的垂直平分线交MQ于点P,记点P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)设过点A(0,2)的直线l与E相交于B、C两点,当△OBC的面积最大时,求直线l的方程.‎ 山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试 高二理科数学(选修2—1)参考答案与评分标准 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A D C B C B D C A D 二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.-1;12.;13. 甲;14. ;‎ ‎15.;16.17. 4或 ; 18.①②④.‎ 三、解答题(本大题共5个小题,共46分.)‎ ‎19. (本小题8分)‎ 解:∵椭圆E:的焦点为(-5,0)和(5,0),‎ ‎∴c=5, …………………………………………2分 ‎∵双曲线C的离心率为,‎ ‎ ∴a=4,b=3, ……………………………………6分 ‎∵双曲线C的焦点在x轴上,‎ ‎∴双曲线C的方程为,渐近线方程为.…………………8分 ‎20. (本小题8分)‎ 解:∵q:x∈T==,‎ ‎∴q:x∈∁RT={x|-1≤x≤2}, ‎ ‎∵命题q是p的必要且不充分条件,‎ ‎∴S是∁RT的真子集, ………………………………4分 ‎∵S=‎ ‎∴∴-1≤a≤1,检验知a=-1和1时满足题意,‎ ‎∴实数a的取值范围是[-1,1]. ………………………………8分 ‎21.(本小题10分)‎ 解:(1) ∵ a∥c,‎ ‎∴,‎ ‎∴x=1, ………………………………2分 ‎∴c=(1,2,-1),‎ ‎|c|=. ………………………………5分 ‎(2)∵b⊥c,‎ ‎∴-x+2×0-1×2=0,‎ ‎∴x=-2,………………………………7分 ‎∴c=(-2,2,-1),‎ ‎∴a-c=(4,2,-1),2b+c=(-4,2,3),‎ ‎∴(a-c)∙(2b+c)=-15.………………………………10分 ‎22.(本小题10分)‎ ‎(1)证明:∵SA平面ABCD,BC平面ABCD,‎ ‎∴SABC,‎ ‎∵ABAD,AD∥BC,‎ ‎∴BCAB,‎ ‎∵SA∩AB=A,‎ ‎∴BC平面SAB,………………………………3分 ‎∵BC平面SBC,‎ ‎∴平面SBC平面SAB.………………………………5分 ‎(2)解:分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系,则 由SA=AB=BC=2AD=2可知,‎ A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),‎ 由(1)知BC平面SAB,‎ ‎∴ 为平面SAB的一个法向量,且=(2,0,0);‎ 设=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,则 ‎ , , ‎ ‎∴. =0,.=0,‎ ‎∵=(1,2,0),=(1,0,-2),‎ ‎∴‎ 令z=1,则x=2,y=-1,∴=(2,-1,1), ………………………………8分 设平面SCD与平面SAB所成的二面角为θ,则 ‎∴|cosθ|=|cos<,>|=,‎ ‎∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………10分 ‎23.(本小题10分)‎ 解:(1)由题意可知,M(-,0),|MQ|=4,|MN|=2,‎ ‎∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=|MQ|=4>|MN|,‎ ‎∴曲线E是以M、N为焦点的椭圆,且‎2a=4,c=,‎ ‎∴a=2,b=1, ………………………………2分 ‎∴曲线E的方程为. ………………………………4分 ‎(2)由题意可知,直线l存在斜率,不妨设为k,则l:y=kx+2,且设B(x1,y1)、C(x2,y2),于是 ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴Δ=‎ ‎∴4k2-3>0,∴∪,‎ 且,, ………………………………6分 ‎∴|BC|==,‎ ‎∵点O到直线l的距离为d=,且4k2-3>0,‎ ‎∴SΔOBC=×=≤1,……8分 当且仅当时,即k=时,SΔOBC最大为1,‎ 此时,直线l的方程为y=x+2. ………………………………10分
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