高考数学一轮复习精品题集之复数

高考数学一轮复习精品题集之复数

复数 选修 1-2 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 §3.1 复数的概念 重难点：理解复数的基本概念；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何 意义． 考纲要求：①理解复数的基本概念． ②理解复数相等的充要条件． ③了解复数的代数表示法及其几何意义．w.w.w.g.k.x.x.c.o.m 经典例题： 若复数 1zi，求实数 ,ab使 22 ( 2 )az bz a z   。（其中 z 为 z 的共轭复数）． [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 当堂练习： 1. 0a  是复数 ( , )a bi a b R为纯虚数的（ ） A．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2 设 123 4 , 2 3z i z i     ，则 12zz 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．    2)3( 31 i i （ ） A． i4 3 4 1  B． i4 3 4 1  C． i2 3 2 1  D． i2 3 2 1  4．复数 z 满足 1 2 4 3i Z i   ，那么 Z ＝（ ） A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i 5.如果复数 2 12 bi i   的实部与虚部互为相反数，那么实数 b 等于（ ）w.w.w.g.k.x.x.c.o.m A. 2 B.2 3 C.2 D.－2 3 6.集合｛Z︱Z＝ Znii nn   , ｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ） A｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝ C.｛0，2，－2，2i ｝ D.｛0，2，－2，2i ，－2i ｝ 7.设 O 是原点，向量 ,OA OB  对应的复数分别为 2 3 , 3 2ii   ，那么向量 BA  对应 的复数是（ ） . 5 5Ai . 5 5Bi . 5 5Ci . 5 5Di 8、复数 123 , 1z i z i    ，则 12z z z在复平面内的点位于第（ ）象限。 A．一 B.二 C.三 D .四 9.复数 2( 2) ( 1 1) ( )a a a i a R      不是纯虚数，则有（ ） .0Aa .2Ba . 0 2C a a且 .1Da 10.设 i 为虚数单位，则 4(1 )i 的值为 （ ） A．4 B.－4 C.4i D.－4i 11.设 iziCz 2)1(,  且 （i 为虚数单位），则 z= ；|z|= . 12.复数 2 1 i 的实部为 ，虚部为 。 13.已知复数 z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 14.设 1 1Zi， 2 1Zi   ，复数 1Z 和 2Z 在复平面内对应点分别为 A、B，O 为原点，则 AOB 的面积为 。 15. 已知复数 z=(2+i ) i mm  1 62  1(2 ).当实数 m 取什么值时,复数 z 是: （1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。 100 5 2 201116 [(1 2 ) ( ) ] ( ) 1 2 iiii i      、计算 17． 设  miz mm ,)12(14 R，若 z 对应的点在直线 03  yx 上。求 m 的值。 18． 已知关于 yx, 的方程组      iibyxayx iyyix 89)4()2( ,)3()12( 有实数，求 ,ab的值。 选修 1-2 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 §3.2-3 复数的四则运算及几何意义 重难点：会进行复数代数形式的四则运算；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 考纲要求：①会进行复数代数形式的四则运算． ②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 经典例题：已知关于 x 的方程 2 ( 2 ) 2 0x k i x ki     有实根，求这个实根以及实数 k 的 值. 