2020届普通高等学校招生全国统一考试（山师附中模拟卷）数学试题 Word版含解析

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1 3 按秘密级事项管理★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（山师附中模拟卷） 数学学科 本试卷共 6页，22小题，满分 150分．考试用时 120分钟． 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题 卡 上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M  {x | x 2  2x  0}， N  { 2，1，0，1，2}，则M  N =（ ） A． B．{1} C．{ 0，1} D．{ 1，0，1} 2. 已知复数 z满足 z(1 2i)  i，则复数 z在复平面内对应点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 已知向量 a  (m，- 2),b  (2,1),则“m 1”是“a,b夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 甲、乙、丙 3人站到共有 6 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不 区分站的位置，则不同的站法总数是 （ ） A.90 B.120 C.210 D.216 5. 已知定义在R 上的函数 f ( x )  x 2|x| ，a  f ( log 5 )，b   f ( log 1 )，c  f ( ln 3)，则32 a，b，c的大小关系为（ ） A. c  b a B. b  c  a C. a  b  c D. c  a  b 6. 对 n个不同的实数 a1,a2 ,..., an可得 n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n!行的 数阵.对第i行 a ,a ,..., a，记b  a  2a  3a  ... 1n na , i  1, 2, 3,..., n!. i1 i2 in i i1 i2 i3 in 例如用 1，2，3 可得数阵如右，对于此数阵中每一列各数之和都是 12， 所以b1 b2 ...b6 12  212  312  24. 那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中，b1  b2  ...b120等于（ ） A．-3600 B．-1800 C．-1080 D．-720 2 7. 已知 ABC 中， A  60 ， AB  6， AC  4 ， O为 ABC 所在平面上一点， 且满足 OA OB OC．设 AO ABAC，则的值为（ ） A．2 B．1 C． 11 18 D. 7 11 8. 在直三棱柱 ABC  A1B1C1中，AB  BC，AB  BC  BB1 1，M 是 AC的中点，则 三棱锥B1  ABM 的外接球的表面积为（ ） 3 A. π2 B.2π 5 C. π4 9 D.π8 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分． 9. Keep是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学､跑步､骑行､交友及健身饮 食指导､装备购买等--站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的 训练进程｡不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划｡小明根据 Keep记 录的 2019年 1月至 2019年 11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了 下面的折线图｡根据该折线图，下列结论正确的是（ ）． A. 月跑步里程最小值出现在 2月 B. 月跑步里程逐月增加 C. 月跑步里程的中位数为 5月份对应的里程数 D.1 月至 5月的月跑步里程相对于 6月至 11月波动性更小 10.已知函数 f (x)  sin x  cos x  sin x  cos x ，下列结论正确的是 （ ） A. 函数图像关于 x  π 对称 4 B. 函数在  π , π 上单调递增  4 4 k C. 若 f (x1 )  f (x2 )  4 ，则 x1 x2 (k  Z ) 2 D. 函数 f (x)的最小值为2 3 11.已知正方体 ABCD  A1B1C1D1棱长为 2 ,如图,M 为CC1上的动点, AM 平面.下面 说法正确的是（ ） A. 直线 AB与平面所成角的正弦值范围为[ 3 , 2 ] 3 2 B. 点M 与点C1重合时,平面截正方体所得的截面，其面积越大,周长就越大 C. 点M 为CC1的中点时,若平面经过点 B ,则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D. 已知 N 为DD1中点,当 AM MN 的和最小时,M 为CC1的中点 12. 函数 f (x)  e x  a sin x ， x (， )，下列说法正确的是（ ） A. 