高考数学二轮复习专题能力提升训练：立体几何

高考数学二轮复习专题能力提升训练：立体几何

北京师范大学附中2014版《创新设》高考数学二轮复习专题能力提升训练：立体几何 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是( )‎ A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 ‎【答案】C ‎2．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎3．如左图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界 上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可有是右图中的( )‎ ‎【答案】A ‎4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是( )‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎【答案】C ‎5．有下列命题：①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行, 其 余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③‎ 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④ 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。其中正确的命题的个数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎6．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )‎ A． 4 B． 8 C． 16 D． 20‎ ‎【答案】C ‎7．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为 ( ） ‎ A． D．E、F B． F、D、E C． E、F、D D． E、D、F ‎【答案】D ‎8．已知点在平面内，并且对空间任一点， 则的值为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎9．经过空间任意三点作平面( )‎ A．只有一个 B．可作二个 C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个 ‎【答案】D ‎10．如图，在一根长‎11cm，外圆周长‎6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为( )‎ A． ‎61cm B．cm C．cm D．10cm ‎【答案】A ‎11．已知三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )‎ A．36 B．6 C．3 D．9‎ ‎【答案】C ‎12．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)[来源:学科网]‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．一个几何体的三视图如下图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ．‎ ‎【答案】4 ‎ ‎14．在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎15．半径为R的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为____________‎ ‎【答案】‎ ‎16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ‎① 与 平行； ② 与异面； ‎ ‎③ 与成； ④ 与垂直；‎ ‎⑤ 与相交.‎ 以上五个命题中，正确命题的序号是____________.‎ ‎【答案】③④⑤‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．如图，已知△ABC中∠B=300，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB与平面ABC所成角为450，AH⊥PC，垂足为H．‎ ‎ (1)求证：‎ ‎ (2)求二面角A—PB—C的正弦值．‎ ‎【答案】（1）由三垂线定理易证BCAC，可得BC面PAC，也即面PBC面PAC 又因为AHPC,所以AH面PBC，所以AHPB ‎(2）过H作HEPB于E，连结AE由三垂线定理可知AEPB AEH为所求二面角的平面角 令AC=1则BA=2,BC=,PA=2. PB=2‎ 由等面积法可得AE= AH=‎ sinAEH=‎ ‎18．如图所示，已知M、N分别是AC、AD的中点，BCCD．‎ ‎(1）求证：MN∥平面BCD；‎ ‎(2）求证：平面B CD平面ABC；‎ ‎(3）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD所成的角．[来源:学+科+网]‎ ‎【答案】（1）因为分别是的中点，所以．‎ 又平面且平面，所以平面． [来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎(2)因为平面, 平面，所以．‎ 又，所以平面．‎ 又平面，所以平面平面． ‎ ‎(3)因为平面，所以为直线与平面所成的角． ‎ 在直角中，，所以．所以．‎ 故直线与平面所成的角为． ‎ ‎19．如图，四棱锥中，，∥，，．‎ ‎(Ⅰ）求证：；‎ ‎ (Ⅱ）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）取中点，连结，．‎ 因为 ，所以 ．‎ 因为 ∥，，‎ 所以 ∥，．‎ 又因为 ，所以四边形为矩形， ‎ 所以 ． ‎ 因为 ，所以 平面．‎ 所以 ． ‎ ‎(Ⅱ）点满足，即为中点时，有// 平面．‎ 证明如下：取中点，连接，．‎ 因为为中点，所以∥，． ‎ ‎ 因为∥，，所以∥，．‎ 所以四边形是平行四边形，所以 ∥．‎ 因为 平面，平面，‎ 所以 // 平面．‎ ‎20．如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．‎ ‎(Ⅰ）求证：//平面；‎ ‎(Ⅱ）求证：平面；‎ ‎(Ⅲ）求二面角的大小．‎ ‎【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎,‎ ‎，，，．‎ ‎(Ⅰ）证明：∵，，‎ ‎∴,‎ ‎∵平面，且平面， ‎ ‎∴ //平面．‎ ‎(Ⅱ），， ， ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 又， ‎ 平面．‎ ‎(Ⅲ）设平面的法向量为, ‎ 因为，，[来源:学科网ZXXK]‎ 则取 ‎ 又因为平面的法向量为 所以 ‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎21．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ (Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎ (Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；‎ ‎ (Ⅲ）求二面角A—PB—D的余弦值.‎ ‎【答案】设AC与BD交于O点 ‎ ‎ ‎ 以OA、OB所在直线分别x轴，y轴.‎ ‎ 以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立 如图的空间直角坐标系，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (Ⅱ）设平面PDB的法向量为 ‎ ‎ ‎ 由 ‎ =‎ ‎ (Ⅲ）设平面ABP的法向量 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以二面角A—PB—D的余弦值为 ‎22．如图，在四梭锥P -ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AD =2，AB＝1.点M线段PD的中点．‎ ‎ (I）若PA＝2，证明：平面ABM ⊥平面PCD；‎ ‎ (II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．‎ ‎【答案】 (Ⅰ)∵平面，.‎ ‎∵点M为线段PD的中点，PA= AD =2，.‎ 又∵平面，.‎ 平面.‎ 又平面，‎ ‎∴平面⊥平面.‎ ‎(Ⅱ)设点B到平面PCD的距离为.‎ ‎∵AB∥CD, ∴AB∥平面PCD.‎ ‎∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等.‎ 过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N,‎ 平面⊥平面，平面.‎ 所以AN就是点A到平面PCD的距离.‎ 设棱锥的高为，则AN=.‎ 在△中，.‎ ‎.‎ 因为，当且仅当，即时，等号成立.‎ 故. ‎