高二数学同步辅导教材(第10讲)

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高二数学同步辅导教材（第 10 讲） 一、本讲进度 7．6 曲线和方程 课本第 67 页至 72 页 二、本讲主要内容 1、理解概念“曲线的方程”和“方程的曲线”。 2、掌握求轨迹方程的步骤和方法。 3、会求两条曲线交点；理解两曲线交点的代数意义。 三、学习指导 1、理解曲线和方程的对应关系，可从函数图象描点法的角度进行。不是任意的曲线和方程都可以建 立对应关系。平面上曲线 C 和二元方程 F(x，y)=0 若互相对应，则必须满足课本第 68 页两个条件，条件 （1）称为纯粹性，它强调的是曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外；条件（2）称为完备性，它 强调的是符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏。 从集合角度理解，若记集合 A={P|P 为平面曲线 C 上任一点}，集合 B={(x，y)|F(x，y)=0}，在坐标 系这个工具之下，纯粹性、完备性分别指的是：A B，且 B A，从而 A=B。 从定义的性质看，若曲线 C 与二元方程 F(x，y)=0 建立了对应关系，则纯粹性强调的是从形到数： （1）点 P∈C，P(x0，y0)  F(x0，y0)=0；（ 2）完备性强调的是从数到形：F(x0，y0)=0 点(x0，y0)在 曲线 C 上。 2、正因为曲线和方程之间存在对应关系，所以在坐标系这个工具之下，总可以求出某条曲线 C 对应 的方程。这正是解析几何的基本问题之一。从运动的角度看，既然平面内的点与作为它的坐标的有序数 对之间建立了一一对应关系，那么它在某种条件下运动形成轨迹 C 时，其对应的坐标也应当满足某个制 约关系式：F(x，y)=0，所以曲线 C 对应的方程又称为轨迹方程。 求轨迹方程的方法一般有：直译法、转移法（代入法）、参数法、几何法。在学习一些基本轨迹之后， 还会涉及到定义法、待定系数法。 求轨迹方程中的注意点：（1）在设出动点坐标后，应视其为已知量，从而用它去表示其它量，寻找 等量关系；（2）求轨迹方程的关键寻找适当的等量关系，这个等量关系可能不直接与动点有关；（3）对 原始轨迹方程的化简要同解。一般情况下，纯粹性是满足的，关键是检验完备性。 3、直线 y=kx+b 与二次曲线相交时弦长公式： |a|k1d x2  或 |'a|k 11d y 2   其中，a 是直线方程代入二次曲线方程消元后关于 x 的一元二次方程的二次项系数，△x 为其判别式。 a’是直线方程代入二次曲线方程消元后关于 y 的一元二次方程的二次项系数，△y 为其判别式。 四、典型例题 例 1、曲线 C 的方程为(3x-4y-12)lg(x+2y+1)=0，试判断点 A(0，-3)，B(0，4)，C(4，0)，D(1， 2 1 ) 是否在曲线 C 上。 解题思路分析： 将点 A、B、C、D 的坐标代入方程，检验是否满足方程，若满足，则对应的点在曲线 C 上；若不满足， 则对应点不在曲线 C 上。 也可将曲线 C 的方程先化简为：（1）x+2y=0，或（2）      01y2x 012y4x3 。 代入点 A(0，-3)，不满足 x+2y+1>0，点 A 不在曲线 C 上；代入点 B(0，4)，不满足 x+2y=0，或 3x-4y-12=0， 点 B 不在曲线 C 上；代入点 C(4，0)，满足（2），点 C 在曲线 C 上；同理，点 D 在曲线 C 上。 例 2、已知两点 M(1， 4 5 )，N(-4， 4 5 )，给出下列方程：①4x+2y-1=0，②x2+y2=3，③ 2 2 y2 x  =1， ④ 2 x 2 -y2=1 在曲线存在点 P，满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 A、①③ B、②④ C、①②③ D、②③④ 解题思路分析： 先找到满足|MP|=|NP|的点 P 轨迹，即为线段 MN 中垂线，其方程为 2x+y+3=0。 