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文档介绍
【数学】2020届一轮复习江苏版12-3-2不等式的证明学案
第2课时 不等式的证明 考情考向分析 本节主要考查不等式的证明方法及柯西不等式的简单应用,以解答题的形式出现,属于低档题. 1.不等式证明的方法 (1)比较法 ①作差比较法 知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明a-b>0即可,这种方法称为作差比较法. ②作商比较法 由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时,要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为作商比较法. (2)综合法 从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,最终推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法,即“由因导果”的方法. (3)分析法 从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等),从而得出要证的不等式成立,这种证明方法叫做分析法,即“执果索因”的方法. (4)反证法和放缩法 ①先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫做反证法. ②在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小,以利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法. (5)数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: ①证明当n=n0时命题成立; ②假设当n=k (k∈N*,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 2.几个常用的不等式 (1)柯西不等式 ①柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时,等号成立). ②柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. ③柯西不等式的三角形不等式:设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,则+≥. ④柯西不等式的一般形式:设n为大于1的自然数,ai,bi(i=1,2,…,n)为实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,等号当且仅当==…=时成立(当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n). (2)算术—几何平均不等式 若a1,a2,…,an为正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时,假设为“a,b,c全不为0”.( × ) (2)若>1,则x+2y>x-y.( × ) (3)若a,b为正实数,a+b=1,则+≥4.( √ ) (4)若实数x,y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.( √ ) 题组二 教材改编 2.[P12例1]不等式:①x2+3>3x;②a2+b2≥2(a-b-1);③+≥2,其中恒成立的是________.(填序号) 答案 ①② 解析 由①得x2+3-3x=2+>0,所以x2+3>3x恒成立;对于②,因为a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以不等式成立;对于③,因为当ab<0时,+-2=<0,所以+<2. 3.[P21习题T4]若a>b>1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是________. 答案 x>y 解析 x-y=a+-=a-b+=.由a>b>1,得ab>1,a-b>0, 所以>0,即x-y>0,所以x>y. 4.[P37习题T1]设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________. 答案 解析 根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值为. 题组三 易错自纠 5.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则++的最小值为________. 答案 9 解析 把a+b+c=1代入到++中, 得++ =3+++ ≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 6.(2019·徐州模拟)已知正数a,b,c满足2a+3b+6c=2,求++的最小值. 解 由于a,b,c>0, 所以++= ≥2 =(++)2=27, 当且仅当==, 即a∶b∶c=3∶2∶1且a,b,c>0时,等号成立. 7.已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,且abc=1. 证明:(1)(1+a)(1+b)(1+c)≥8; (2)++≤++. 证明 (1)∵a>0,b>0,c>0,1+a≥2, 1+b≥2,1+c≥2, ∴(1+a)(1+b)(1+c)≥8=8, 当且仅当a=b=c=1时,等号成立. (2)∵++=bc+ac+ab,a>0,b>0,c>0, ∴ab+bc≥2=2, ab+ac≥2=2, bc+ac≥2=2, ∴++≤ab+ac+bc, 即++≤++. 题型一 用综合法与分析法证明不等式 例1 (1)(2018·南京、盐城模拟)设a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2). 证明 a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2) =(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2 =(a2+b2-2ab)2=(a-b)4. 因为a≠b,所以(a-b)4>0, 所以a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2). (2)设a,b,c>0且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥. 证明 因为a,b,c>0,所以要证a+b+c≥, 只需证明(a+b+c)2≥3. 即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而ab+bc+ca=1, 故需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca), 即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 而ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立), 所以原不等式成立. 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,相互渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野. 跟踪训练1 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a4+b4-2a2b2)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 题型二 用放缩法证明不等式 例2 若a,b∈R,求证:≤+. 证明 方法一 当|a+b|=0时,不等式显然成立. 当|a+b|≠0时, 由0<|a+b|≤|a|+|b|,可得≥, 所以=≤= =+≤+. 