2020届二轮复习(理)第3部分策略3活用4招巧解压轴解答题学案

2020届二轮复习(理)第3部分策略3活用4招巧解压轴解答题学案

两类压轴大题是导数和圆锥曲线，难度大、综合性强，取得满分不容易，但要得到尽可能多的分数还是有方法可行的．高考是选拔性的考试，同时又是一场智者的竞争，真正的高考高手是坦然的，他们懂得有舍才有得的真正道理，面对高考大题，特别是压轴题，哪些应该勇于割舍，哪些应努力争取．本讲教你四招，让你在考试中尽可能多得分、巧得分.‎ ‎　缺步解答——化繁为简，能解多少算多少 如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”.‎ ‎【典例1】　(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．‎ ‎[规范解答](1)由椭圆定义知，‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2，‎ 所以a＝. 2分 又由已知，c＝1，‎ 所以椭圆C的离心率e＝＝＝. 4分 ‎(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 设点Q的坐标为(x，y)，‎ ‎①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为. 6分 ‎②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.‎ 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，‎ 则|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.‎ 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.‎ 由＝＋，得 ＝＋，‎ 即＝＋＝.① 8分 将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 ‎(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②‎ 由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.‎ 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 代入①中并化简，‎ 得x2＝.③ 9分 因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，‎ 得10(y－2)2－3x2＝18. 10分 由③及k2＞，可知0＜x2＜，‎ 即x∈∪.‎ 又满足10(y－2)2－3x2＝18，‎ 故x∈.‎ 由题意，Q(x，y)在椭圆C内，‎ 所以－1≤y≤1，‎ 又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈且－1≤y≤1，则y∈.‎ 所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，‎ 其中x∈，y∈. 12分 (1)本题第(1)问为已知椭圆标准方程求椭圆的离心率问题，属于容易题.‎ (2)本题的难点在于第(2)问中确定轨迹方程及方程中各变量的取值范围，本题有一定的难度，要想拿到全分很难，这就应该学会缺步解答.‎ 首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，若需要设直线方程，应考虑直线的斜率是否存在，因此当直线l的斜率不存在时，求出点Q的坐标为，这是每位考生都应该能做到的.其次，联立直线方程与椭圆方程并设出M，N，Q的坐标，通过＝＋，得到＝＋＝，然后由x1＋x2及x1x2联想一元二次方程根与系数的关系，将问题解决到x2＝是完全可以做到的，到此已经可以得到9分.另外，考虑到点Q在直线l上，将点Q坐标代入所设直线方程就能得到10(y－2)2－3x2＝18，到此便可以得到10分.到此不能继续往下解时，我们也已经得到绝大部分分数了.‎ ‎　跳步解答——左右逢源，会做哪问做哪问 解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的.这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论.若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答.‎ ‎【典例2】　(12分)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)．‎ ‎(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；‎ ‎(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；‎ ‎(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．‎ ‎[规范解答](1)证明：b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.‎ ‎∵fnfn(1)＝×1＜0，‎ ‎∴fn(x)在内存在零点.2分 又∵当x∈时，f′n(x)＝nxn－1＋1＞0，‎ ‎∴fn(x)在上是单调递增的．‎ ‎∴fn(x)在区间内存在唯一零点. 4分 ‎(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.‎ 对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4.‎ 等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.‎ 据此分类讨论如下： 5分 ‎①当＞1，即|b|＞2时，‎ M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾. 6分 ‎②当－1≤－＜0，即0＜b≤2时，‎ M＝f2(1)－f2＝2≤4恒成立. 7分 ‎③当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，‎ M＝f2(－1)－f2＝≤4恒成立．‎ 综上可知，－2≤b≤2. 8分 故b的取值范围为[－2,2]．