高考数学复习练习试题9_7抛物线

高考数学复习练习试题9_7抛物线

‎§9.7　抛物线 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．(2010·陕西改编)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．‎ ‎2．(2010·山东改编)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__________．‎ ‎3．已知d为抛物线y＝2px2 (p>0)的焦点到准线的距离，则pd＝__________.‎ ‎4．(2010·无锡联考)抛物线y2＝－ax的准线方程为x＝－2，则a的值为________．‎ ‎5．(2010·扬州联考)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，则PA＋PM的最小值是________．‎ ‎6. 若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程是______________________．‎ ‎7．(2010·重庆)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.‎ ‎8.（2010·全国Ⅱ）已知抛物线C：(>0)的准线为，过M（1,0）且斜率为的直线与相交与点A，与C的一个交点为B，若则__________‎ ‎9．(2010·南通模拟)当x>1时，直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方，则a的取值范围是．‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．‎ ‎11.(16分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，且过点P(2,2)，过F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．‎ ‎12．(16分)(2010·广东韶关一模)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.‎ 答案 ‎ ‎1．2 2．x＝－1 3. 4．－8 5. ‎6．y2＝16x或x2＝－8y 7．2 8．2 9．(－∞，4)‎ ‎10．解　依题意，设抛物线方程为y2＝2px (p>0)，‎ 则直线方程为y＝－x＋p.‎ 设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，‎ 过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，‎ 则由抛物线定义得 AB＝AF＋FB＝AC＋BD ‎＝x1＋＋x2＋，‎ 即x1＋x2＋p＝8.①‎ 又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，‎ 由消去y，‎ 得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.‎ 将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.‎ 当抛物线方程设为y2＝－2px (p>0)时，‎ 同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.‎ 综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.‎ ‎11．(1)解　设抛物线y2＝2px (p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.‎ ‎∴y2＝2x为所求抛物线的方程．‎ ‎(2)证明　设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：x2－(1＋2t2)x＋＝0，设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝.∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2，‎ 又AB＝x1＋x2＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，‎ ‎∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．‎ ‎12．(1)解　依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，‎ L：y＝－2为准线的抛物线，‎ 因为抛物线焦点到准线距离等于4，‎ 所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.‎ ‎(2) 　因为直线AB与x轴不垂直，‎ 设AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．由 可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.‎ 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.‎ 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 k1＝x1，k2＝x2，‎ k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.‎ 所以AQ⊥BQ.‎