其次，因所求点 P 既在直线 2x+y+3=0 上，又①②③④中的某支曲线上，故点 P 存在性转化为直线 2x+y+3=0 与①②③④的方程联立后，方程组是否有解。 直线 2x+y+3=0 与①表示的直线平行，故曲线上不存在点 P； 由      3yx 03yx2 22 得：5x2+12x+6=0，△1=144-120=24>0 ∴ 曲线②上存在点 P； 由      1y2 x 03yx2 2 2 得：9x2+24x+16=0，△2=0，曲线③上存在点 P； 由      1y2 x 03yx2 2 2 得：7x2+24x+20=0，△3>0，曲线④上存在点 P。 综上所述，选 D。 注：本题将求点 P 存在的问题转化为两支曲线是否有公共点的问题，是一种典型的求点的方法。由 条件|MP|=|NP|得到点 P 轨迹，是轨迹思想的重要运用，同学们应学会将点放在曲线上（即元素属于某个 集合）这种重要的思考方法。 例 3、已知△ABC 的边 BC=2，∠B=2∠A，求顶点 C 的轨迹方程。 解题思路分析： 第一步，建立适当的坐标系，如图，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系； 第二步，设点，包括动点 C(x，y)及已知的基本点 A(-1，0)，B(1，0); 第三步，找几何等式 由∠B=2∠A 得：tanB=tan2A，即 tanB= Atan1 Atan2 2 ； 第四步，第几何等式坐标化 由正切联系斜率，再联系斜率的坐标公式 tanA= 1x y  ，tanB=-kBC= 1x y  ∴ 2)1x y(1 1x y2 1x y    第五步，化简上述方程 ∴ 22 y)1x( y)1x(2 1x y   ∵ y≠0（点 C 与 AB 共线） ∴ y2-(x+1)2=2(x+1)(x-1) ∴ 3x2-y2+2x-1=0 第六步，检验完备性纯粹性。对完备性通常是删的工作。 ∵∠B=2∠A ∴ 点 C 在 AB 中垂线左侧 ∴ x>0 对纯粹性，通常是补的工作。在上述推导过程中，因涉及到 BC 的斜率，故 x≠1。实际上，当 x=1 时，BC⊥AB ∴ ∠A=450 ∴ |BC|=|AB|=2 ∴ y=2 即此时点 C(1，2)，检验可知，亦满足方程。 刚才的推导是将点 C 置于 AB 上方，故方程增加 y>0 的条件。 综上所述，当点 C 在 AB 上方时，轨迹方程为 3x2-y+2x-1=0（x>0， y>0） 当点 C 在 AB 下方时，同理可求得点 C 的轨迹方程为 3x2-y2+2x-1=0（x>0，y<0） ∴ 所求顶点 C 轨迹方程为 3x2-y2+2x-1=0（x>0，y≠0） 注：1、本题通过正切函数将角的等式转化为两条直线斜率之间的关系，等式关系明显，无需多转变， 这种求轨迹方程的方法称为直译法。 2、对于轨迹的纯粹性和完备性，纯粹性的要求是“补”，补上由形转化为数时，所遗漏的一些点； 完备性的要求是“删”，除去方程变形中的增解或数未能准确翻译形的点（集）。 例 4、过点 A（3，2）作一直线，与已知直线 3x+2y+6=0 相交于 B，设 P 是  AB 上的分点，且 2 1 PB AP  ， 求点 P 轨迹。 解题思路分析： 可知，点 P 由点 B 所决定。因点 B 的轨迹已知（为直线 3x+2y+6=0），若能 用点 P 坐标表示点 B 坐标，则将点 B 坐标代入 3x+2y+6=0，即得所求点 P 的轨迹方程。 