福建省泉州市南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学（理）试题

福建省泉州市南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学（理）试题

南安侨光中学2020届高三年第一次阶段考试卷（理科数学）‎ 一、选择题（本大题共13小题，共65分）‎ ‎1.已知集合则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出与中不等式的解集确定出与，找出两集合的交集即可．‎ ‎【详解】解：由中不等式变形得：或.即 由中不等式得：即 故选B ‎【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算到原点的距离得出极径，再利用极坐标的定义计算极角的大小．‎ ‎【详解】解：，‎ 当时解方程组得．‎ 点的极坐标为．‎ 当时解方程组得．‎ 点的极坐标为．‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的对应关系，属于基础题．‎ ‎3.已知随机变量，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项分布列的性质即可得出．‎ ‎【详解】随机变量，则，故选C ‎【点睛】本题考查了二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.已知,则（）‎ A. B. C. 或3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排列数公式，组合数公式进行计算．‎ ‎【详解】‎ 当时成立；‎ 当时也成立；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查组合数公式及排列数公式的计算问题，属于基础题．‎ ‎5.已知函数是奇函数，则的值是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数性质可得，再代入求出即可．‎ ‎【详解】解：依题意，即恒成立，‎ 恒成立，‎ ‎，，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判定．属中档题．‎ ‎6.已知，则函数在区间上为增函数的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 时，函数在区间上为增函数，则 ‎ ‎ 时函数在区间上为增函数，则 ‎ 时函数在区间上为增函数，则 所以所求概率为 ，选A.‎ ‎7.已知集合,，记原命题：“，则”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合关系得到，然后根据四种命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【详解】解：，，，，‎ 则，‎ 则原命题：“，则”为真命题，则命题的逆否命题为真命题，‎ 命题的逆命题为：“，则”，为假命题，‎ 当时，，但不成立，即逆命题为假命题，则命题否命题也是假命题，‎ 故四种命题中真命题的个数为2个，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系的应用，根据逆否命题的等价性只需要判断两个命题的真假性是解决本题的关键．‎ ‎8.已知，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的求导公式及求导法则求出的导函数即可.‎ ‎【详解】‎ 故选A ‎【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，属于基础题.‎ ‎9.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（　 ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题是假命题，可以考虑它的否定是真命题，这样就能求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】命题“”的否定是对于，都有为真命题，‎ 所以，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了命题与命题的否定是一真一假的关系，这样通过转化的思想，很容易理解本题的意图.考查了含量词的命题的否定.‎ ‎10.已知曲线的参数方程（为参数），则其普通方程是（）‎ A. B. C. D. ()‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得代入另一个式子即可消去参数，要注意分类讨论．‎ ‎【详解】由题意代入得 ‎①当时 ‎②当时 综上 故选 ‎【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．‎ ‎11.定义在上的函数满足，当时，当时，则=（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．‎ ‎【详解】解：，为以6为周期的周期函数.‎ 当时，‎ 当时，，‎ ‎， ， ，‎ ‎， ， ，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．‎ ‎12.设奇函数在上是增函数，且，若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是（ ）‎ A B. ‎ C. 或或 D. 或或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：奇函数在上是增函数, 且,在最大值是 ‎,当时, 则成立, 又,令, 当时,是减函数, 故令解得, 当时,是增函数, 故令,解得,综上知，或或,故选D.‎ 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；②数形结合（图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围.‎ ‎13.己知函数，其中为函数的导数，求（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．‎ ‎【详解】解：函数 设，则 即，即，‎ 则，‎ 又，‎ ‎，可得，‎ 即有，故选．