江苏省启东中学2019-2020学年高二上学期期初考试数学试题

江苏省启东中学2019-2020学年高二上学期期初考试数学试题

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试 高二数学试卷 一、选择题。‎ ‎1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合，利用可得两个集合端点之间的关系，从而可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】集合，‎ 集合，‎ 若，则，解得，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并以及一元二次不等式的解法，属于中档题.‎ ‎2.若函数单调递增，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数单调递增，所以且由，所以，解得或，所以实数的取值范围是，故选D．‎ 考点：数列的单调性及分段函数的性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、函数的单调性的应用，不等式的求解等知识点的应用，其中解答中根据哈数是定义域山过的单调递增函数，即可列出不等关系且是解答的关键，即可求求解实数的取值范围，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎3.设是正实数，函数上是减函数，那么的值可以是(　　)‎ A. B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在为减函数可以得到半周期满足的不等式，从而可以得到的取值范围，故可得正确的选项.‎ ‎【详解】由题意可知函数的最小正周期，故，所以即，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属于基础题．‎ ‎4.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.‎ 详解：根据题意有，而，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.‎ ‎5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率．‎ ‎【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：‎ 甲 乙　‎ 锤 剪子 包袱 锤 ‎(锤，锤)‎ ‎(锤，剪子)‎ ‎(锤，包袱)‎ 剪子 ‎(剪子，锤)‎ ‎(剪刀，剪子)‎ ‎(剪子，包袱)‎ 包袱 ‎(包袱，锤)‎ ‎(包袱，剪子)‎ ‎(包袱，包袱)‎ 因为由表格可知，共有9种等可能情况．‎ 其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)．‎ 设为“甲和乙平局”，则，故选A．‎ ‎【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件．‎ ‎6.如图，在上，D是BC上的点，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据题意设,则 ‎,在中由余弦定理可得 ‎，‎ 在中由正弦定理得,故选C．‎ 考点：正余弦定理的综合应用．‎ ‎7.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，则或其补角为所求的异面直线所成的角，利用 为等边三角形可以其大小．‎ ‎【详解】如图，连接，‎ 因为，所以异面直线与所成的角为或其补角.‎ 因为为等边三角形，所以.故选C.‎ ‎【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.‎ ‎8.，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A. ， B. ，‎ C. ，，共面 D. ，，共点，，共面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条。‎ 选项A，可能相交。选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误。选B.‎ ‎9.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为4，那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为圆锥的体积为，故而，由可得的近似值.‎ ‎【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长，所以，‎ 所以 ‎.令，得.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥体积的计算，属于基础题.‎ ‎10.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则 ‎.因为，所以.所以，.选B.‎ 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.‎ ‎【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.‎ 二、填空题。‎ ‎11.定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的大致图像，根据图像分别求和的解，它们的并即为所求不等式的解．‎ ‎【详解】由题意得到与异号，故不等式可转化为或，根据题意可作函数图象，如图所示：‎ 由图象可得：当时，；当时，，‎ 则不等式的解集是．‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的应用和函数单调性的应用，属于基础题．‎ ‎12.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，由于曲线y＝1+表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有两个不同的交点；当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．‎ ‎【详解】根据题意画出图形，如图所示：‎ 由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），‎ 又曲线y＝1+图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，‎ 当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，‎ 解得：k＝；‎ 当直线l过B点时，直线l的斜率为 ，‎ 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】此题考查了直线与圆相交性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．‎ ‎13.若点是内的一点，且满足，则＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，所以为的重心，故可得的值．‎ ‎【详解】因为，故为的重心，所以，‎ 也就是．‎ ‎【点睛】本题考查三角形重心的性质，属于基础题．‎ ‎14.如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里处的乙船，若设乙船朝北偏东弧度的方向沿直线前往处救援，则＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理可得，故可解出，‎ 再利用同角的三角函数的基本关系式可求，最后利用两角和的正弦求出.‎ ‎【详解】在中，由正弦定理可得，‎ 所以，‎ 整理得到，故，‎ 因为，所以，‎ 又，填.‎ ‎【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎15.有一根高为，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度.‎ ‎【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再 延展一倍，‎ 所以铁丝的最短长度即为的长，又，填.‎ ‎【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理.‎ ‎16.