方法二 令f(x)=(x≥0),易知f(x)在[0,+∞)上为增函数, 又|a+b|≤|a|+|b|,∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|). 即≤ =+≤+. 思维升华 (1)在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有: ①变换分式的分子和分母,如<,>,<,>.上面不等式中k∈N*,k>1; ②利用函数的单调性; ③真分数性质:“若00,则<”. (2)在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度. 跟踪训练2 设n是正整数,求证:≤++…+<1. 证明 由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得 ≤<. 当k=1时,≤<; 当k=2时,≤<; …; 当k=n时,≤<, ∴=≤++…+<=1. ∴原不等式成立. 题型三 柯西不等式的应用 例3 已知函数f(x)=|x+3|,g(x)=m-2|x-11|,若2f(x)≥g(x+4)恒成立,实数m的最大值为t. (1)求实数m的最大值t; (2)已知实数x,y,z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0),且x+y+z的最大值为,求a的值. 解 (1)由题意,知 g(x+4)=m-2|x+4-11|=m-2|x-7|. 若2f(x)≥g(x+4)恒成立,则2|x+3|≥m-2|x-7|,即m≤2(|x+3|+|x-7|). 而由绝对值三角不等式可得2(|x+3|+|x-7|)≥2|(x+3)-(x-7)|=20,当且仅当(x+3)(x-7)≤0时等号成立. ∴m≤20,故m的最大值t为20. (2)实数x,y,z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0), 由柯西不等式可得 [(x)2+(y)2+(z)2]· ≥2, 即a×1≥(x+y+z)2,当且仅当2x=3y=6z时等号成立, ∴x+y+z≤. 又∵x+y+z的最大值是=1,∴=1,∴a=1. 思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为:(a+a+…+a)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件. 跟踪训练3 (1)已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,求x的取值范围,使f(x)为常函数; (2)若x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,求m=x+y+z的最大值. 解 (1)f(x)=|x-1|+|x+3|= 则当x∈[-3,1]时,f(x)为常函数. (2)由柯西不等式,得(x2+y2+z2)[()2+()2+()2]≥(x+y+z)2, 当且仅当==时等号成立. 所以|x+y+z|≤3, 因此m的最大值为3. 1.(2018·常镇模拟)已知a,b,c为正数,且a+b+c=3,求++的最大值. 解 由柯西不等式可得 (++)2≤(12+12+12)·[()2+()2+()2]=3×12, ∴++≤6, 当且仅当==时取等号. ∴++的最大值是6. 2.已知x+y=1,求2x2+3y2的最小值. 解 由柯西不等式可知, (2x2+3y2)· ≥2=(x+y)2=1, ∴2x2+3y2≥,当且仅当2x=3y,即x=,y=时,等号成立.∴2x2+3y2的最小值为. 3.(2018·江苏)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值. 证明 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2. 因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4, 当且仅当==时,不等式取等号, 此时x=,y=,z=, 所以x2+y2+z2的最小值为4. 4.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则+>+; (2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明 (1)因为(+)2=a+b+2, (+)2=c+d+2, 由题设知a+b=c+d,ab>cd, 得(+)2>(+)2. 因此+ > +. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd, 由(1)得+ > +,即必要性成立; ②若+ > +,则(+)2>(+)2, 即a+b+2 >c+d+2. 因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|,即充分性成立. 综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 5.(1)关于x的不等式|x-3|+|x-4|1, 即a的取值范围是(1,+∞). (2)由柯西不等式, 得[42+()2+22]· ≥2=(x+y+z)2, 即25×1≥(x+y+z)2,当且仅当==时等号成立. ∴5≥|x+y+z|,∴-5≤x+y+z≤5. ∴x+y+z的取值范围是[-5,5]. 6.设a,b,c为正实数且a+b+c=1. (1)求证:2ab+bc+ca+≤; (2)求证:++≥2. 证明 (1)因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2, 所以2ab+bc+ca+=(4ab+2bc+2ca+c2)≤. (2)因为≥,≥,≥, 所以++≥++=a+b+c≥2a+2b+2c=2,当且仅当a=b=c时取等号. 7.(2018·江苏省盐城中学模拟)已知a>b>0,且m=a+. (1)试利用基本不等式,求m的最小值t; (2)若实数x,y,z满足x2+4y2+z2=t,求证:|x+2y+z|≤3. (1)解 由三个数的基本不等式得 m=(a-b)+b+ ≥3=3 (当且仅当a-b=b=,即b=1,a=2时取“=”),故有t=3. (2)证明 ∵x2+4y2+z2=3,由柯西不等式得 [x2+(2y)2+z2](12+12+12)≥(x+2y+z)2 (当且仅当==时取“=”), 整理得(x+2y+z)2≤9,即|x+2y+z|≤3. 8.已知函数f(x)=2|x-2|+3|x+3|,若函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足4a+25b=m,求+的最小值,并求出此时a,b的值. 解 依题意,f(x)= 当x=-3时,函数f(x)有最小值10, 故4a+25b=10, 故+=(4a+25b) =≥, 当且仅当=时等号成立,此时a=,b=. 9.已知a,b,c为正实数,且a+b+c=2. (1)求证:ab+bc+ac≤; (2)若a,b,c都小于1,求a2+b2+c2的取值范围. (1)证明 ∵a+b+c=2, ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4, ∴2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8, ∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6bc+6ac,当且仅当a=b=c时取等号,∴ab+bc+ac≤. (2)解 由题意可知,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4, ∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2),当且仅当a=b=c时取等号,∴a2+b2+c2≥. ∵0a2.同理b>b2,c>c2. ∴a2+b2+c21,①当x<0时,≤x<0; ②当0≤x≤1时,得x+1-x≤m,0≤x≤1; ③当x>1时,得2x-1≤m,1查看更多