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文档介绍
2018届二轮复习(理) 排列、组合、二项式定理学案(全国通用)
第1讲 排列、组合、二项式定理 1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题,以小题形式考查. 2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识,近几年也与函数、不等式、数列交汇,值得关注. 热点一 两个计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理,将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理,将各步的方法种数相乘. 例1 (1)(2017·东北三省三校联合)在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌,牌的底色可选用红、蓝两种颜色,若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色,则不同的配色方案共有( ) A.20种 B.21种 C.22种 D.24种 答案 B 解析 分类讨论. 当广告牌没有蓝色时,有1种结果; 当广告牌有1块蓝色时,有C=6(种)结果; 当广告牌有2块蓝色时,先排4块红色,形成5个位置,插入2块蓝色,有C=10(种)结果; 当广告牌有3块蓝色时,先排3块红色, 形成4个位置,插入3块蓝色,有C=4(种)结果; 由于相邻广告牌不能同为蓝色,所以不可能有4块蓝色广告牌. 根据分类加法计数原理有1+6+10+4=21(种)结果. 故选B. (2)(2016·全国Ⅱ)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 答案 B 解析 从E到F的最短路径有6条,从F到G的最短路径有3条,所以从E到G的最短路径为6×3=18(条),故选B. 思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理. (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化. 跟踪演练1 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有( ) A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 答案 C 解析 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12(种), 若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AA=12(种), 若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有AC=6(种), 若甲、乙抢的是两个6元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有A=6(种), 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种. 故选C. (2)(2017·江西省五市八校联考)某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若每班只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同的安排方法种数是( ) A.24 B.32 C.48 D.84 答案 A 解析 首先安排文科学生,文科两个班的学生有A种安排方法,然后安排理科学生,理科的学生有A×A种安排方法,利用分步乘法计数原理可得,不同的安排方法种数为A×A×A=24(种).故选A. 热点二 排列与组合 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复 不同点 ①排列与顺序有关; ②两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ①组合与顺序无关; ②两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同 例2 (1)(2017届四川省广元市三诊)某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( ) A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 答案 B 解析 若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的3个家庭,有C·22=12(种)方法,若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有C·22=12(种),所以共有12+12=24(种)方法,故选B. (2)(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答) 答案 1 080 解析 ①当组成四位数的数字中有一个偶数时,四位数的个数为C·C·A=960. ②当组成四位数的数字中不含偶数时,四位数的个数为A=120. 故符合题意的四位数一共有960+120=1 080(个). 思维升华 求解排列、组合问题的思路:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘. 具体地说,解排列、组合的应用题,通常有以下途径 (1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数. 解答计数问题多利用分类讨论思想.分类应在同一标准下进行,确保“不漏”“不重”. 跟踪演练2 (1)(2017·兰州模拟)某国际会议结束后,中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在前排正中间位置,美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻,如果对其他国家领导人所站位置不做要求,那么不同的站法共有( ) A.A种 B.A种 C.AAA种 D.AA种 答案 D 解析 先排美、俄两国领导人,方法有A种,剩下18人任意排有A种,故共有A·A种不同的站法. (2)(2017·广东省韶关市模拟)5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,则不同的分配方法共有( ) A.25种 B.60种 C.90种 D.150种 答案 D 解析 因为5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,所以共有两种方法:一,一个单位1名,其他两个单位各2名,有×A=90(种)分配方法;二,一个单位3名,其他两个单位各1名,有C×A=60(种)分配方法,共有90+60=150(种)分法,故选D. 热点三 二项式定理 (a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn,其中各项的系数C(k=0,1,…,n)叫做二项式系数;展开式中共有n+1项,其中第k+1项Tk+1=Can-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*)称为二项展开式的通项公式. 例3 (1)(2017·河南省普通高中质量监测)(3-2x-x4)·(2x-1)6的展开式中,含x3项的系数为( ) A.600 B.360 C.-600 D.-360 答案 C 解析 依题意,由排列组合知识可知,展开式中x3项的系数为3×C23(-1)3-2×C22(-1)4=-600.