宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高二12月数学（理）试题

宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高二12月数学（理）试题

银川唐徕回民中学2019－2020学年第一学期12月月考高二数学试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知关于的不等式的解集是，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由方程与不等式关系可求得值.‎ ‎【详解】由方程与不等式关系得：和为方程的两根，‎ ‎，解得，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了分式不等式的解集，不等式与方程的关系，属于基础题.‎ ‎2.抛物线的焦点是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.‎ ‎【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.‎ ‎【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.‎ ‎3.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 16 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列性质求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可．‎ ‎【详解】等比数列{an}中，a‎3a11＝‎4a7，‎ 可得a72＝‎4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，‎ ‎∴b7＝4，‎ 数列{bn}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎4.下列说法中，正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题是真命题 B. 命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题 C. 命题“，”的否定是：“，”‎ D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：因为命题“若，则”的逆命题“若，则”是假命题,所以选项A不正确;‎ 命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”至少有一个为真命题,所以选项B不正确；‎ 命题“，”的否定是：“，”，选项C正确；‎ 已知，则“”是“”的必要不充分条件，所以选项D不正确；‎ 故选C.‎ 考点：命题与充要条件.‎ ‎5.若向量，，则与共线的向量可以是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.‎ 详解】‎ 故选B ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.‎ ‎6.设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵是与的等比中项，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当且，即时等号成立．选D．‎ ‎7..某汽车公司的A,B两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为( )‎ A. 16,8 B. 15,‎9 ‎C. 17,7 D. 14,10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最小值取法，即得结果 ‎【详解】设厂工作小时， 厂工作小时，总工作时数为，则目标函数为，约束条件为作出可行域如图所示，由图知当直线经过点时，取得最小值，由可得，故厂工作16小时，厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少.选A.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】线性规划实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎8.已知双曲线的焦点为F1、F2， 点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不妨又所以，即；所以则M到x轴的距离 故选C ‎9.过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（ ）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过A作AB⊥x轴于B点，Rt△ABF中，作斜率为的直线，由∠AFB且|AF|＝4，得|BF|＝2，从而求得A的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p的值即可．‎ ‎【详解】解：过A作AB⊥x轴于B点，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线，‎ 则在Rt△ABF中，∠AFB，|AF|＝4，‎ ‎∴|BF||AF|＝2，‎ 则xA＝2，‎ ‎∴|AF|＝xA2+p＝4，得p＝2．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．‎ ‎10.已知双曲线的方程为，过左焦点作斜率为 的直线交双曲线的右支于点，且轴平分线段，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知：，，算出，由双曲线定义得出关于的等式，求解出离心率.‎ ‎【详解】设直线与轴交点，则点为线段的中点，则，，‎ 直线的斜率为，，‎ ‎，‎ 由双曲线的定义知：，解得离心率.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的计算，属于基础题.‎ ‎11.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.‎ ‎【详解】设棱长为1，，，‎ 由题意得：，，‎ ‎，‎ 又 即异面直线与所成角的余弦值为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.‎ ‎12.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先记点到抛物线准线的距离为，根据抛物线的定义，将化为，再设直线 的方程为，因此求的最小值，即是求的最小值，由此可得，直线与抛物相切时，最小，联立直线与抛物线方程，结合判别式，即可求出结果.