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，设分别为和的中点，则夹角为和夹角或其补角，，，作中点，则为直角三角形，中，由余弦定理得，，在中，；‎ 在中，由余弦定理得，又异面直线所成角的范围是，与所成角的余弦值为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及余弦定理，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ 三、解答题。‎ ‎17.设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．‎ ‎（1）若a=-2，求B∩A，B∩(∁UA)；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）B∩A=[1，4），B∩(∁UA)= [-4,1)∪[4,5)；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用补集的定义求出的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论是否是空集，列出不等式组求解即可.‎ 详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁UA={x|x＜1或x≥4}，‎ ‎∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），‎ B∩(∁UA)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).‎ ‎（2）A∪B=A⇔B⊆A，‎ ‎①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,‎ ‎②B≠∅时，则有，∴,‎ 综上所述，所求a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.‎ ‎18.在中，.‎ ‎(1) 求的长；‎ ‎(2) 求的值．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由余弦定理可求的长.‎ ‎(2)先由余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系和倍角公式可求的值.‎ ‎【详解】解：(1) 因为，且，‎ 结合余弦定理有.‎ ‎(2) 在中，，‎ 结合余弦定理有.‎ 又，所以，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两边及夹角，用余弦定理.另外，如果知道三条边，则必可以求与其余角相关的三角函数式的值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.‎ ‎19.某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；‎ ‎（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．‎ ‎【答案】（1）6人；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案； （2）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．‎ ‎【详解】（1）由题意可知，‎ 参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），‎ 参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人），‎ 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）．‎ ‎（2）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．‎ 由（1）可知，‎ 参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；‎ 参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．‎ 从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15种情况．‎ 事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．‎ 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，列举法求概率，属于中档题，采用列举法求概率时，要做到不重不漏.‎ ‎20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4）．‎ ‎（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，‎ 求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)化简得到圆的标准方程，求得圆的圆心坐标和半径，进而求得N的标准方程；‎ ‎ (2)由题意得，设，则圆心到直线的距离，由此能求出直线的方程.‎ ‎【详解】圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，‎ 所以圆心M(6,7)，半径为5.‎ ‎(1) 由圆心在直线上，可设．‎ 与轴相切，与圆外切，，‎ 于是圆的半径为，从而，解得．‎ 因此，圆的标准方程为 ‎ (2) 直线，直线的斜率为．‎ 设直线的方程为，即，‎ 则圆心到直线的距离 ‎．‎ ‎，‎ 而，‎ ‎，‎ 解得或．‎ 故直线的方程为或；‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法及直线与的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，以及合理运用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.‎ ‎21.如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，中点，是线段的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.‎ 试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.‎ ‎（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，‎ 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.‎ 因为平面BDE，所以MN//平面BDE.‎ ‎（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.‎ 因此有，于是.‎ 所以，二面角C—EM—N的正弦值为.‎ ‎（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得 ‎，解得，或.‎ 所以，线段AH的长为或.‎ ‎【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角 ‎【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1) 如果，求函数的值域；‎ ‎(2) 求函数＝的最大值；‎ ‎(3) 如果对不等式中的任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ； (2) 最大值为1. (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令，则可利用二次函数的性质求函数的值域，注意换元后的范围.‎ ‎(2)去掉绝对值符号后可得，分别求出各自范围上函数值的取值范围可得的最大值．‎ ‎(3)原不等式等价于在上恒成立，换元后利用参变分离可求的取值范围．‎ ‎【详解】解：令， ‎ ‎(1) .‎ 因为，所以 ，所以 的值域为．‎ ‎(2) ，‎ 当时，；当时，，‎ 所以 即 当时，的最大值为1；当时，.‎ 综上，当时，取到最大值为1.‎ ‎(3) 由，得.‎ 因为，所以，‎ 所以 对一切恒成立．‎ ‎① 当时，；‎ ‎②时，恒成立，即.‎ 因为 ，当且仅当，即时取等号．‎ 所以的最小值为.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等；（2）利用换元法，把复杂函数的值域问题转化为常见函数的值域问题. 含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.‎ ‎ ‎