江西省信丰中学2020届高三数学上学期周考11理A层13班2（含解析）

江西省信丰中学2020届高三数学上学期周考11理A层13班2（含解析）

- 1 - 江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期周考 11（理 A 层）（13 班） 一、单选题（50 分） 1．若 , ,a b cR 且 a b ，则下列不等式成立的是（ ） A． 1 1 a b  B． 2 2a b C． a c b c D． 2 21 1 a b c c   2．已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 5 5S  ， 10 30S  ，则 15S =（ ）. A．90 B．125 C．155 D．180 3 直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是( ) A． 0，π 4 B． 3π 4 ，π C． 0，π 4 ∪ π 2 ，π D． π 4 ，π 2 ∪ 3π 4 ，π 4．已知等比数列{an}的前 n 项和 2 15 5 n nS t    ，则实数 t 的值为（） A．4 B．5 C． 4 5 D．0 5 已知 P(x0，y0)是直线 L：Ax＋By＋C＝0 外一点，则方程 Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0 表示 ( ) A．过点 P 且与 L 垂直的直线 B．过点 P 且与 L 平行的直线 C．不过点 P 且与 L 垂直的直线 D．不过点 P 且与 L 平行的直线 6．已知数列 na 的通项公式  * 2log 1n na n Nn   ，设其前 n 项和为 nS ， 则使 4nS   成立的自然数 n 有（） A．最大值 15 B．最小值 15 C．最大值 16 D．最小值 16 7．不等式    0x b x c a x    的解集为   1,2 3,  ，则b c  （ ） A． 5 B． 2 C．1 D． 3 - 2 - 8．已知变量 x ， y 满足约束条件 2 4 0 1 5 0 x y x x y          ，则 2z x y  的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 9．数列 na 中， 1 11, ,n na a a  是方程  2 12 1 0 n x n x b     的两根， 则数列 nb 的前 n 项和 nS  （） A． 1 2 1n  B． 1 1n  C． 2 1 n n  D． 1 n n  10．设  'f x 是函数  y f x 的导数，  ''f x 是  'f x 的导数，若方程  '' 0f x  有实数 解 0x ，则称点   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又 有对称中心， 且拐点就是对称中心．设   3 21 82 13 3f x x x x    ，数列 na 的通项公式为 2 7na n  ， 则      1 2 8f a f a f a   （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（20 分） 11．若不等式 2 1 0mx mx   解集为  ，则 m 的取值范围是 ． 12．已知点 是不等式组 ，所表示的平面区域内的一个动点，点 ， 为坐 标原点，则 OP OQ  的最大值是 . 13．已知数列 na 中， 1 2 1n na a   ， 1 2a  ，设其前 n 项和为 nS ，若对任意的 *n N ，  1 2 3nS n k n    恒成立，则 k 的最小值为____ ． 14 如图，在直角梯形 ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，且 E 为 CD 的中点，M，N 分别是 AD，BE 的 中点，将三角形 ADE 沿 AE 折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号) ①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥平面 DEC； ②不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN⊥AE； ③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥AB； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使 EC⊥AD. - 3 - 三、解答题(36 分) 15.(本小题满分 12 分)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BCD＝2π 3 ，四边形 ACFE 为矩形， 且 CF⊥平面 ABCD，AD＝CD＝BC＝CF. (1)求证：EF⊥平面 BCF； (2)点 M 在线段 EF 上运动，当点 M 在什么位置时，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角最 大，并求此时二面角的余弦值． 16．