当 a 1时， f (x)在 (0，f(0))处的切线方程为 2x  y 1 0 B. 当 a 1时， f (x)存在唯一极小值点 x0 且 1 f (x0 )  0 C. 对任意 a  0， f (x)在 (， )上均存在零点 D. 存在 a  0， f (x)在 (， )上有且只有一个零点 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13. (2x 1 )6的展开式中的常数项为 x2 .（用数字作答） 14. 一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的 1 个绿球和 3 个红球.甲、乙两人从箱中 轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸 到红 球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次 绿球的概率是 ． 15. 已知a,b为正实数，直线 y  x  a与曲线 y  ln(x  b)相切于点(x , y )，则 1  1 的 最小值是 ． 0 0 a b 4 3 3 3 3 4 7 16.已知双曲线 x2  y 8  1 ，F1 , F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限， 圆M 是F1PF2的内切圆，则M 的横坐标为 ，若 F1到圆M 上点的最大距离为 4 ， 则F1PF2的面积为 . 四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知数列an的前 n项和为 Sn ，且 Sn  2an 1(nN ) （1）求数列an的通项公式； （2）设b  an ，数列{bn}的前 n项和T，且T m对任意 n  N 恒成立，求 m范围. Sn  Sn 1 n n  18．（12 分） 平面四边形 ABCD中，边 BC上有一点 E，ADC  120，AD  3，sinECD  2 ，DE  ， 3 CE  ． （1） 求 AE的长； （2） 已知ABC  60求ABE面积的最大值． 19.（12分） 在直角梯形 ABCD中， AD // BC, AB  BC, BD  DC, 点 E是 BC的中点.将ΔABD沿 BD折起，使 AB  AC ,连接 AE, AC, DE ,得到三棱锥 A  BCD . （1） 求证：平面 ABD 平面 BCD （2） 若 AD 1,二面角C  AB D的余弦值为 ,求二面角 B  AD  E的正弦值. 7 2 n 5 7      3 20．（12 分） 从 2019年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已 抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延．蝗虫危害大，主要危害禾本科植物， 能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数 y和平均温度 x有关，现收集了以往某地的 7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值． 1 7 表中 zi  ln yi , z  zi . i 1 （1） 根据散点图判断, y  a  bx与 y  cedx (其中 e=2.718···为自然对数的底数)哪一个更适 宜作为平均产卵数 y关于平均温度 x的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)并由 判断结果及表中数据,求出 y关于 x的回归方程.(结果精确到小数点后第三位) （2） 根据以往统计,该地每年平均温度达到 28℃以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人工防治, 其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到 28℃以上的概率为 p(0＜p＜1) . （i） 记该地今后 n(n  3,nN )年中，恰好需要 2次人工防治的概率为 f ( p)，求 f ( p) 取 得最大值时相应的概率 p0 . （i） 根据（i）中的结论，当 f ( p)取最大值时，记该地今后 6年中，需要人工防治的次数 为 X ，求 X 的数学期望和方差。 附：对于一组数据(x1, z1 ), (x2 , z2 ),K(x7 , z7 ), 其回归直线 z  a  bx 的斜率和截距的最小二 7 (xi  x)(zi z) 乘法估计分别为：b  i1 7 2 (xi  x) i1 ,a  z  bx . 21．（12 分） x2 已知椭圆 E : a2 y2 b2 1(a b 0) 经过点(1, )，且焦距为 2 . 2 （1） 求椭圆 E的方程； （2） 设 A为椭圆 E的左顶点，过点 F2的直线l交椭圆 E于 P,Q 两点，记直线 AP、AQ的 斜率分别为 k ,k ，若 k  k   1 ，求直线 l的方程. 1 2 1 2 2 平均温度 x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 x y z n (xi  x)(zi  z) i1 n (x  x)2 i i1 27.429 81.286 3.612 40.182 147.714 6 x 22．