当堂练习： 1、对于 200 2 1100 2 1 )()( iiz   ，下列结论成立的是 ( ) A z 是零 B 是纯虚数 C z 是正实数 D 是负实数 2、已知 )32()33( izi  ，那么复数 在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3、设非零复数 x，y 满足 022  yxyx ，则代数式 19901990 )()( yx y yx x   的值是 （ ） A 19892 B －1 C 1 D 0 4、若 2|43|  iz ，则|z|的最大值是 ( ) A 3 B 7 C 9 D 5 5、复数 z 在复平面内对应的点为 A，将点 A 绕坐标原点按逆时针方向旋转 2  ，再向左平移 一个单位，向下平移一个单位，得到点 B，此时点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称，则复 数 z 为 （ ） A －1 B 1 C i D－i 6、   i ii 1 )21)(1( （ ） A． i 2 B． i 2 C． i2 D． i2 7、复数 z＝i＋i2＋i3＋i4 的值是 （ ） A．－1 B．0 C．1 D．i 8.设复平面内，向量OA的复数是 1+i，将向量 向右平移一个单位后得到向量 AO ，则向 量 AO 与点 A′对应的复数分别是 c A.1＋i 与 1+i B.2＋i 与 2+i C.1＋i 与 2+i D.2＋i 与 1+i 9.若复数 z 满足|z+i|＋|z－i|＝2，则|z+i+1|的最小值是 a A.1 B. 2 C.2 D. 5 10.若集合 A＝｛z||z－1|≤1，z∈C｝， B＝｛z|argz≥ 6  ，z∈C｝，则集合 A∩B 在复平面内 所表示的图形的面积是 b A. 4 3 6  B. 4 3 6 5  C. 4 3 3  D. 4 1 6 5  11.已知 1510105)( 2345  xxxxxxf .求 )( 2 3 2 1 if  的值 . 12.已知复数  zzzzzziz 则复数满足复数 ,3,23 000 . 13.复平面内点 A 对应的复数为 2+i，点 B 对应的复数为 3+3i，向量 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°到 AC ，则点 C 对应的复数为_________. 14.设复数 z=cosθ ＋(2－sin2θ )i.当θ ∈(－ 2,2  )时，复数 z 在复平面内对应点的轨迹方程 是_________. 15. 已知 )0(1    az i ia ，且复数 )( izz  的虚部减去它的实部所得的差等于 2 3 ， 求复数 的模. 16. 已知复数 aizz i iii   ,)31()1)(31( 当 ,2|| z  求 a 的取值范围， )( Ra  17. 在复数范围内解方程 i iizzz   2 3)(2 (i 为虚数单位) [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 18. 复平面内点 A 对应的复数是 1,过点 A 作虚轴的平行线 l,设 l 上的点对应的复数为 z,求 z 1 所对应的点的轨迹. [来源:学科网] 选修 1-2 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 §3.4 数系的扩充与复数的引入单元测试 1、复数 9 1 1      i i 的值等于（ ） （A） 2 2 （B） 2 （C）i （D） i 2、已知集合 M=｛1, immmm )65()13( 22  ｝， N＝｛1，3｝， M∩N＝｛1,3｝，则 实数 m 的值为（ ） （A） 4 （B）－1 （C）4 或－1 （D）1 或 6 3、设复数 ,1Z 则 1Z 是 1 1   Z Z 是纯虚数的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 4、复数 Z 与点 Z 对应， 21,ZZ 为两个给定的复数， 21 ZZ  ，则 21 ZZZZ  决定的 Z 的轨迹是（ ） （A）过 21,ZZ 的直线 （B）线段 21ZZ 的中垂线 （C）双曲线的一支 （D）以 Z 21,Z 为端点的圆 5、设复数 z 满足条件 ,1z 那么 iz  22 的最大值是（ ） （A）3 （B）4 （C） 221 （D） 32 6、复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为 ,21,2,21 iii  那么第四 个顶点对应的复数是（ ） （A） i21 （B） i2 （C） i2 （D） i21 7、集合｛Z︱Z＝ Znii nn   , ｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ） A｛0，2，－2｝ （B）｛ 0，2｝ （C）｛ 0，2，－2，2i ｝（ D）｛ 0，2，－2，2i ，－2i ｝ 8、 ,, 21 CZZ  ,2,3,22 2121  ZZZZ 则  21 ZZ ( ) （A） 2 （B） 2 1 （C）2 （D）2 2 9、对于两个复数 i2 3 2 1  ， i2 3 2 1  ，有下列四个结论：① 1 ；② 1  ； ③ 1  ；④ 133   ，其中正确的结论的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 10、1， bia  ， aib  是某等比数列的连续三项，则 ba, 的值分别为（ ） （A） 2 1,2 3  ba （B） 2 3,2 1  ba （C） 2 1,2 3  ba （D） 2 3,2 1  ba 11、计算： 610 ) 2 1()2 3 2 1( ii  = 12、已知复数 z1=3+4i, z2=t+i,,且 z1· 2z 是实数,则实数 t 等于 13、如果复数 z 满足 12zi   ,则 2zi的最大值是 14、已知虚数 ( 2)x yi( ,x y R )的模为 3 ,则 y x 的最大值是 ， 1 1 y x   的 最小值为 . 15、设复数 immmmZ )23()22lg( 22  ，试求 m 取何值时 （1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限 16、在复数范围内解方程 i iizzz   2 3)(2 (i 为虚数单位) 17、设 ,Cz  满足下列条件的复数 z 所对应的点 的集合表示什么图形 .121 41log 2 1   z z 18、已知复数 1Z ， 2Z 满足 21 2 2 2 1 2510 ZZZZ  ，且 21 2ZZ  为纯虚数，求证： 213 ZZ  为实数 19、已知 122 1  xixZ ， iaxZ )( 2 2  对于任意实数 x，都有 21 ZZ  恒成立， 试求实数 a 的取值范围 20、设关于 x 的方程 0)2()(tan2  ixix  ，若方程有实数根，求锐角 和实数根 参考答案 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 §3.1 复数的概念 经典例题： 解析：由 1zi，可知 1zi，代入 22 ( 2 )az bz a z   得： (1 ) 2 (1 )a i b i    22(1 )ai   ，即 2 ( 2 )a b a b i    22a 4 4( 2)ai   则  22 2 4 2 4( 2) a b a a b a         ，解得 4 2 a b    或 2 1 a b    。 当堂练习： 1.B; 2.D; 3.B; 4.B; 5.D; 6.A; 7. B; 8.D; 9.C; 10.B; 11. 1 i， 2 ; 12. 1， 1 ;13. 2i ; 14. 1; .)23()232( )1(2)1(3)2( ,15 22 2 immmm iimmiz zRm    可以表示为复数、解：由于      ,023 ,0232)1( 2 2 mm mm当 . ,20 ),23(232)4( .,2 1 ,023 ,0232)3( .,12 ,023)2( .2 22 2 2 2 对应的复数四象限角平分线上的点 是为复平面内第二、时或即 当 为纯虚数时即 当 为虚数时且即 当 为零时，即 zmm mmmm zm mm mm zmm mm zm            16．解： 2025100 ) 2 1(])1 1()21[( i i iii   5 2 10[(1 2 ) 1 ( ) ]i i i       2 101 1 2i i i     1 17、解：因为复数 4 1 (2 1) , 对应的点为（4 1,2 ),在直线 30上，得4 1 3(2 1) 0， 即4 3 2 4 0， 也就是(2 4)(2 1) 0， 解得 2 mm mm mm mm mm zi mR xy m                     (2 1) (3 ) ,18、解： (2 ) (4 ) 9 8 2 1 ,由第一个等式得 1 (3 ), x i y y i x ay x y b i i xy y                       .4 ,2 5 y x解得 将上述结果代入第二个等式中得            .2 ,1 ,8410 ,945 .89)410(45 b a b a iiba 解得 由两复数相等得 §3.2-3 复数的四则运算及几何意义 经典例题：分析:本题考查两个复数相等的充要条件.方程的根必适合方程，设 x=m 为方程的 实根，代入、整理后得 a+bi 的形式，再由复数相等的充要条件得关于 k、m 的方程组，求 解便可. 