【数学】2018届一轮复习人教A版专题2-3破解6类解答题-备战高三数学考试万能工具包学案
第2篇 考前必看解题技巧
专题03 破解6类解答题
一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名
三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.学/* +-
(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如 α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α).
(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,方法通常有:“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,方法通常有“切化弦”“升次与降次”等.
例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.
(1)求b和sin A的值;
(2)求sin的值.
所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(变名)
故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(变角)
变式:利用恒等变换变为sin A=.
变名:利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.
变角:把2A+的三角函数表示为2A和的三角函数.
▲破解策略 求解此类题目的策略:
既要注重三角知识的基础性,又要注重三角知识的应用性,突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点,把握变换方向,抓住内在联系,合理选择公式”是三角变换的基本要决.在解题时,要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质,仔细审题,快速运算.
【变式训练】【2018四川省广元市一模】设函数 .
（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
（2）已知中，角的对边分别为，若， ，求的最小值.
二、数列问题重在“归”——化归、归纳
等差数列与等比数列是两个基本数列,是一切数列问题的出发点与归宿.首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题,我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的情形出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特点,将数列问题化归为函数问题 解决.
例2 (2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
从而{an}的通项公式为an=(n∈N*).
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知==-.(化归)
则Sn=-+-+…+-=.
归纳:通过条件归纳出a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1)(n≥2),进而得出{an}的通项公式.
化归:把数列的通项分拆,利用裂项相消法求和.
▲破解策略 “算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.
【变式训练】【2018江西省师范大学附属中学、九江第一中学联考】已知正项数列满足:
(1)求数列的通项公式;
(2)求的值.
三、立体几何问题重在“建”——建模、建系
立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型;建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.
例3 (2017课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(建系)
则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距
同理可取m=(0,-1,),则cos
==.
易知二面角D-AE-C为锐二面角,学/* +-*
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
建模:构建二面角的平面角模型.
建系:以两两垂直的直线为坐标轴.
▲破解策略 立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练,切勿顾此失彼;要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面问题;能依托于题中的垂直条件,建立适当的空间直角坐标系,将几何问题化归为代数问题.
【变式训练】【湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测】如图,在几何体中，四边形为矩形，四边形为梯形, ,平面与平面垂直，且.
（1）求证： 平面；
（2）若,且平面与平面所成锐二面角的余弦值为,求的长.
四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型
概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.
例4 (2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60 的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
解析 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)
故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)
(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60 ”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)
故P(B)=0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B),
故P(B|A)====.(辨型2)
辨型1:该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.
辨析2:判断事件B发生,在一年内出险次数为4或≥5.
辨型2:该问题为条件概率,可利用公式求解.
▲破解策略 概率与统计知识的复习应抓住基本概念、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题.在审题时,一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;(4)准确选择排列组合的方法 计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质 计算事件的概率.
【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数()
10
20
30
40
50
60
70
80
愿意整体搬迁人数()
8
17
25
31
39
47
55
66
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程
（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据： .
五、解析几何问题重在“设”——设点、设线
解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.
例5 (2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(设点)
于是直线AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y'=,
设M(x3,y3),由题设知=1,
即4=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
设点:设出A,B两点坐标,并得出x1≠x2,x1+x2=4.
设线:由(1)知直线斜率,再设直线方程为y=x+m,利用条件可求出m的值.
▲破解策略 解析几何的试题常要根据题目特征,恰当地设点、设线,以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等,常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b、x=my+n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.
【变式训练】【2018黑龙江省大庆市一模】已知椭圆 ，其焦距为2，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为， 为轴上一点，满足，过点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.
六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解
以函数为载体,以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.
例6 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0.
(1)求a; - /*
(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2< f(x0)<2-2.
当01时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.
综上,a=1.
(2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x.
设h(x)=2x-2-ln x,(分解)
则h'(x)=2-.
当x∈时,h'(x)<0;
当x∈时,h'(x)>0,
所以h(x)在单调递减,在单调递增.
分离:把函数f(x)分离为x与g(x)的积.
分解:构造h(x)=2x-2-ln x.
▲破解策略 函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步,注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.
【变式训练】 已知函数
（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；
（2）在（1）中， 取最小值时，设函数.若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）证明不等式： （且）.
答案精解精析
一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名
【变式训练】【解析】（1）由题意得
，
∵，
∴，
∴的最大值为2．此时，即，
∴，
∴
在中， ， ，
由余弦定理得
又，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
二、数列问题重在“归”——化归、归纳
【变式训练】【解析】
(1) =,
⇒=,
,所以,
又===
.
(2) ====,
所以原式=
== .
三、立体几何问题重在“建”——建模、建系
【变式训练】【解析】（1)证明：因为平面与平面垂直
故平面 x/*kw
（2）由（1）知， 垂直， 垂直，又垂直， 平行，所以垂直，如图，以为坐标原点， 分别为轴建立空间坐标系
又，所以，
设
则
因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则，
即，解得，即
四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型
【变式训练】【解析】
（1）由已知有 ，
,故变量 关于变量 的线性回归方程为，所以当 时， .
（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.
，
.
所以 的分布列为
1
2
3
4
五、解析几何问题重在“设”——设点、设线
【变式训练】【解析】
(1)因为椭圆焦距为2，即，所以,，所以，从而，所以椭圆的方程为.
， 令， ，则，当时， 取得最大值，此时， ， 取得最大值.
六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解
【变式训练】 【解析】
(2)由(1)可知， ，当时， ，
，
在区间上恰有两个零点，即关于的方程在区间上恰有两个实数根. 整理方程得， ，令， ， 令， ，
则， ，于是， 在上单调递增.
因为，当时， ，从而， 单调递减，
当时， ，从而， 单调递增，
， ， ，
因为，所以实数的取值范围是.
(3)由(1)可知，当时，有，
当且仅当时取等号.