北京市鲁迅中学2019-2020学年高二下学期诊断性测试数学试题

北京市鲁迅中学2019-2020学年高二下学期诊断性测试数学试题

北京市鲁迅中学 ‎2019-2020学年第二学期诊断性测试 高二数学 一、选择题 ‎1.复数z1=3+i,z2=1－i，则z=z1·z2在复平面内的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：复数对应的点为，在第四象限 考点：复数运算 点评：复数运算中，对于复数，其对应的点为 ‎2.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．‎ 详解：化简可得z= ‎ ‎∴z的共轭复数为1﹣i.‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．‎ ‎3.已知是实数，是纯虚数，则 等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可知：，‎ 为纯虚数，则：，据此可知.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4.用0，1，2，3，4，5这个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为有0和没0两类求解.‎ ‎【详解】当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：种；‎ 当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：种,‎ 两类相加一共有300种，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合与分类加法计数原理，考查分类讨论思想，属于基础题.‎ ‎5.已知函数在上有导函数， 图象如图所示，则下列不等式正确的是（　 ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设函数，则，则函数为增函数，再利用一次函数的增减性即可得解.‎ ‎【详解】解：设函数，‎ 则，‎ 则函数为增函数，‎ 又，‎ 则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题.‎ ‎6.复数是虚数单位的实部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以其实部为，选B.‎ 考点： 复数的概念，复数的四则运算.‎ ‎7.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A. 14 B. ‎24 ‎C. 28 D. 48‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，‎ 故不同的选派方案种数为．故选A.‎ 法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生选法有种，‎ 故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A ‎8.设为复数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合复数的运算和性质及概念，利用逻辑条件的定义判断.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，故充分；‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得或，故不必要；‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查逻辑条件判断以及复数的运算及概念，还考查了理解辨析、运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎9.的展开式中系数最大的项为（ ）‎ A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到展开式的通项公式为：，要使系数最大，则r为偶数，且r可取2，4，6，由，且求解.‎ ‎【详解】的展开式的通项公式为：，‎ 要使系数最大，则r为偶数，且r只可能从2，4，6中选，‎ 故，且，‎ 所以，且，‎ 所以，且，‎ 经验证：当时，符合，‎ 所以的展开式中系数最大的项为第五项，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查二项式展开式的项的系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎10.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：‎ 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：‎ 如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字.‎ ‎【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下 ‎ ‎ ‎2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，‎ 则上列情况能表示的三位数字个数分别为：‎ ‎2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，‎ 根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.‎ 二、填空题 ‎11.二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式的通项公式求解.‎ ‎【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：‎ ‎ ‎ 令可得 ，此时.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有______种（用数字作答）‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由甲、乙相邻，利用捆绑法与其余3人全排列即可.‎ ‎【详解】因为甲、乙相邻，则利用捆绑法，看作一个人，则有种，‎ 再与其余3人看作4人全排列有种，‎ 所以人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有种，‎ 故答案为：48‎ ‎【点睛】本题主要考查排列应用问题，还考查了捆绑法的应用，所以基础题.‎ ‎13.若复数满足，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出复数，再求模.‎ ‎【详解】由得，则.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）．‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】‎ 可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有种，则甲、乙两不相邻的排法有种．‎ ‎15.如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）‎ ‎【答案】260‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.‎ ‎【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种，‎ 当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种，‎ 所以不同的种植方案共有种，‎ 故答案为：260‎ ‎【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.‎ 三、解答题 ‎16.已知函数，且.‎ ‎(Ⅰ)求的值.‎ ‎(Ⅱ)写出能够说明“任给，”是假命题的一组的值.‎ ‎【答案】(1)-1.‎ ‎(2) 答案不唯一，如.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）解：由题意，解得，确定函数的解析式，即可求解；‎ ‎ (Ⅱ)根据对数函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，即可得出其中一组解.‎ 详解：（Ⅰ）解：由题意，‎ 所以，即.‎ 则 ‎.‎ ‎(Ⅱ)解：答案不唯一，如.‎ 点睛：本题主要考查了对数函数图象与性质以及对数的基本运算，其中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎17.已知函数，其中.‎ ‎(Ⅰ)若，解不等式；‎ ‎(Ⅱ)记不等式的解集为，若，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ，或.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）解：由题意，当时，得不等式，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集；‎ ‎ (Ⅱ) 由不等式的解集为，且，得，即，分类讨论，即可求解实数的取值范围.‎ 详解：（Ⅰ）解：由题意，得不等式，‎ 解得，或.‎ 所以不等式的解集为，或.‎ ‎(Ⅱ)解：因为不等式的解集为，且，‎ 所以，即 当时，不等式不成立；‎ 当时，不等式等价于，‎ 解得.‎ 综上，的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查了一元二次不等式解法以及一元二次函数的应用，其中熟记一元二次不等式的解法和一元二次函数的图像与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力和转化思想方法的应用.‎ ‎18.函数的部分图象如图所示，其中，，.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）写出的单调递增区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为，最小值为；（Ⅲ）单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由函数的最大值可求得的值，从图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合可求得的值，进而可求得函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）由可求得的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）解不等式，可得出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由图象可得，‎ 且函数的最小正周期为，，‎ ‎，得，‎ ‎，，，可得.‎ 因此，；‎ ‎（Ⅱ），，‎ 所以，当时，函数取得最小值，即；‎ 当时，函数取得最大值，即.‎ 因此，函数在区间上的最大值为，最小值为；‎ ‎（Ⅲ）解不等式，得.‎ 所以，函数的单调递增区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角函数图象求函数解析式，同时也考查了正弦型函数最值和单调区间的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.现行的个税法修正案规定：个税免征额由原来的2000元提高到3500元，并给出了新的个人所得税税率表：‎ 全月应纳税所得额 税率 不超过1500元的部分 ‎3%‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10%‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20%‎ 超过9000元至35000元的部分 ‎25%‎ ‎……‎ ‎…‎ 例如某人的月工资收入为5000元，那么他应纳个人所得税为：（元）.‎ ‎（Ⅰ）若甲的月工资收入为6000元，求甲应纳的个人收的税；‎ ‎（Ⅱ）设乙的月工资收入为元，应纳个人所得税为元，求关于的函数；‎ ‎（Ⅲ）若丙某月应纳的个人所得税为1000元，给出丙的月工资收入.（结论不要求证明）‎ ‎【答案】(1) （元）.(2) .(3) 丙的月工资收入为11275元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）依据所得税税率表计算即可.‎ ‎（Ⅱ）依据税率表分段计算应纳个人所得税.‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ）计算工资收入.‎ ‎【详解】(Ⅰ)解：甲的月工资收入为元，其应纳的个人所得税为 ‎（元）.‎ ‎(Ⅱ)解：当时，乙应纳个人所得税元.‎ 当时，乙应纳个人所得税元.‎ 当时，乙应纳个人所得税 元.‎ 当时，乙应纳个人所得税 元.‎ 所以 .‎ ‎（Ⅲ）丙的月工资收入为元.‎ ‎【点睛】本题为应用题，以个人所得税为载体考查分段函数的数学模型的建立以及利用数学模型解决实际问题，问题解决的过程中注意依据所给的规则计算.‎