陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题

陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题

汉中市龙岗学校 2021 届高二第一学期第二次月考 数学试题（理科） （满分 ：150 分； 完卷时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知集合 { | 2}A x N x   ， { 1,1}B   ，则 A B  ( ) .{ 1,0,1,2}A  .{ 1,1,2}B  .{1}C .{0,1,2}D 2．命题“对任意的 xR ,都有 3 22 3 1 0x x x    ”的否定是( ) A.存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x    B.存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x    C.不存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x    D.对任意的 xR ,都有 3 22 3 1 0x x x    3．已知两个随机变量 ,x y 之间的相关关系如表所示：根据上述数据得到的回归方程为 y bx a  ，则大致可以判断( ) . 0, 0A a b  . 0, 0B a b  . 0, 0C a b  . 0, 0D a b  4．已知 ,  是两个不同的平面， ,m n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若 ,m m ⫋  ，则  ； ②若 ,m n m   ，则 / /n  ； ③若 , / /m n m   ，且 n ⊈  ， n ⊈  ，则 / /n  且 / /n  ； ④若 / / ,m    ，则 m  ．其中真命题的个数是( ) A.0 B. 1 C. 2 D. x -4 -2 1 2 4 y -5 -3 -1 -0.5 1 3 5．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常 见的条形码是“ 13EAN  ”通用代码，它是由从左到右排列的13 个数字（用 1a ， 2a ，…， 13a 表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中 13a 是校验 码，用来校验前12 个数字代码的正确性．图 1 是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号  m 表示不超过 m 的最大整数（例如 365.7 365 ）．现有一条形码如图（2）所示 （ 397 7107202551a ），其中第3 个数被污损，那么这个被污损数字 3a 是( ) A．9 B．8 C． 7 D． 6 6．将函数 xxf sin)(  的图象向右平移 10  个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式是( ) A． ( ) sin(2 )10f x x   B． ( ) sin(2 )5f x x   C． ( ) sin( )2 10 xf x   D． ( ) sin( )2 20 xf x   7．已知 1( ) lnf x xx   在区间 (1,2) 内有一个零点 0x ，若用二分法求 0x 的近似值 (精度为 0.2 )，则最少需要将区间等分的次数为( ) .A 3 .B 4 .C 5 .D 6 8. 设log 2 log 2 0a b  ，则( ) .0 1A a b   .0 1B b a   . 1C a b  . 1D b a  9. 如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 1 2,O O ，这两个球相外切，且球 1O 与正方 体共顶点 A 的三个面相切，球 2O 与正方体共顶点 1B 的三个面相切，则两球在 正方体的面 1 1AAC C 上的正投影是( ) A. B． C． D． 10. 已知非零向量 ,a b   满足| | 2 | |a b  ，且 ( )a b b    ，则 a  与b  的夹角为( ) . 6A  . 3B  2. 3C  5. 6D  11. 1 2,F F 是双曲线 2 2 1 : 13 yC x   与椭圆 2C 的公共焦点，点 A 是 1 2,C C 在第一象限的公共 点．若 1 2 1| | | |F F F A ，则 2C 的离心率是( ) 1. 3A 2. 3B 1. 5C 2. 5D 12.已知定义在 R 的函数 ( )y f x 对任意的 x 满足 ( 1) ( )f x f x   ，当 1 1x   ， 3( )f x x ．函数 |log |, 0 ( ) 1 0 a x x g x xx    ， ，若函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x  在[ 6 )  ， 上有 6 个 零点，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1(0 ) (7 )7  ， ， B. 1 1( ] [7 9)9 7 ， ， C. 1 1[ ) (7 9]9 7 ， ， D. 1[ 1) (1 9]9 ， ， 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案写在答题卡上） 13.在不等式组       0 02 01 y yx yx ，所表示的平面区域内随机地取一点 P，则点 P 恰好落在第二象 限的概率为 . 14.已知 1x  ，求 1( ) 1f x x x    的最小值为 . 15.计算：化简 0 0 0 0 0 1 cos20 1sin10 ( tan5 )2sin 20 tan5    的值为 . 16.作边长为 a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内 切圆.如此下去，第 n 个内切圆的半径为 .)2 1(6 3 1aa n n  这是一个以 a6 3 为首项， 2 1 为公 比的等比数列 }{ na .于是前 n 个内切圆的面积和为  )2 11(9 2 2 22 2 2 1 nnn aaaaS  . 现在，作边长为 a 的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后，再作新正四面 体的内切球，如此下去，则前 n 个内切球的表面积之和 nT = . 三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10 分)已知等差数列{an}满足 a3＝7，a5＋a7＝26. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)设 cn＝ 1 2 nnaa ，n∈N*，求证：数列{cn}的前 n 项和 Tn 3 1 . 18.