设 P(x，y)，B(x0，y0)，由  AP = 2 1  PB 知                  2 11 y 2 12 y 2 11 x 2 13 x 0 0 即         3 y4y 3 x6x 0 0 ∴      4y3y 6x3x 0 0 ∵ 3x0+2y0+6=0 ∴ 3（3x-6）+2(3y-4)+6=0 整理得 9x+6y-20=0 ∴ 所求轨迹为直线 9x+6y-20=0 注：1、本题所采用的方法通常称为转移（或代入法），其特征是动点 P（x，y）由某个相交点 P’(x0， y0)（如本题点 B）决定，P’轨迹方程已知，f(x0,y0)=0，则只需找到(x，y)与(x0，y0)之间的关系，用 x、 y 表示 x0、y0，代入 f(x0,y0)=0，所得到的 F(x，y)=0 即为所求点 P 轨迹方程。从解题思路上称为转移法， 从运算的角度称为代入法。 2、本题最后的要求是求轨迹，轨迹指的是具体图形，而轨迹方程则是指的方程，偏重于数。当然具 体的轨迹如位置、型状等仍需通过轨迹方程才能确定。 例 5、射线 OA、OB 的方程分别为 y= 3 x，y=- x（x≥0），点 C、D 分别在 OA、OB 上滑动，则|CD|=4 ， 求 CD 中点 P 的轨迹方程。 解题思路分析： 因点 P 由 C、D 确定，故将 C、D 坐标作为参数。 设 P（x，y）， C（x1， x1）， D（x2，- x2），则由|CD|=4 得 34)x3x3()xx( 2 21 2 21  ∴ (x1-x2)2+3(x1+x2)2=48 …… 又         2 x3x3y 2 xxx 21 21 ∴      3 y2xx x2xx 21 21 代入①式得： 48)x2(3) 3 y2( 22  化简得 9x2+y2=36，即为点 P 轨迹方程。 注：本题欲直接建立 x，y 的方程较困难，根据中点性质，将 C、D 坐标作为参数能够很方便地勾通 条件与结论。这种方法称为参数法。在其它问题中，参数的类型是相当广泛的，如斜率 k、截距 b 等等。 例 6、两曲线 C1：x2=-4(y-4)，C2： 19 y a x 2 2 2  （a>0）有四个不同交点，求实数 a 的取值范围。 解题思路分析： 根据曲线交点的方程组理论，方程组 x2=-4(y-4) ① 应有四个不同实数解。消 1a y a x 2 2 2  ② 元得 a2y2-36y+9(16-a2)=0(*) 考察①式，由二次函数的特性可知，对于 y<4 的任一个实数 y0，-4(y0-4)>0 ∴ )4y(4x 0  从而有两个不同的 x 与之对应，这就得到了关于 y 轴对称的两个不同的点。由此可知，欲使 C1、C2 有四 个不同交点，只需求关于 y 的一元二次方程（*）在（-∞，4）上有两个不同实数解。 令 f(y)=a2y2-36y+9(6-a2) 由函数图象可知，a 必须且只需满足           0)4(f 4 a2 36 0)a6(a36)36( 2 222 解之得 a> 17  例 7、求与曲线 C：x2-y2=1 只有一个公共点的直线方程。 解题思路分析： 用待定系数法求直线方程，即由条件“只有一个公共点”转化为关于直线方程中参数的方程。 1、当直线斜率存在时，设：y=kx+b 由已知      1yx bkxy 22 只有一组实数解 消去 y 得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 （*） 则（*）方程只有一个实数解，或若（*）方程为二次方程，则有两个等根。 （1）当 1-k2=0，k=±1 时，（*）方程化为 2bx=b2+1 或-2bx=b2+1，显然 b≠0 时，两方程均有唯一实 数解 ∴ 满足条件的直线：y=±x-b（b≠0） （2）当 1-k2≠0 时，k≠±1 时，（*）方程为二次方程，由已知，其△=4b2k2+4(1-k2)(b2+1-k2)=0 ∴ k=± 1b2  ∵ k≠±1 ∴ b≠0 ∴ 满足条件的直线：y= 1b2  x+b（b≠0） ∴ 当直线斜率不存在时，设：x=a，由已知方程组      1yx ax 22 只有一组解 ∴ y2=a2-1，y=± 1a 2  ∴ 当 a2-1=0，a=±1 时，方程组有唯一解（1，0），或（-1，0） ∴ 直线：x=±1 综上所述，直线方程为 x  y±b=0（b≠0），或 x1b2  y±b=0（b≠0），或 x±1=0 注：1、本题涉及到了二级讨论的分类讨论思想。