2020届二轮复习数列求和及其综合应用学案(全国通用)

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文档介绍

2020届二轮复习数列求和及其综合应用学案(全国通用)

数列求和与综合应用 ‎【考纲要求】‎ ‎1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式;‎ ‎2. 掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式 ‎3.注意观察数列的特点和规律,在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和,熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法;‎ ‎4.能解决简单的实际问题.‎ ‎【知识网络】‎ 数列前n项和 公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消 分组求和 综合应用 与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等 ‎【考点梳理】‎ 纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度.‎ 与计算有关的问题主要有:求数列的某项,确定数列的通项公式,求有穷数列或无穷数列之和,计算数列的极限,将数列与方程,与不等式,与某些几何问题等联系起来,从而解决有关问题.‎ 有关定性问题的论证问题主要有:考察或论证数列的单调性,将数列分类定性,考察数列的图像特征,考察数列的极限存在与否等等.‎ 有关实际应用问题:某些与非零自然数有关的实际应用题,可用数列的各项与之对应,然后利用数列有关知识解答此类应用题. 数列的函数属性:因数列是函数的特例,故解答有关问题时,常与函数知识联系起来考虑. ‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:数列与函数的综合应用 例1.(2018 菏泽一模)已知数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)若数列满足:,求数列的通项公式;‎ ‎(3)令,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)当时,‎ 当时,‎ 知满足该式 数列的通项公式为 ‎(2) ①‎ ②‎ ②-①得即 ‎(3)‎ 令①‎ 则②‎ ①-②得:‎ ‎ ‎ 数列的前项和为 举一反三:‎ 函数的极值和最值388566 典型例题三】‎ ‎【变式1】已知数列和满足:,,其中为实数,n为正整数.‎ ‎(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;‎ 解析:(Ⅰ)假设存在实数,使得数列是等比数列,则,,必然满足 由得,显然矛盾,‎ 即不存在实数使得数列是等比数列。‎ ‎(Ⅱ)根据等比数列的定义:‎ 即 又 所以当时,数列不是等比数列;当时,数列是等比数列.‎ ‎【变式2】(2018 遵义校级模拟)设是公差大于零的等差数列,已知,‎ ‎(1)求的通项公式.‎ ‎(2)设是以函数的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列的前n项和.‎ ‎【解析】(1)设数列的公差为d则:‎ 解得或(舍去)‎ ‎(2) 的最小正周期为 类型二:数列与不等式 例2. (2017 天津高考)已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等比中项.‎ ‎(Ⅰ)设,求证:是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)设 ,求证:‎ ‎【解析】⑴ ‎ 为定值.‎ ‎∴为等差数列 ‎⑵=‎ 由已知 将代入(*)式得 ‎∴,得证 举一反三:‎ ‎【变式1】在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,.‎ ‎ (1)证明数列{an-n}是等比数列;‎ ‎ (2)求数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎ (3)证明不等式,对任意皆成立.‎ 解析: (1)证明:由已知, ∴ ‎ 又a1-1=1,∴数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列 ‎(2)解:由(1)可知an-n=4n-1,∴ an=4n-1+n ‎∴Sn=a1+a2+…+an=(40+1)+(41+2) +…+(4n-1+n)‎ ‎ =‎ ‎ (3)证明:对任意 ‎-‎ ‎ =‎ ‎∵n≥1,∴ n-1≥0,3n+4>0‎ ‎∴‎ 即Sn+1≤4Sn ‎【变式2】已知{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.‎ 解析:(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q,‎ ‎∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,‎ ‎∴或,‎ ‎(Ⅱ)若q=1,则 当n≥2时,‎ 若 当n≥2时, ‎ 故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn;当n=10时,Sn=bn;当n≥11时,Sn
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