故选C. (2)(2017届湖北省黄冈市质量检测)已知(1-2x)2 017=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2 016(x-1)2 016+a2 017(x-1)2 017(x∈R),则a1-2a2+3a3-4a4+…-2 016a2 016+2 017a2 017等于( ) A.2 017 B.4 034 C.-4 034 D.0 答案 C 解析 因为(1-2x)2 017=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2 016(x-1)2 016+a2 017(x-1)2 017(x∈R),两边同时求导可得-2×2 017(1-2x)2 016=a1+2a2(x-1)+…+2 016a2 016(x-1)2 015+2 017a2 017(x-1)2 016 (x∈R), 令x=0,则-2×2 017=a1-2a2+…-2 016a2 016+2 017a2 017 (x∈R)=-4 034,故选C. 思维升华 (1)在应用通项公式时,要注意以下几点 ①它表示二项展开式的任意项,只要n与k确定,该项就随之确定; ②Tk+1是展开式中的第k+1项,而不是第k项; ③公式中,a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置; ④对二项式(a-b)n的展开式的通项公式要特别注意符号问题. (2)在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法. 跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)(1+x)6的展开式中x2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 答案 C 解析 因为(1+x)6的通项为Cxk,所以(1+x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4. 因为C+C=2C=2×=30, 所以(1+x)6的展开式中x2的系数为30. 故选C. (2)(2017·吉林调研)n的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B,若=32,则n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 A 解析 令x=1,得各项系数之和为A=4n,二项式系数之和为B=2n,故==32,解得n=5,故选A. 真题体验 1.(2017·全国Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有________种. 答案 36 解析 由题意可得,其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为C·C·A=36(种),或列式为C·C·C=3××2=36(种). 2.(2016·上海)在n的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于________. 答案 112 解析 2n=256,n=8, 通项C··k=C(-2)k·, 令k=2,则常数项为C(-2)2=112. 3.(2017·浙江)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________. 答案 16 4 解析 a4是x项的系数,由二项式的展开式得 a4=C·C·2+C·C·22=16. a5是常数项,由二项式的展开式得a5=C·C·22=4. 4.(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法.(用数字作答) 答案 660 解析 方法一 只有1名女生时,先选1名女生,有C种方法;再选3名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法.由分步乘法计数原理,知共有CCA=480(种)选法. 有2名女生时,再选2名男生,有C种方法;然后排队长、副队长位置,有A种方法.由分步乘法计数原理知,共有CA=180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+180=660(种)不同的选法. 方法二 不考虑限制条件,共有AC种不同的选法, 而没有女生的选法有AC种, 故至少有1名女生的选法有AC-AC=840-180=660(种). 押题预测 1.某电视台一节目收视率很高,现要连续插播4个广告,其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是商业广告,且2个商业广告不能连续播放,则不同的播放方式有( ) A.8种 B.16种 C.18种 D.24种 押题依据 两个计数原理是解决排列、组合问题的基础,也是高考考查的热点. 答案 A 解析 可分三步:第一步,最后一个排商业广告有A种;第二步,在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种;第三步,余下的两个排公益宣传广告有A种.根据分步乘法计数原理,可得不同的播放方式共有AAA=8(种).故选A. 2.为配合足球国家战略,教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训,每所学校至少一人,其中王教练不去甲校的分配方案种数为( ) A.60 B.120 C.240 D.360 押题依据 排列、组合的综合问题是常见的考查形式,解决问题的关键是先把问题正确分类. 答案 D 解析 6名相关专业技术人员到三所足校,每所学校至少一人,可能的分组情况为4,1,1;3,2,1;2,2,2.(1)对于第一种情况,由于王教练不去甲校,王教练自己去一个学校有C种,其余5名分成一人组和四人组有CA种,共CAC=20(种);王教练分配到四人组且该组不去甲校有CCA=40(种),则第一种情况共有20+40=60(种).(2)对于第二种情况,王教练分配到一人组有CCAC=40(种),王教练分配到三人组有CCCA=120(种),王教练分配到两人组有CCCA=80(种),所以第二种情况共有40+80+120=240(种).(3)对于第三种情况,共有CCCC=60(种). 综上所述,共有60+240+60=360(种)分配方案. 3.设(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为( ) A.-14 B.-7 C.7 D.14 押题依据 二项式定理作为选择题或填空题设计,属于必考试题,一般试题难度有所控制,考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型,本题设问角度新颖、典型,有代表性. 答案 A 解析 对已知等式的两边求导,得 -14(1-2x)6=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6, 令x=1,有a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=-14. 故选A. 4.(1+2x)10的展开式中系数最大的项是________. 押题依据 二项展开式中的系数是历年高考的热门考题,常考常新,本题通过求解系数最大的项,考查考生的运算求解能力. 答案 15 360x7 解析 设第k+1项的系数最大, 由通项公式Tk+1=C2kxk,依题意知Tk+1项的系数不小于Tk项及Tk+2项的系数,即 解得 所以≤k≤,即k=7. 故最大的项为T8=C27x7=15 360x7. A组 专题通关 1.在(-2-1x)n的二项展开式中,若第四项的系数为-7,则n等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案 B 解析 T3+1=C·()n-3·3=-×C·,-C=-7,C=56⇒=56,解得n=8,故选B. 2.5名学生进行知识竞赛.笔试结束后,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“你们5人的成绩互不相同,很遗憾,你的成绩不是最好的”;对乙说:“你不是最后一名”.