(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  底面 ABCD ， 1AB  ， 点 E 为棱 PC 的中点. , / / , 2AD AB AB DC AD DC AP    . （1）证明： BE DC ；（2）求二面角 E AB P  的大小. 19．(12 分)已知函数 2( ) 1 2 3sin cos 2cosf x x x x m    在 R 上的最大值为 3. （1）求 m 的值及函数 ( )f x 的单调递增区间; （2）若锐角 ABC 中角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，且 ( ) 0f A  ，求 b c 的取值范 围. 20.(12 分)2017 年两会继续关注了乡村教师的问题,随着城乡发展失衡,乡村教师待遇得不到 保障,流失现象严重,教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题,为此,某市今年要为某所乡村 中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要 2 万元,若三年后教师严重短缺时再 招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要 5 万元,已知现在该乡村中学无多余教师,为决策 应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市 100 所乡村中学在过去三年内的教师流失数,得到如下 的柱状图：记 x 表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数,y 表示一所乡村中学未来四年 内在招聘教师上所需的费用(单位：万元)，n 表示今年为该乡村中学招聘的教师数，为保障乡 村孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘. （1）若 19n  ，求 y 与 x 的函数解析式; （2）假设今年该市为这 100 所乡村中学的每一所都招聘了 19 个教师或 20 个教师，分别计算 该市未来四年内为这 100 所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年 该乡村中学应招聘 19 名还是 20 名教师? 21.(12 分)圆 C 的半径为 3,圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方, x 轴被圆 C 截得的弦长为 52 . (1)求圆 C 的方程; (2)是否存在斜率为 1 的直线 l，使得以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在，求 出 l 的方程;若不存在，说明理由. 22．(12 分)已知函数 2( ) 2 1g x x ax   ，且函数 ( 1)y g x  是偶函数，设 ( )( ) g xf x x  (1)求 ( )f x 的解析式; (2)若不等式 (ln ) lnf x m x ≥0 在区间(1，e2]上恒成立，求实数 m 的取值范围; (3)若方程 2( 2 1) 2 0 2 1 x xf k      有三个不同的实数根，求实数 k 的取值范围. 汉中市龙岗学校 2021 届高二第一学期第二次月考 理科答案及评分细则 一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A D C B C A B B B B C 二．填空题 13. 14.3 15. 16. 17.(1)设等差数列的公差为 d，则由题意可得 a1＋2d＝7， 2a1＋10d＝26，解得 a1＝3， d＝2。 ……3 分 所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1。……4 分 (2)因为 cn＝ ＝ ，……7 分 所以 cn＝ 1 2n＋3。 所以 Tn＝ 1 2n＋3＝ 1 2n＋3 。……10 分 18. ⑴证明：取 中点 ，连接 分别是 的中点 四边形 是平行四边形 面 , ……2 分 , ……4 分 面 ……5 分 ⑵由（1）知 ， ∴ 为二面角 的平面角……9 分 又∵ ，∴ 为等腰直角三角形 又∵ 为 中点，∴ ……11 分 二面角 的大小 ……12 分 19.（1）解： ……2 分 由已知 ，所以 ……3 分 因此 令 得 因此函数 的单调递增区间为 ……5 分 （2）解：由已知 ，∴ 由 得 ，因此 所以 ……7 分 ……10 分 因为为锐角三角形 ，所以 ，解得 因此 ，那么 ……12 分 20. （1）解:当 时, y=2×19=38 万……2 分 当 x>19 时,y=38+5(x−19)=5x−57 万， 所以 y 与 x 的函数解析式为 ……5 分 （2）解:若每所乡村中学在今年都招聘 19 名教师,则未来四年内这 100 所乡村中学中有 70 所 在招聘教师上费用为 38 万元,20 所的费用为 43 万元,10 所的费用为 4 8 万元,因此这 100 所 乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为 ×(3 8×70+4 3×20+4 8×10)=4 0 万元。……8 分 若每所乡村中学在今年都招聘 20 名教师,则这 100 所乡村中学中有 90 所在招聘师上的费用为 4 0 万元,10 所的费用为 4 5 万元,因此未来四年内这 100 所乡村中学在招聘教师上所需费用 的平均数为 ×(4 0×90+4 5×10)=4 0.5 万元。……11 分 比较两个平均数可知，今年应为该乡村中学招聘 19 名教师。……12 分 21.因为圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方,所以设 C(m,-2m),m>0,……2 分 则已知可得(2m)2+( )2=32,解得 m=1，故圆 C 的方程是(x-1)2+(y+2)2=9. ……5 分 (2)设直线 l 的方程为 y=x+b,以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x2+y1y2=0.……7 分 ① 由 得 2x2+(2b+2)x+(b2+4b-4)=0,……9 分 要使方程有两个相异实根,则Δ=(2+2b)2-4×2(b2+4b-4)>0,……10 分 x1+x2=-1-b,x1x2 . 由 y1=x1+b,y2=x2+b, 代 入 ① x1x2+y1y2=0, 得 2x1x2+(x1+x2)·b+b2=0, 即有 b2+3b-4=0,解得 b=-4,b=1.故存在直线 l 满足条件,且方程为 y=x-4 或 y=x+1. ……12 分 22.(1) 函数 的对称轴为 ， 因为 向左平移 1 个单位得到 ，且 是偶函数， 所以 ，……2 分 所以 .……3 分（不写定义域扣 1 分） (2) 即 ……5 分 又 ，所以 ，则 因为 ，所以实数 的取值范围是 .……7 分 (3) 方程 即 化简得 令 ，则 ……8 分 若方程 有三个不同的实数根， 则方程 必须有两个不相等的实数根 ， 且 或 ，……10 分 令 当 时，则 ，即 ， 当 时， ， ， ，舍去， 综上，实数 的取值范围是 .……12 分