首先对参数 k，需对其存在性进行讨论，接着在这 个讨论之下，再对二次项系数是否为零进行讨论，因为△法的前提是方程必须为二次方程。 2、本题用数解决形的问题的一个典型问题，值得注意的是，由于形和数有各自的语言特点，故在转 化时应准确。如题中条件为“只有一个公共点”，转化为数的语言时，若方程是二次方程，则其方程应为 两个等根，也就是说△=0 时，不能说二次方程的等根为一个根。 通过进一步的学习可知，“只有一个公共点”包含直线和二次曲线的两种位置：相交、相切，从方程 角度看，前者对应着一次方程有唯一解；后者对应着二次方程有等根。 五、同步练习 （一）选择题 1、下列各组方程表示相同曲线的是 y=x 与 y= 2x B、(x-1)2+(y+2)2=0 与(x-1)(y+2)=0 C、 y2=x2 与 y=|x| D、y= x 1 与 xy=1 2、到两坐标轴距离之和为 1 的点的轨迹围成图形的面积是 A、 1 B、 2 C、2 D、4 3、动点 P（x，y）到定点（3，4）的距离比 P 到 x 轴距离多一个单位长，则动点 P 的轨迹方程是 A、 x2-6x-10y+24=0 B、x2-6x-6y+24=0 C、x2-6x-10t+24=0 或 x2-6x-6y+24=0 D、 x2-8x-8y+24=0 4、到两坐标轴距离之差的绝对值等于 2 的点的轨迹是 A、 二条直线 B、四条直线 C、四条射线 D、八条射线 5、已知两定点 A（-a，0）， B（a，0）（ a>0），动直线1、2 分别绕 A 点、B 点转动，转动中，1 逆时 针方向到2 的最小正角等于 450，则1 和2 交点 M 的轨迹方程为 A、 (x-a)2+y2=2a2 B、x2+(y-a)2=2a2 C、(x+a)2+y2=2a2 D、x2=(y+a)2=2a2 6、若命题“曲线 S 上的点坐标满足方程 F(x，y)=0”是正确的，则下列诸命题中正确的一个是 A、方程 F(x，y)=0 的曲线是 S B、曲线 S 是方程 F(x，y)=0 的轨迹 C、满足方程 F(x，y)=0 的点都在曲线上 E、 方程 F(x，y)=0 的曲线不一定是 S 7、 已知坐标满足方程 F(x，y)=0 的点都在曲线 C 上，则 A、 曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x，y)=0 B、 凡坐标不适合 F(x，y)=0 的点都不在 C 上 C、 不在 C 上的点的坐标必不适合 F(x，y)=0 D、 不在 C 上的点的坐标有些适合 F(x，y)=0，有些不适合 F(x，y)=0 8、若△ABC 的两个顶点 B、C，坐标分别是（-1，0），（2，0），顶点 A 在直线 y=x 上移动，则△ABC 重心 G 的轨迹方程是 A、y=x+ 3 1 B、y= 3 x +1 C、y= 3 x -1 D、y=x- 3 1 9、曲线 C：      2t1y t 11x （t 为参数，b≠0），则 C 的普通方程是 A、(x-1)2(y-1)=1 B、y= 2)x1( )2x(x   C、y= 1 )x1( 1 2   D、y= 1 x1 x 2   10、直线：y=kx+2 与曲线 C：x2-y2=6（x>0）交于不同两点，则 k 范围为 A、（ 3 15,3 15 ） B、（ 0， 3 15 ） C、（ 3 15 ，0） D、（ 3 15 ，-1） （二）填空题 11、点 P 在曲线 C：y=x2-1 上运动，定点 A（2，0），延长 PA 到 Q，使|AQ|=2|AP|，则 Q 点轨迹方程 是__________________。 