2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II文科）

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II文科）

‎2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）‎ ‎ 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则A∩B=‎ A．(-1，+∞) B．(-∞，2) ‎ C．(-1，2) D．‎ ‎2．设z=i(2+i)，则=‎ A．1+2i B．-1+2i ‎ C．1-2i D．-1-2i ‎3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=‎ A． B．2‎ C．5 D．50‎ ‎4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．‎ 甲：我的成绩比乙高．‎ 乙：丙的成绩比我和甲的都高．‎ 丙：我的成绩比乙高．‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 ‎ C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 第 10 页 ‎6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 ‎8．若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=‎ A．2 B． ‎ C．1 D．‎ ‎9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．8‎ ‎10．曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． ‎ C．2 D．‎ 第 10 页 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.‎ ‎14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.‎ ‎15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=________.‎ ‎16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．‎ ‎（1）证明：BE⊥平面EB1C1；‎ ‎（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．‎ 第 10 页 ‎18．（12分）‎ 已知是各项均为正数的等比数列，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎19．（12分）‎ 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些 企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．‎ 的分组 企业数 ‎2‎ ‎24‎ ‎53‎ ‎14‎ ‎7‎ ‎（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；‎ ‎（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：.‎ 第 10 页 ‎20．（12分）‎ 已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．‎ ‎（1）若为等边三角形，求C的离心率；‎ ‎（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取 值范围．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．证明：‎ ‎（1）存在唯一的极值点；‎ ‎（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．‎ 第 10 页 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.‎ ‎（1）当时，求及l的极坐标方程；‎ ‎（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围.‎ 第 10 页 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 ‎1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D ‎7．B 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A ‎13．9 14．0.98 15． 16．26；‎ ‎17．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，‎ 故．‎ 又，所以BE⊥平面．‎ ‎（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，故AE=AB=3，.‎ 作，垂足为F，则EF⊥平面，且．‎ 所以，四棱锥的体积．‎ ‎18．解：（1）设的公比为q，由题设得 ‎，即．‎ 解得（舍去）或q=4．‎ 因此的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，因此数列的前n项和为 第 10 页 ‎．‎ ‎19．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为．‎ 产值负增长的企业频率为．‎ 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．‎ ‎20．解：（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.‎ ‎（2）由题意可知，满足条件的点存在．当且仅当，，，即，①‎ ‎，②，③‎ 由②③及得，又由①知，故．‎ 由②③得，所以，从而故.‎ 第 10 页 当，时，存在满足条件的点P．‎ 所以，的取值范围为．‎ ‎21．解：（1）的定义域为（0，+）.‎ ‎.‎ 因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，‎ ‎，故存在唯一，使得.‎ 又当时，，单调递减；当时，，单调递增.‎ 因此，存在唯一的极值点.‎ ‎（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.‎ 由得.‎ 又，故是在的唯一根.‎ 综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．‎ ‎22．解：（1）因为在C上，当时，.‎ 由已知得.‎ 设为l上除P的任意一点.在中，，‎ 经检验，点在曲线上．‎ 所以，l的极坐标方程为．‎ ‎（2）设，在中， 即．‎ 因为P在线段OM上，且，故的取值范围是.‎ 第 10 页 所以，P点轨迹的极坐标方程为 .‎ ‎23．解：（1）当a=1时，.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 当，时，.‎ 所以，的取值范围是．‎ 第 10 页