‎ ‎(3)法一：设xn是fn(x)在内的唯一零点(n≥2)，fn(xn)＝x＋xn－1＝0，‎ fn＋1(xn＋1)＝x＋xn＋1－1＝0，xn＋1∈，‎ 于是有fn(xn)＝0＝fn＋1(xn＋1)‎ ‎＝x＋xn＋1－1＜x＋xn＋1－1＝fn(xn＋1)．‎ 又由(1)知fn(x)在上是单调递增的，‎ 故xn＜xn＋1(n≥2)，‎ 所以数列x2，x3，…，xn，…是递增数列. 12分 法二：设xn是fn(x)在内的唯一零点，‎ fn＋1(xn)fn＋1(1)＝(x＋xn－1)(1n＋1＋1－1)‎ ‎＝x＋xn－1＜x＋xn－1＝0，‎ 则fn＋1(x)的零点xn＋1在(xn,1)内，‎ 故xn＜xn＋1(n≥2)，‎ 所以数列x2，x3，…，xn，…是递增数列. 12分 第(1)问可利用函数的单调性及零点存在性定理较简单解决，但第(2)问较麻烦，很多同学不会做或耽误较长时间，从而延误了第(3)问的解答.事实上，由题意可知，第(3)问的解答与第(2)问没有任何关系，但与第(1)问是相关的，且非常容易解答，因此我们可跨过第(2)问，先解决第(3)问，从而增大了本题的得分率，这是解决此类题的上策之举.‎ ‎　逆向解答——逆水行舟，往往也能解决问题 对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证.‎ ‎【典例3】　(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)对一切x∈(0，＋∞)，‎2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．‎ ‎[规范解答](1)f′(x)＝ln x＋1， 1分 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；‎ 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 所以f(x)的最小值为f＝－. 3分 ‎(2)2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，‎ 设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，‎ 则h′(x)＝， 4分 ‎①当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；‎ ‎②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增， 5分 所以h(x)min＝h(1)＝4.‎ 因为对一切x∈(0，＋∞)，‎2f(x)≥g(x)恒成立，‎ 所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围为(－∞，4]. 7分 ‎(3)证明：问题等价于证明xln x＞－(x∈(0，＋∞)). 8分 由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，‎ 当且仅当x＝时取得. 9分 设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，‎ 易知m(x)max＝m(1)＝－.‎ 且两函数不会同时取得－.‎ 所以有xln x＞－， 11分 从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞－成立. 12分．‎ 解答本题第(3)问利用了逆向解答，把不等式ln x＞巧妙地转化为xln x＞，不等式左边是f(x)，右边看作一个新的函数m(x)，只需说明f(x)min>m(x)max即可.‎ ‎　退步解答——以退为进，列出相关内容也能得分 ‎“以退求进”是一个重要的解题策略.对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论.总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决.‎ ‎【典例4】　(12分)如图，O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．‎ ‎(1)求C1，C2的方程；‎ ‎(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|＋|＝||，证明你的结论．‎ ‎[规范解答](1)设C2的焦距为‎2c2，由题意知，‎2c2＝2,‎2a1＝2.‎ 从而a1＝1，c2＝1.‎ 因为点P在双曲线x2－＝1上，‎ 所以－＝1，故b＝3. 2分 由椭圆的定义知 ‎2a‎2＝＋＝2.于是a2＝，b＝a－c＝2.‎ 故c1，c2的方程分别为x2－＝1，＋＝1. 4分 ‎(2)不存在符合题设条件的直线. 5分 ‎①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－.‎ 当x＝时，易知A(，)，B(，－)，‎ 所以|＋|＝2，||＝2.‎ 此时，|＋|≠||.‎ 当x＝－时，同理可知，|＋|≠||. 7分 ‎②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m.‎ 由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.‎ 当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，‎ 从而x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝. 9分 由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋‎2m2‎－6＝0.‎ 因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k‎2m2‎－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.‎ 化简，得m2＝2k2＋3， 10分 因此·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝＋＝≠0.‎ 于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，‎ 即|＋|2≠|－|2，故|＋|≠||.‎ 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线. 12分 在求解第(2)问时可采用退步解答，若不能正确判断其结论也应说明直线是否存在，同时应对直线垂直于x轴时给予说明，这就是所谓的从一般到特殊.‎