12、点 M(cosα ，sinα )，N(cosβ ，sinβ )（0<α ,β <π ）均在直线：Ax+By+C=0（AB≠0）上， 用 A、B 代数式表示 sin(α +β )=_________________。 13、平行四边形 ABCD 顶点 A（3，-1）， C（2，-3），顶点 D 在直线：3x-y+1=0 上运动，则边 AB 中 点 P 的轨迹方程是_________________。 14、直线：Ax+By+C=0 过定点 P（2，2），则被曲线 y2=2x 所截线段中点 M 的轨迹方程是 ________________。 15、曲线 C：         1cosb ysina x 1sinb ycosa x （θ 为参数，a、b 是正常数，则 C 的普通方程是 ____________________。 （三）解答题 16、抛物线 P：y=ax2+bx+c（a≠0），过两点（1，2），（ 2，-1）， （1）用 a 表示 b，c； （2）对任意 a≠0，抛物线 P 不过点（m，m2+1），求 m。 17、过曲线 x2+y2=r2 内一定点 P（m，n）作弦 AB，求 AB 中点 M 轨迹方程。 18、曲线 C：2x2-2xy+y2-6x-4y+27=0 上最高点为 P，最低点为 Q，求|PQ|。 19、是否存在实数 a，使曲线 y=x2 与 x2+(y-a)2=1 有且只有三个交点？ 20、△ABC 顶点 A（0，3）， BC 边在 x 轴上滑动，|BC|=2，求 （1）△ABC 外心 M 的轨迹方程； （2）过点 P（0，2）且被轨迹截得弦长为 52 5 的直线方程。 六、参考答案 （一）选择题 1、D。 2、C。 |x|+|y|=1，表示的曲线关于坐标轴及原点对称，故只需求出第 一象限内图形，当 x≥0，y≥0 时，x+y=1，将其关于坐标轴及原点对称后得 正方形 ABCD，边长为 2 ，S=2。 3、A。 1|y|)4y()3x( 22  当 y≥0 时，(x-3)2+(y-4)2=(y+1)2，化简得 x2-6x-10y+24=0 当 y<0 时，(x-3)2+(y-4)2=(1-y)2，(x-3)2=6y-15 ∵ 6y-15<0，(x-3)2≥0 ∴ 该方程无意义 ∴ 所求轨迹方程为 x2-6x-10y+24=0 4、D。 设动点 P（x，y），则||x|-|y||=2 ∴ |x|-|y|=±2 当 x≥0 时，方程为 x-y=2，或 x-y=-2，表示两条射线 AA1、BB1， 将两条射线分别关于坐标轴和原点对称，共得到八条射线，如图。 5、B。 设 M（x，y） 当 x≠±a 时， ax yk MA  ， ax yk MB  代入 MAMB MAMB0 kk1 kk45tan   ∴ ax y ax y )ax)(ax( y1 2  化简得 x2+y2-2ay-a2=0，x2+(y-a)2=2a2（y>0） 当 x=±a 时，M（±a，2a）亦满足方程。 6、D。 7、C。 8、D。 设 G（x，y）， A（x0，y0） 则         3 yy 3 1xx 0 0 ∴      y3y 1x3x 0 0 代入 y0=x0 得 3x-1=3y ∴ y=x- 3 1 9、B。 消去参数 t 即可，将 t= x1 1  代入 y=1-t2， 2)x1( 11y   ∴ y 2 2 )x1( x2x   10、D。 由已知方程组      6yx 2kxy 22 在 x∈(0，+∞)上有两个不同的实数解 消去 y 得(1-k2)x2-4kx-10=0 ∴                 0 k1 10xx 0 k1 k4xx 0)k1(40k16 221 221 22 ∴            3 15k3 15 1k,1k 0k 或 ∴ 1k3 15  （二）填空题 11、x2-12x+2y+32=0。设 Q(x，y)，P(x0，y0) ∵   AQ2 1PA ∴                  2 11 y2 1y 0 2 11 x2 1x 2 0 0 ∴      y2y x26x 0 0 代入 y0=x0 2-1 化简即可。 