（12 分） 已知函数 f ( x )  a ln x，aR ． （1） 若曲线 y  f ( x )与曲线 g( x )  在公共点处有共同的切线，求实数 a的值； xe1 x （2） 在（1）的条件下，试问函数 F ( x )  xf ( x )  1是否有零点．若有，求出该零点； 2 若没有，请说明理由． 数学考前模拟测试题答案及详解 1.答案：B 2. 答案：D 注意复数的共轭，复数的加减乘除，模，共轭的运算，几何意义，实部，虚部，虚数单位这些概 念要熟。 3.答案：B 若 夹角为钝角ba, ，则 0 54 22,cos 2       m m ba baba ， .1m所以 141 54 22,cos1 2     m m mm ，得，令若 ba ，不是钝角夹角此时 180,ba 4. 答案：C 2102 6 1 3 3 6  ACA 5.答案：D 函数定义域为R，在y轴右侧增，又是奇函数，所以在实数集上为增函数。 6. 答案：C 注意题目条件中给的提示，把每一列算出来，然后带入计算公式。共有120行，120除以5等于24， 所以每一列都有24个1，24个2，24个3，24个4，24个5，所以每一列的和都是360。 7. 答案：C 用平面向量的坐标形式算，以A为定点，AB所在直线为x轴建系。计算两条边中垂线的交点得O点。 8. 答案：B 利用直角三角形斜边中点到各顶点距离相等的性质找到球心就是一条棱的中点。 9. 答案:ACD 7 10. 答案：AC 分段讨论去掉绝对值，画出函数图像即可。在同一个坐标系里同时画出2sinx和2cosx的图象，谁 的图象在上方就要谁。 11. 答案：AC . , , ; . .,cos. 11111 11 111 不是中点 ，显然的交点是点与展开，连接和平面将平面选项 ；梯形可得到截面图形为等腰 理即，根据三垂线定理逆定在底面，左侧面的射影找出直线选项 都是定值；和任意六边形时，周长当截面图形是正三角形 最大，当是正六边形时面积截面有可能会是六边形 平行的平面，可看作是与平面垂直，则平面与直线平面选项 即可的法向量，只需求是平面解析：选项 MMCCANCCDDAACCD BDEF AMC CDB CDBACB AMABAMA    12. 答案：ABD 令函数等于零，表达式两部分移到等式两边，画两个函数的图象，根据图像的旋转变换和伸缩变 换可判断C、D的正误。B选项要把导函数算出来，按照上面处理原函数的方法做，确定了导函数的 零点范围后，把其指数形式代换为三角函数计算即可。 13. 答案：240 14. 答案： 128 15 分类讨论4次取球中符合条件的取法，共三类，甲绿甲绿甲红乙随便，甲绿甲红乙红甲绿，甲红乙 红甲绿甲绿。 15. 答案：4 利用导数讨论切线的方法求出a+b=1，再用逆代变形求。均值不等式求最值别忘了“一正二定三相 等”。 16. 答案： 324,1 注意用好双曲线的定义和圆的切线长相等的结论，可求出内心的横坐标就是右顶点的横坐标。利 用圆外一点到圆上一点的最远距离就是圆外点到圆心的距离加半径，构造直角三角形可求半径和 圆外点到圆心的距离，根据这数值能发现有特殊角。最后联立过左焦点的直线和双曲线方程求点P 坐标，然后可求面积。 17．【解析】 （1）因为 2 1( )n nS a n N   ① 8 所以 1 12 1( 2)n nS a n    ② 由①②得  12 2 2n n na a a n   ，即  12 2n na a n  ， 又当 1n  时， 1 12 1a a  ，所以 1 1a  所以 na 是以1为首项，2为公比的等比数列 所以 12nna  . （2） .1 2 2 1 1 2 n n nS          1 11 2 1 1 1( ) 2 2 1 2 12 1 2 1 n n n nn n b         1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1n n n nT                                           1 1 2 1 1 1( ) 0 2 2 1 2 1n n n nT T        所以 nT 单调递增 所以   1min 1 3nT T  所以 1 3 m  18.【解析】 (1)在 CED 中由正弦定理可得 CDECDE CE ECD DE      sin 4 33 3 2 3, sinsin 即 , , 2 1sin CDE 因为 DECE  ,所以 CDE 是锐角，故  30CDE ，  90ADE , 在直角三角形 ADE中， 32,12332222  AEDEADAE . (2) 在 ABE 中，  60,32 ABCAE ,由余弦定理可得： BEABBEABBEABBEABAE  22222 12,60cos2 因为 12,212,222  BEABBEABBEABBEABBEAB 从而， 33 4 360sin 2 1  BEABBEABS 19.【解析】 9 BCDABD BCDCDABDCDBBDABBDCD ABCDABCDCDABCDAB AACADACABADAB 平面所以平面 平面平面所以因为 所以平面平面所以 因为     ,,,, ,,, ,,,)1( . 