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共5小题，共25分）‎ ‎14.已知函数，则该函数的值域为________ ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数转化为熟悉的函数，数形结合可求函数的值域．‎ ‎【详解】‎ 画出函数图象 ‎【点睛】本题考查形如型的函数，此类函数可通过变形为为熟悉的反比例函数经过平移所得，可以画出函数图象，数形结合来分析．‎ ‎15.当时，幂函数为增函数，则实数_________ ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数的定义可知，，再由幂函数为增函数可得，联立求解值得答案．‎ ‎【详解】解：由题意可得，，解得．‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的定义及其性质，是基础题．‎ ‎16.已知函数，则的解集是_________ ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，根据分段函数的表达式，先求出的范围，然后用替换，即可求出的范围．‎ ‎【详解】令则转化为由题意解得，，当时 当时解得或 综上或 ‎【点睛】本题主要考查函数与不等式的应用，利用换元法分别解两次不等式是解决本题的关键．‎ ‎17.已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，令，若在区间内，方程有个不相等的实根，则实数的取值范围是_________ ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性求出函数在一个周期上的图象，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点个数问题进行求解即可．‎ ‎【详解】解：是偶函数，当，时，．‎ 当，时，当，时，，‎ 即当，时，．‎ 则当，时，．‎ ‎，‎ 函数的周期为2．‎ 由，得，‎ 设，做出在，上的函数图象如图所示：‎ 设直线经过点，则．‎ 直线经过定点，且直线与的图象有4个交点，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出函数在一个周期内的解析式，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．‎ ‎18.已知函数，若对任意，有>0‎ ‎ 或>0 成立，则实数 的取值范围是____________‎ ‎【答案】-34 or x<2}，‎ 则3a>4且a<2其中所以实数的取值范围是.‎ ‎20.在直角坐标系中，圆参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的普通方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 参数方程化为普通方程可得圆的普通方程为.‎ 圆的极坐标方程得，联立极坐标方程可得，，结合极坐标的几何意义可得线段的长为1.‎ ‎【详解】圆的参数方程为 消去参数可得圆的普通方程为.‎ 化圆的普通方程为极坐标方程得，‎ 设,则由解得，，‎ 设,则由解得，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的应用，极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21.已知是定义在上的奇函数．‎ 求的解析式；‎ 判断并证明的单调性；‎ 解不等式：‎ ‎【答案】（1）（2）函数在上为增函数．证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数的性质，列出方程求出、的值，代入解析式；‎ ‎（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论．‎ ‎（3）根据函数的单调性即可得到关于的不等式组，解得即可．‎ ‎【详解】解：是定义在上的奇函数，‎ ‎，即．‎ 又．‎ 函数在上为增函数．‎ 证明如下，任取，‎ 为上的增函数．‎ ‎，即，‎ ‎，解得，‎ 解集为：‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．‎ 根据奇函数的性质，列出方程求出的值，代入解析式；‎ 先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论 根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可．‎ ‎22.‎ 已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程得，由此先求出焦点坐标，由直线的截距式求出直线方程即可；（2）由（1）知，直线的斜率为，因为，所以的斜率为，所可写出直线的参数方程，将其参数方程代入椭圆方程，由直线参数的几何意义求之即可.‎ 试题解析：（1）曲线可化为，‎ 其轨迹为椭圆，焦点为，.‎ 经过和的直线方程为，即.‎ ‎（2）由（1）知，直线斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，‎ 所以的参数方程为（为参数）.‎ 代入椭圆的方程中，得.‎ 因为在点的两侧，所以.‎ 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用.‎ ‎23.设,函数.‎ ‎(1) 若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)求函数单调区间 ‎(3) 若有两个零点,求证: .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令，可得函数的增区间，，可得函数的减区间；（3）原不等式等价于 令,则,于是，，利用导数可证明，从而可得结果.‎ 详解：在区间上,. ‎ ‎（1）当时，则切线方程为，即 ‎（2）若,则,是区间上的增函数, ‎ 若,令得: .‎ 在区间上, ,函数是增函数; ‎ 在区间上, ,函数是减函数; ‎ ‎ (3)设 ‎ ‎,‎ 原不等式 ‎ 令,则,于是.（9分）‎ 设函数 ,‎ 求导得: ‎ 故函数是上的增函数, ‎ 即不等式成立,故所证不等式成立.‎ 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎ ‎