广西桂林市龙胜中学2019-2020学年高二开学考试数学（理）试卷

广西桂林市龙胜中学2019-2020学年高二开学考试数学（理）试卷

数学（理）开学测试卷 一、选择题 ‎1.已知，则下列向量中与平行的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量共线的等价条件判断即可.‎ ‎【详解】对于A选项，，A选项中的向量与不平行；‎ 对于B选项，，B选项中的向量与不平行；‎ 对于C选项，，C选项中的向量与不平行；‎ 对于D选项，，D选项中的向量与平行.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量共线的判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎2.用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于，因为是实数，所以”你认为这个推理（ ）．‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误．‎ ‎3.已知，则向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的坐标，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间向量夹角余弦公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.函数有（ ）‎ A 极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3‎ C. 极小值-2，极大值2 D. 极小值-1，极大值3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ y′＝3－3x2，令y′＝0，解得x＝±1.x<－1或x>1时，y′<0；－10.可得f(1)＝3是极大值，f(－1)＝－1是极小值．‎ ‎5.若平面的法向量分别为，则（ ）‎ A. B. 与相交但不垂直 C. D. 或与重合 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用垂直于同一直线的两个不同的平面平行以及法向量的定义即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以平面的法向量共线，故或与重合.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面法向量判定面面位置关系，用到垂直于同一直线的两个不同的平面平行，本题属于容易题.‎ ‎6.已知向量.若，则x的值为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求解的坐标，再利用坐标表示向量垂直，列出等式，即得解 ‎【详解】∵，∴，解得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题 ‎7.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.‎ A. B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.‎ 考点：导数的集合意义.‎ ‎8.如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的加法和减法运算，，即得解 ‎【详解】由向量的加法和减法运算：‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了空间向量的加法和减法运算，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算能力，属于基础题 ‎9.观察按下列顺序排列的等式：，，，，猜想第个等式应为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为：，，，，则可以归纳猜想第个等式应为，故选B ‎10.已知，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值.‎ ‎【详解】函数，则，‎ 令代入上式可得，则，‎ 所以，‎ 则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题.‎ ‎11.在正方体，中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，求出平面法向量以及坐标，按线面角向量法求解.‎ ‎【详解】设正方体边长为，以为坐标原点，‎ 所在的直线分别为轴建立坐标系，‎ 则，‎ 平面法向量为，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查用向量法求直线与平面所成的角，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，令即，‎ 当a≥0，x∈R；当a＜0时，解得，或；‎ 因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以，‎ 解得a≥-3，所以实数a的取值范围是[-3，+∞）‎ 考点：函数导数与单调性 二、填空题 ‎13.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，点P的坐标为，若 PA⊥AB,PA⊥AC，则点P的坐标为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，得到的坐标，利用，列出方程组即可求解.‎ ‎【详解】由已知得，‎ 由题意得即，‎ 解得，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及向量的数量积的运算，其中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14.＝2，＝3，＝4……若＝6 (a，b均为实数)，猜想，a＝________，b＝________．‎ ‎【答案】 (1). 6 (2). 35‎ ‎【解析】‎ 根据发现的规律可知.‎ ‎15.如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数在区间内单调递增；‎ ‎②函数在区间内单调递减；‎ ‎③函数在区间内单调递增；‎ ‎④当时，函数有极小值；‎ ‎⑤当时，函数有极大值；‎ 则上述判断中正确的是___________．‎ ‎【答案】①②③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由函数图像可知，在函数递增，在函数递减，在函数递增，即在区间内单调递增，当时取得最小值，当时取得最大值，当时取得极大值，当时函数取得极小值，综上可知①②③⑤正确 考点：函数单调性与极值 ‎16.由抛物线，直线及轴围成的图形的面积为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出由抛物线，直线及轴围成的图形，面积可用定积分表示为：‎ ‎，计算即得解 ‎【详解】由题意，由抛物线，直线及轴围成的图形如下图阴影部分所示：‎ 可用定积分表示为：‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查了定积分在曲边梯形面积表示中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题 四、解答题 ‎17.计算：‎ ‎（1）求函数的导数：‎ ‎（2）计算定积分：‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设， 利用复合函数求导公式，即得解；‎ ‎（2）因为，利用微积分基本定理，得到 ‎，计算即得解 ‎【详解】（1）设， ‎ 则 ‎（2）因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数求导和定积分的求解，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于基础题 ‎18.已知，求，，.‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算公式，计算即得解 ‎【详解】由题意，‎ 故 且，，‎ ‎【点睛】本题考查了向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题 ‎19.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）求的极值 ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：（1）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性；（2）利用（1）中的单调性确定极值．‎ 详解：（1），令，‎ ‎ 得或 ‎(2)‎ 点睛：本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎20.已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程;‎ ‎（2）求经过点曲线的切线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）‎ 设切点坐标为 ，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点的切线方程，将代入切线方程可求得的值，从而可得结果.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的导数为，‎ 可得曲线在点处的切线斜率为，‎ 切点为，所以曲线在点处的切线方程，‎ 即为；‎ ‎（2）设切点为，可得，‎ 由的导数，‎ 可得切线的斜率为，‎ 切线的方程为，‎ 由切线经过点，可得 ‎，‎ 化为，解得或．‎ 则切线的方程为或，‎ 即为或．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；（2）己知斜率求切点即解方程；（3）巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎21.如图，四棱柱中，侧棱底面,为棱的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得：‎ ‎（1）易得,则,‎ ‎（2）由题意可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，则,故二面角的正弦值为 试题解析：‎ 如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，‎ 依题意得，‎ ‎（1）证明：易得,于是,‎ 所以 ‎（2）,设平面的一个法向量，‎ 则,即消去，得，‎ 不妨令，所以平面的一个法向量为 由（1）知，又平面，‎ 所以平面，故为平面的一个法向量，‎ 于是,‎ 从而 所以二面角的正弦值为 ‎22.某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.‎ 最大值42‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，当时，，代入函数式，运算即得解；‎ ‎（2）先表示商场每日销售该商品所获得的利润为，求导研究单调性，即可得最大值 ‎【详解】（1）∵时，，‎ 由函数式，得，∴.‎ ‎（2）由（1）知该商品每日的销售量，‎ ‎∴商场每日销售该商品所获得的利润为 ‎，，‎ ‎，‎ 令，得，‎ 当时，，函数在上递增;‎ 当时，，函数在上递减;‎ ‎∴当时，函数取得最大值.‎ 所以当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.‎ ‎【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生实际应用，综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题