2 3, 2 3sin , 2 1,cos),1,1,2( 1,1,2, 063 063 ),,( )0,1,0(),0, 2 6, 2 3( ),0,6,0(),0,0,3(), 3 6,0, 3 3( ,, 3,2,2, 61 1, ,,1, 7,1, 7 7cos .1 .,,)2( 2 2 的正弦值为即二面角所以 ，设所求二面角大小为所以 令 的一个法向量设平面 的一个法向量为平面 易得建立空间直角坐标系， 轴，的垂线，以其为作平面轴，过点所在直线为以 所以解得即得到 相似，易知则平面图形中，设 故中，在 平面）可知，由（ 的平面角即为所以 EADB nm nmnmn zyx yx zx zyxnADE mABDE CBA zBCDDyxDCDB BDABxx xCD AB BD AD DCBRtABDRtxBDxAB ACAD AC ADCADCADRt ABDCD CADDABCACABADAB                        法二：取BD中点F，因为EF与CD平行，故EF垂直于平面ABD,过点F作FQ与AD垂直，垂足为点 Q.EF垂直于平面ABD,AD在平面ABD内，故EF与AD垂直. 所以 EQF 即为二面角 EADB  的平面角. 2 2 2 1, 2 6 2 1  ABFQCDEF . 在直角三角形EQF， ,60,3tan  EQF FQ EFEQF 即二面角B-AD-E的正弦值为 . 2 3 20．【解析】 10 （1）由散点图可知， dxy ce 更适宜作为平均产卵数和平均温度的回归直线方程类型。 0.072 3.849xy e   （2）（i） 2 2 2( ) (1 )nnf p C p p   ， ' 2 3( ) (1 ) (2 )n nf p C p p np   ，令 ' ( ) 0f p  ，解得 20 p n   ； 令 ' ( ) 0f p  ，解得 2 1p n   ，所以 max 2( ) ( )f p f n  ，此时 0 2p n  （ii） 1(6, ) 3 X B ， 4( ) 2, ( ) (1 ) 3 E X np D X np p     . 21. 【解析】 （1）由条件 2 2 2 1c a b   ，又 2 2 1 9 1 4a b   ，联立解得 2, 3a b  椭圆E的方程： 2 2 1 4 3 x y   （2）由条件得 ( 2,0)A  ， 2 (1,0)F 若 l的斜率不存在，由对称性知 1 2 0k k  ，不符合要求. 若 l的斜率存在，设为 k，则 l方程为： ( 1)y k x  联立 2 2 ( 1) 1 4 3 y k x x y       得 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k     设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12, 4 3 4 3 k kx x x x k k       所以 1 2 1 2 1 22 2 y yk k x x      1 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 k x k x x x       1 2 3 3(1 1 ) 2 2 k x x       1 2 1 2 3( 4)[2 ] ( 2)( 2) x xk x x       2 2 2 2 2 2 83( 4) 4 3[2 ] 4 12 82 4 4 3 4 3 k kk k k k k          2 2 2 1 1(2 )kk k k      1 1 2k    2k  所以直线 l的方程为：2 2 0x y   22. 【解析】 （1）函数   lnf x a x 的定义域为  0, ，    ' ' 1, 2 af x g x x x   。 设曲线  y f x 与曲线  g x x 的公共点为  0 0,x y ，由于在公共点处有共同的切线，所以 11 0 0 1 2 a x x  ，解得 2 0 4 , 0x a a  。 由    0 0f x g x 可得 0 0lna x x 。 联立 2 0 0 0 4 , ln , x a a x x     解得 2 ea  。 （2）函数     1 1 2 xxeF x xf x     是否有零点，转化为函数     ln 2 eH x xf x x x  与函数   1 1 2 xxeG x    在  0,x  上是否有交点。     ln 2 eH x xf x x x  ，可得    ' ln 1 ln 2 2 2 e e eH x x x    ，令  ' 0H x  ，解得 1x e  ，此时函数  H x 单调递增；令  ' 0H x  ，解得 10 x e   ，此时函数  H x 单调递减。 所以当 1x e  时，函数  H x 取得极小值即最小值， 1 1 2 H e        。   1 1 2 xxeG x    可得    ' 11 1 2 xG x x e   ，令  ' 0G x  ，解得0 1x  ，此时函数  G x 单 调递增；令  ' 0G x  ，解得 1x  ，此时函数  G x 单调递减。所以当 1x  时，函数  G x 取得极 大值即最大值，   11 2 G   。 所以F（x）没有零点。