‎ ‎【详解】记点到抛物线准线的距离为，‎ 由抛物线定义可得，‎ 因此求的最小值，即是求的最小值，‎ 设直线的方程为，倾斜角为易知，，‎ 因此当取最小值时，最小；‎ 当直线与抛物线相切时，最小；‎ 由可得，‎ 由得，即，所以，即.‎ 因此，的最小值为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系，熟记定义以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到不等式的解集为，再确定的解为 或，解得答案.‎ ‎【详解】不等式的解集为，则不等式的解集为 的解为： 或 ‎ 解得答案：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了解不等式，将看成整体可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎14.命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题 ‎，解得：‎ 的取值范围为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.‎ ‎15.一条渐近线方程是的双曲线，它的一个焦点与方程是的抛物线的焦点相同，此双曲线的标准方程是_______________ ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据抛物线得到双曲线的焦点，即的值，然后根据渐近线，得到双曲线方程.‎ ‎【详解】因为抛物线，‎ 所以其焦点为，‎ 因为双曲线的一条渐近线是，‎ 所以，设双曲线方程为，‎ 所以，‎ 故所求的双曲线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查通过双曲线的渐近线和焦点求标准方程，属于简单题.‎ ‎16.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由，准线 考点：抛物线方程及性质 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知，命题：“均成立”，命题：“函数定义域为”.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件转化得：在上恒成立，只需求的最小值，即可得的范围；‎ ‎（2）由题目条件分析可得，命题一真一假，列出相应的不等式组求解即可.‎ ‎【详解】（1）设，则在上恒成立，‎ 令，则在单调递增，‎ ‎，故.‎ ‎（2）当命题为真命题时，在上恒成立，‎ ‎，解得：，‎ 命题“”为真命题，命题“”为假命题，‎ 命题一真一假，‎ 或，‎ 解得：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有逻辑联结词的命题真假的判断，函数的定义域，不等式的恒成立问题，属于基础题.‎ ‎18.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理边角互化，将等式化简为，再利用,以及二倍角公式化解求角的值；‎ ‎（2）根据正弦定理，，表示，再利用面积公式，利用两角和的正弦公式和降幂公式化简，最后根据角的范围求取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题设及正弦定理得．‎ 因为，所以．‎ 由，可得，‎ 故．‎ 因为，故，因此．‎ ‎（2）根据正弦定理，可得 因为，所以 ,‎ 这样 ,‎ 而 ‎ ‎ ‎ 是锐角三角形，所以, ‎ ‎ ,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题重点考查了正弦定理边角互化解三角形，以及利用边角互化把边转化为角，转化为三角函数给定区间求取值范围的问题，本题的易错点是忽略锐角三角形的条件，或是只写出，这样即便函数化简正确，取值范围也错了.‎ ‎19.如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程为；又，所以，联立得，利用根与系数关系代入计算求出值.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，，则直线的方程为：，即，‎ 设两点的坐标分别为，‎ 联立，消得：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”、“整体代入”等解法.‎ ‎20.已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和，并求证.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由与关系得：，构造新数列为等比数列，利用等比数列通项公式求出；‎ ‎（2）由求出，则，再利用“裂项相消法”求出即可证明 ‎【详解】（1），‎ 当时，，解得，‎ 当时，，‎ 化简得：，，‎ 又，，‎ 数列为等比数列，首项为，公比为，‎ ‎，即；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题主要考查了与的关系，等比数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，考查学生的运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，‎ ‎，，，.‎ ‎（1）若是线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1），，，，‎ ‎，，‎ 由于，因此连接，由于，，‎ 在平行四边形中，是线段的中点，则，且，‎ 因此，且，所以四边形为平行四边形，，‎ 又平面，平面，平面；‎ ‎（2），，‎ 又平面，、、两两垂直．‎ 分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则、、、，‎ 故，，又，，.‎ 设平面的法向量，‎ 则，，取，得，所以，‎ 设平面的法向量，则 ‎，∴，取，得，所以，‎ 所以 故二面角的余弦值为.‎ 考点：1.直线与平面平行；2.利用空间向量法求二面角 ‎22.已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的取值范围；‎ ‎（3）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.‎ ‎【答案】（1）.（2）.（3）直线过定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）易知，得,故.‎ 故方程为.‎ ‎（2）设：，与椭圆的方程联立,消去得 ‎.由△＞0得.‎ 设,则.‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎，∴，‎ 故所求范围是.‎ ‎（3）由对称性可知N，定点在轴上.‎ 直线AN：，令得:‎ ‎,‎ ‎∴直线过定点.‎