（本小题满分 12 分） 过点 (0,2)P 的直线l 与抛物线 C： 2 4x y 交于 A、B 两点，以 A、B 两点为切点分别作抛 物线 C 的切线 1l 、 2l ，且 1l 与 2l 相交于点 0 0( , )Q x y ． （1）求 0y 的值； （2）设过点 P 、Q 的直线交抛物线 C 于 M 、 N 两点，求四边形 AMBN 面积的最小值． - 4 - 17．(本小题满分 12 分)设函数 ． (1)若 是函数 的一个极值点，试求 的单调区间； (2)若 ，是否存在实数 a，使得 在区间 上的最大值为 4?若存在， 求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由． 2019-2020 学年高三（13）班数学周考 11（理）参考答案 1．D.2．C3．B4．B5．D6．D7．B8．C 9D 10 D 11．[ 4,0] 12． 13． 3 8 14 解析：由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD， 所以四边形 ABED 为平行四边形， - 5 - 所以 BE＝AD，折叠后如图所示． ①过点 M 作 MP∥DE，交 AE 于点 P，连接 NP. 因为 M，N 分别是 AD，BE 的中点， 所以点 P 为 AE 的中点，故 NP∥EC.又 MP∩NP＝P，DE∩CE＝E， 所以平面 MNP∥平面 DEC，故 MN∥平面 DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC， 所以 AE⊥MP，AE⊥NP， 又 MP∩NP＝P，所以 AE⊥平面 MNP， 又 MN⊂平面 MNP， 所以 MN⊥AE，②正确； ③假设 MN∥AB，则 MN 与 AB 确定平面 MNBA， 从而 BE⊂平面 MNBA，AD⊂平面 MNBA，与 BE 和 AD 是异面直线矛盾，③错误； ④当 EC⊥ED 时，EC⊥AD. 因为 EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E， 所以 EC⊥平面 AED，AD⊂平面 AED， 所以 EC⊥AD，④正确． 答案：①②④ 15.[解] (1)证明：在梯形 ABCD 中，设 AD＝CD＝BC＝1， ∵AB∥CD，∠BCD＝2π 3 ，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－ 2AB·BC·cosπ 3 ＝3. ∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC. ∵CF⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， ∴AC⊥CF，而 CF∩BC＝C， ∴AC⊥平面 BCF. ∵四边形 ACFE 是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面 BCF. (2)由(1)，以 CA，CB，CF 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系， - 6 - 设 AD＝CD＝BC＝CF＝1，令 FM＝λ(0≤λ≤ 3)，则 C(0,0,0)，A( 3，0,0)，B(0,1,0)， M(λ，0,1)， ∴AB → ＝(－ 3，1,0)，BM → ＝(λ，－1,1)， 设平面 MAB 的法向量为 n1＝(x，y，z)， 则 n1·AB → ＝0， n1·BM → ＝0， 即 － 3x＋y＝0， λx－y＋z＝0， 令 x＝1，则 n1＝(1， 3， 3－λ)，为平面 MAB 的一个法向量． 易知 n2＝(1,0,0)是平面 FCB 的一个法向量， 设平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为θ， 则 cosθ＝ |n1·n2| |n1|·|n2| ＝ 1 1＋3＋ 3－λ 2×1 ＝ 1 λ－ 3 2＋4 . ∵0≤λ≤ 3，∴当λ＝0 时，cosθ有最小值 7 7 ， ∴点 M 与点 F 重合时，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为 7 7 . 16．解析：本题考察阿基米德三角形，极点与极线的性质． （1） (2 , 2)Q k  ， ABk k ， 0 2y   ． （4 分） （2） 2 24 1 2AB k k    ， 2 2 2 4 4 2 4k kMN k    ． （8 分） 设 AB 与 MN 的夹角为  ， 2tan k k    ， 2 4 2 2sin 5 4 k k k     ， 故 2 2 2 1 ( 2)8 2 64 22AMBN kS AB MN k     ，当且仅当 2k   时取“=” 17．解：（1）函数 的定义域为（0,+∞） - 7 - = ∵x=1 是函数 的一个极值点，∴ =0，即 b=a+1………．2 分 = ①当 时，令 >0 得 01， 故 f(x)的增区间为(0,1),减区间为（1,+∞）；……………………．3 分 ②当 时，令 >0 得 0 ,令 <0 得 10 得 01，令 <0 得 故 的增区间为 减区间 ……………………．．6 分 （2）当 时， = ∵ ,∴当 ，故 为减函数 ∴当 ， 最大值为 , ( )中的较大者………………8 分 设 ， <0，∴ =1- >0 即 在区间 上为增函数，∴ 即 > ( ) - 8 - ∴ , 故存在实数 ,使得 在区间 上的最大值为 4．…………………12 分