12、 22 BA AB2  。∵ 2cot 2sin2sin2 2cos2sin2 coscos sinsinkk MN     ， B Ak  ∴ B A 2 BAcot  ∴ A B 2tan  ∴ 222 BA AB2 2tan1 2tan2 )sin(     13、3x-y-15=0。设 P(x，y)，平行四边形对角线交点为 Q，则 Q（ 2 5 ，-2）， B（2x-3，2y+1） 又设点 Q（x0，y0） 则         2 1y2y2 2 3x2x 2 5 0 0 ∴      5y2y yx2x 0 0 代入 3x0-y0+1=0 即可 14、y2-x-2y+2=0。设线段 AB，A(x1,y1)，B(x2，y2)中点 M(x0，y0) 则      2 2 2 11 x2y x2y 相减得(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2) ∴ 2121 21 yy 2 xx yy   ∴ 0 AB y 1k  又 2x 2ykk 0 0 MPAB   ∴ 00 0 y 1 2x 2y   ∴ y0 2-x0-2y0+2=0 ∴ 点 M 轨迹方程为 y2-x-2y+2=0 15、 2 b y a x 2 2 2 2  。两式平方相加，消去θ 即可 （三）解答题 16、解：（1）      cb2a41 cba2 ∴      a41cb2 a2cb ∴      1a2c 1ab （3）将点(m，m2+1)代入 y=ax2+bx+c，整理得 a(m2+m-2)+m-m2=0 由已知，对任意 a≠0，(m2+m-2)a+m-m2≠0 即关于 a 的方程(m2+m-2)a+m-m2=0 无非零解 ∴ ①关于 a 的方程无解，      0mm 02mm 2 2 ∴ m=-2 或②只有零解，      02mm 0mm 2 2 ∴ m=0 ∴ m=-2，或 0 17、解：设 A(x1，y1)，B(x2,y2)，中点 M(x，y) 则      22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ryx ryx 作差变形得 21 21 21 21 yy xx xx yy    ∴ y xk AB  又 mx nyk AB   ∴ mx ny y x   ∴ x2+y2-mx-ny=0 ∴ 所求轨迹方程 x2+y2-mx-ny=0（其上面点（x，y）在曲线 x2+y2=r2 的内部）。 18、解：先整理成关于 x 的方程 2x2-2(y+3)x+y2-4y+27=0 ∵ △x=4(y+3)2-8(y2-4y+27)≥0 ∴ y2-14y+45≤0 ∴ 5≤y≤9 当 y=9 时，x=6；当 y=5 时，x=4 ∴ 最高点 P（6，9），最低点 Q（4，5） ∴ |PQ|= 52 19、解：由已知，方程组      1)ay(x xy 22 2 只有三组解 消之得：y2-(2a-1)y+a2-1=0 则此方程有一个零根，一个正根 令 y=0，得 a=±1 当 a=1 时，y=0，y=1，满足条件； 当 a=-1 时，y=0，y=-3<0，舍去 ∴ 当 a=1 时，两曲线只有三个交点 20、解：（1）不妨设 B（t，0），则 C（t+2，0） ∴ BC 中垂线：x=t+1 又 AB 中垂线： )2 tx(3 t 2 3y  联立两方程得      )2 tx(3 t 2 3y 1tx 消去 t 得 x2=6y-8，即为△ABC 外心 M 轨迹方程 （2）设直线：y-2=kx 由      8y6x 2kxy 2 得 x2-6kx-4=0 ∴ 16k36k152 5 22  化简得 144k4+208k2-61=0 ∴ 4 1k 2  ，或 36 61k 2  （舍） ∴ 2 1k  ∴ 直线：y= 2x2 1  ，即±x-2y+4=0