【数学】四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试（理）

【数学】四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试（理）

四川省泸县第一中学2019-2020学年 高二下学期期末模拟考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知命题：，；命题：若＜，则＞，则下列为真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．设，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=‎ A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585‎ ‎7．在的展开式中，含项的系数为 A． B． C． D．‎ ‎8．五名同学进行百米赛跑比赛，先后到达终点，则甲比乙先到达的情况有 A．240种 B．120种 C．60种 D．30种 ‎10．一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知焦点在轴上的双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上存在一点满足，且的面积为2．若双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点，且的面积为，则 A．2 B． C． D．24‎ ‎12．定义在上可导函数的导数为，且，则下列判断中，一定正确的是 A． B． ‎ C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则7个剩余分数的方差为______．‎ ‎14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则_________．‎ ‎15．非负实数，，满足，则的最小值为__________．‎ ‎16．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）已知函数f（x）=lnx，其中a＞0.曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直.‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的极值和最值.‎ ‎18．（12分）一次数学考试后，对高三文理科学生进行抽样调查，调查其对本次考试的结果满意或不满意，现随机抽取名学生的数据如下表所示：‎ 满意 不满意 总计 文科 ‎22‎ ‎18‎ ‎40‎ 理科 ‎48‎ ‎12‎ ‎60‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（1）根据数据，有多大的把握认为对考试的结果满意与科别有关；‎ ‎（2）用分层抽样方法在感觉不满意的学生中随机抽取名，理科生应抽取几人；‎ ‎（3）在（2）抽取的名学生中任取2名，求文科生人数的期望.（其中）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．（12分）如图，多面体中，是正方形，，，，且，，、分别为棱、的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知抛物线C：y2=4x与椭圆E：1（a＞b＞0）有一个公共焦点F.设抛物线C与椭圆E在第一象限的交点为M.满足|MF|.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）过点P（1，）的直线交抛物线C于A、B两点，直线PO交椭圆 E于另一点Q.若P为AB的中点，求△QAB的面积.‎ ‎21．（12分）已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，求函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）求直线l和曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线和曲线在第一象限的交点分别为P，Q，求的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．C 2．B 3．B 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．C ‎ ‎11．A 12．A ‎13． 14． 15．3 16．‎ ‎17．（1）由题,（x＞0）,因为曲线在点处的切线与直线垂直,‎ 所以,解得a=2,所以,令得0＜x＜2,令得x＞2,‎ 所以f（x）的单调减区间为（0,2）,增区间为[2,+∞）‎ ‎（2）由（1）可得f（x）在（1,2）上递减,在（2,e）上递增,‎ 故f（x）的极小值为f（2）=ln2,无极大值；‎ 又因为f（1）=1,f（e）,f（2）=ln2,所以f（x）的最小值为ln2,最大值为1.‎ ‎18．解：（1）由题意有：，所以有的把握认为对考试的结果满意与科别无关.‎ ‎（2）感觉不满意的学生共有人，抽取的比例为，所以理科生应抽取人.‎ ‎（3）记抽取的名学生中，有名文科生名理科生，设抽出的文科生的人数为，‎ 则.所以 .‎ 所以的期望为.所以抽出的文科生人数的期望为1.2.‎ ‎19．（1）因为，，所以，即.‎ 平面.又因为平面，所以.‎ 因为四边形是正方形，所以.平面.‎ 因为，四边形是正方形，所以.‎ 又因为、分别为棱、的中点，所以. ‎ 所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ 因为，是中点，所以.平面.‎ ‎（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 如图所示：‎ 则，，，，‎ 所以，‎ 平面的一个法向量为，‎ 由，得，令，则.‎ 由（1）可知平面所以平面的一个法向量为，‎ 设平面和平面所成锐二面角为，‎ 则 所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．‎ 20． ‎（1）由抛物线方程可得F（1,0）,则椭圆的另一个焦点,因为,∴M（,）,则2a4,则a=2,所以,‎ 椭圆E的标准方程为.‎ ‎（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,点P（1,）在椭圆上,则Q（﹣1,）,‎ 因为P为AB的中点,且,则kAB,‎ 故直线AB的方程为y（x﹣1）,即8x﹣6y+1=0,∴Q到直线AB的距离,‎ 联立,整理得64x2﹣128x+1=0,故x1+x2=2,x1x2,‎ 则,‎ 所以.‎ ‎21．解：（1），‎ 当时，，即时，令，得：‎ ‎，，‎ 的单调递增区间和，单调递减区间．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎①当即时，，‎ 的单调递增区间是，此时不存在极值，‎ ‎②当时，即时，令得，；‎ 的单调递增区间是和，单调递减区间．‎ 则在处取得极大值，在处取得极小值，‎ 因为，所以，，所以 证明：在单调递增，且，，‎ 有两个极值点，，，．‎ ‎，令，，‎ 在单调递增，，‎ ‎，综上可知：．‎ ‎22．解：（1）由，得，代入，得，‎ 故直线l的直角坐标方程是．由，得，‎ 代入，得，即，‎ 故曲线的直角坐标方程是．‎ 由，得 即．故曲线的普通方程是．‎ ‎（2）把代入中，化简整理，‎ 曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ 因为，所以 所以，．‎ 所以 ‎23．（1），显然当时，取得最小值.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴.‎