根据以上信息,这5人的笔试名次的所有可能的种数是( ) A.54 B.72 C.78 D.96 答案 C 解析 由题得甲不是第一,乙不是最后,先排乙,乙得第一,有A=24(种),乙没得第一有3种,再排甲也有3种,余下的有A=6(种),故有6×3×3=54(种),所以一共有24+54=78(种). 3.(2017届四川省成都市九校模拟 )某公司有五个不同的部门,现有4名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为( ) A.60 B.40 C.120 D.240 答案 A 解析 由题意得,先将4名大学生平均分为两组,共有=3(种)不同的分法; 再将两组安排在其中的两个部门,共有3×A=60(种)不同的安排方法,故选A. 4.(2017届江西省重点中学盟校联考)将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有( ) A.18种 B.20种 C.21种 D.22种 答案 B 解析 当A,C之间为B时,看成一个整体进行排列,共有A·A=12(种),当A,C之间不是B时,先在A,C之间插入D,E中的任意一个,然后B在A之前或之后,再将这四个人看成一个整体,与剩余一个进行排列,共有C·A·A=8(种),所以共有20种不同的排法. 5.(2017·全国Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 答案 C 解析 因为x3y3=x·(x2y3),其系数为-C·22=-40, x3y3=y·(x3y2),其系数为C·23=80. 所以x3y3的系数为80-40=40. 故选C. 6.(2017届河北省唐山市模拟)若(1-x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a9|等于( ) A.1 B.513 C.512 D.511 答案 D 解析 令x=0,得a0=1,令x=-1,得|a1|+|a2|+|a3|+…+|a9|=[1-(-1)]9-1=29-1=511. 7.(2017·浙江省台州市一模)已知5的展开式中各项系数的和为32,则展开式中系数最大的项为( ) A.270x-1 B.270x C.405x3 D.243x5 答案 B 解析 令x=1 ,(a-1)5=32,解得a=3,即5 中共有6项,其中奇数项的系数为正数,偶数项的系数为负数, 所以比较奇数项的系数,奇数项分别为C(3x)5=243x5, C(3x)32=270x,C(3x)4= , 所以系数最大的项为270x,故选B. 8.(2017届安徽省黄山市模拟)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( ) A.144种 B.288种 C.360种 D.720种 答案 A 解析 《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A种排法,满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有种,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排),有A种排法,《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有×A=144(种),故选A. 9.(2017·黑龙江省虎林市模拟)2017年1月27日,哈尔滨地铁3号线一期开通运营,甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街.每人只能去一个地方,哈西站一定要有人去,则不同的游览方案有________种. 答案 65 解析 根据题意,甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街.每人只能去一个地方,则每人有3种选择,则4人一共有3×3×3×3=81(种)情况,若哈西站没人去,即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街.每人有2种选择方法,则4人一共有2×2×2×2=16(种)情况,故哈西站一定要有人去的游览方案有81-16=65(种). 10.(2017届云南省曲靖市第一中学月考)若(1-2x)2 017=a0+a1x+…+a2 017x2 017(x∈R),则++…+的值为________. 答案 -1 解析 令等式中的x=0,得a0=1; 再令x=,得a0+++…+=0, 所以++…+=-a0=-1. 11.(2017·浙江省杭州市二模)若n的展开式中所有二项式系数和为64,则n=________;展开式中的常数项是________. 答案 6 240 解析 由二项式定理性质可知,二项式系数和为2n=64,所以n=6,则原式为6,根据二项展开式可知通项公式为Tk+1=C(2x)6-kk =C(-1)k26-kx6-3k , 令k=2,则T3=C24=240, 所以展开式中的常数项为240. 12.(2017·湖北省六校联考)把编号为1,2,3,4,5,6,7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人,每人至少一张,至多分两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为________. 答案 1 200 解析 (1+2+3+4)A=1 200(种). B组 能力提高 13.6的展开式中,x6的系数为( ) A.240 B.241 C.-239 D.-240 答案 C 解析 6=x66,所以x6的系数为C0×(-1)6+CCx32(-1)1=-239.故选C. 14.(2017届河北省衡水中学押题卷)为迎接中国共产党十九大的到来,某校举办了“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加,且当这3名同学都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为( ) A.720 B.768 C.810 D.816 答案 B 解析 由题知结果有三种情况.(1)甲、乙、丙三名同学全参加,有CA=96(种)情况,其中甲、乙相邻的有CAA=48(种)情况,所以甲、乙、丙三名同学全参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96-48=48(种)情况; (2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加,不同的朗诵顺序有CCA=288(种)情况;(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时,不同的朗诵顺序有CCA=432(种)情况.则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288+432+48=768(种)情况,故选B. 15.(2017·浙江省湖州、衢州、丽水三市联考)6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中,正视图如图所示,若随机从一头取出一个乒乓球,分6次取完,并依次排成一行,则不同的排法种数是________.(用数字作答) 答案 32 解析 排成一行的6个球,第一个球可从左边取,也可从右边取,有2种可能,同样第二个球也有2种可能,…,第五个球也有2种可能,第六个球只有1种可能,因此不同的排法种数为25=32. 16.(2017届江西省赣州市模拟)若(1+y3)n (n∈N*)的展开式中存在常数项,则常数项为________. 答案 -84 解析 n展开式的通项为 Cxn-kk=C(-1)kxn-3ky-k, (1+y3)n展开式的通项为C(-1)kxn-3ky-k和 y3C(-1)kxn-3ky-k=C(-1)kxn-3ky3-k, 若存在常数项 则有或解得k=3,n=9, 常数项为C(-1)3=-84.查看更多