解:设 x=m 是方程的实根，代入方程得 m2+(k+2i)m+2+ki=0,即(m2+km+2)+(2m+k)i=0. 由复数相等的充要条件得      .02 ,022 km kmm 解得      22 ,2 k m 或      .22 ,2 k m ∴方程的实根为 x= 2 或 x=－ ,相应 k 的值为－2 或 2 . [来源:学科网 ZXXK] 当堂练习： 1.C; 2.A; 3.B; 4.B; 5.B; 6.C; 7. B; 8.C; 9.A; 10.B; 11. z = i –1; 12. 1;13. 2i; 14. x2=y－1,x∈ (0,1 ] ; 15.解; 2 3 2 1 2 22 1 2 )1)(1( 2 ))(1( 1 1 111 2 )()(                aaa aaaaia i iaa i a i ia i ia i ia i iizz 即 312 a 5|| ,3,2,0 2 3 2 3     iaa 16.提示： 2||2||,2|| 1 || || 1)31()1)(31(     zz i i i iii z iz 因 ,)1(1)1( iaaiiaiz  )( Ra  3131,313 3)1(2)1(1 222   aa aa 故 a 的取值范围是 ]31,31[  17.原方程化简为 iizzz  1)(2 , 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, ∴x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=- 2 1 且 y=± 2 3 , ∴原方程的解是 z=- ± i. 18. 解:如下图.因为点 A 对应的复数为 1,直线 l 过点 A 且平行于虚轴,所以可设直线 l 上的点 对应的复数为 z=1+bi(b∈R). x y l O A(1,0) 因此 ibz  1 11 i 11 1 1 i1 222 b b bb b       .设 z 1 =x+yi(x、y∈R),于是 x+yi= 22 11 1 b b b  i.根 据复数相等的条件,有         .1 ,1 1 2 2 b by bx 消去 b, 有 x2+y2= 2 222 )1()1( 1 b b b  = 22 2 22 )1()1( 1 b b b  = 222 2 1 1 )1( 1 bb b   =x. 所以 x2+y2=x(x≠0),即(x－ 2 1 )2+y2= 4 1 (x≠0).所以 z 1 所对应的点的集合是以( ,0)为圆心, 为半径 的圆,但不包括原点 O(0,0). §3.4 数系的扩充与复数的引入单元测试 1.D; 2.B; 3.C; 4.B; 5.B; 6.C; 7. A; 8.A; 9.B; 10.C; 11. i2 23 2 1  ; 12. 4 3 ;13. 213  ; 14. 3 , 6 213  ; 15、 解： 是实数时，或－。即或－解得 Zmm mm mm 1212 023 022)1( 2 2       [来源:学科网 ZXXK] 是纯虚数时，。即解得＝ Zmm mm mm 33 023 122)2( 2 2       时，－或。即－或解得 2323 023 122)3( 2 2       mmmm mm mm Z 对应的点位于复平面的第一象限 16、 iZ yxxyxixiyx ii iiiyixyixyxyixZ 6 35 6 5 6 35,6 5,3 52,3 5 3 5 3 52 )2)(2( )2)(3()(, 2222 22     解得： 代入方程得＝解：设 17、 为半径的圆的外部。以 ）为圆心，（为半径的圆的内部或以）为圆心，，表示以点（所以 或所以 或可得： 化简得：可得解：由 8 01201 8|1|2|1| 02|1| 08|1| 02|1| 08|1| 02|1| 8|1|,22|1| 4|1|121 41log 2 1 Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z z z                18、 为实数。解得： 化简可得：（得： 代入为实数）则解：由题意可设 212112 22 2 2 222 2 2 2 2 21 2 2 2 12121 3398 2814,98 1442 104249,)2(25)210 2510,2(2 ZZKZZKKiZKKiZ iKKiZZZZKizZKi ZZZZZKiZKKiZZ     19、解： 1111 ||||||||,||,1|| 222424 2 2 2 121 24 2 24 1   aaxaxxx ZZZZaxZxxZ 20、解： 0)1(2tan2  ixxx 原方程可化为 4,1 01 02tan2        kx x xx 解得 w.w.w.g.k.x.x.c.o.m