2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2节两直线的位置关系教学案含解析新人教A版

2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2节两直线的位置关系教学案含解析新人教A版

第2节　两直线的位置关系 考试要求　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.‎ ‎(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.‎ ‎2.两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.‎ 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；‎ 平行⇔方程组无解；‎ 重合⇔方程组有无数个解.‎ ‎3.距离公式 ‎(1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.‎ 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.‎ ‎(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎(3)两条平行线间的距离公式 - 16 -‎ 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ ‎4.对称问题 ‎(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).‎ ‎(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.两直线平行的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).‎ ‎2.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.‎ ‎3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 ‎(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.‎ ‎(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.(　　)‎ ‎(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　　)‎ 解析　(1)两直线l1，l2有可能重合.‎ ‎(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(老教材必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)‎ - 16 -‎ A. B. C.7 D. 解析　由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.‎ 答案　D ‎3.(老教材必修2P110B1改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.‎ 解析　由得 ‎∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，‎ 即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.‎ 答案　－9‎ ‎4.(2019·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　　)‎ A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3‎ 解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.‎ 答案　C ‎5.(2020·南昌重点中学联考)已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________.‎ 解析　由题意可知圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，由已知得直线l2的斜率k＝－，所以直线l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.‎ 答案　x＋2y－3＝0‎ ‎6.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________.‎ 解析　法一　由题意可设P(x0>0)，‎ 则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.‎ - 16 -‎ 故所求最小值是4.‎ 法二　设P(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0>0得x0＝，∴P(，3)，曲线y＝x＋(x>0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.‎ 答案　4‎ 考点一　两直线的平行与垂直 ‎【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)(2020·西安模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋3y－1＝0垂直，则cos的值为(　　)‎ A. B. C.－ D. 解析　(1)由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件.‎ ‎(2)∵直线x＋3y－1＝0的斜率为－，∴直线l的斜率k＝3，∴tan α＝3，∴cos＝cos＝－sin 2α＝－×2sin αcos α＝－＝－＝－＝－.‎ 答案　(1)C　(2)C 规律方法　1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.‎ ‎2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.‎ ‎【训练1】 (1)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)‎ - 16 -‎ A.－2 B.－4 C.－6 D.－8‎ ‎(2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)由已知得：×＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.‎ ‎(2)由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.‎ 答案　(1)B　(2)D 考点二　两直线的交点与距离问题 ‎【例2】 (1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________.‎ ‎(2)(2020·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.‎ 解析　(1)先解方程组 得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，‎ 再由l3的斜率求出l的斜率为－，‎ 于是由直线的点斜式方程求出l：‎ y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.‎ ‎(2)由题意得，点P到直线的距离为＝.‎ 又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，‎ 所以a的取值范围是[0，10].‎ 答案　(1)5x＋3y－1＝0　(2)[0，10]‎ - 16 -‎ 规律方法　1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.‎ ‎2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.‎ ‎【训练2】 (1)(2020·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　　)‎ A.－ B. C.－ D. ‎(2)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(3)(一题多解)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.‎ 解析　(1)由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－.‎ ‎(2)因为＝≠，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.‎ ‎(3)法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.‎ 法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4).‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ - 16 -‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 答案　(1)A　(2)C　(3)x＋3y－5＝0或x＝－1‎ 考点三　对称问题　多维探究 角度1　点关于点对称 ‎【例3－1】 直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程是________________.‎ 解析　设所求直线上任一点(x，y)，则关于M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.‎ 答案　x－2y＋11＝0‎ 规律方法　1.点关于点的对称：点P(x，y)关于O(a，b)对称的点P′(x′，y′)满足 ‎2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.‎ 角度2　点关于线对称 ‎【例3－2】 如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A.3 B.6‎ C.2 D.2 解析　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.‎ 答案　C 规律方法　1.若点A(a，b)与点B(m，n)关于直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称，则直线Ax - 16 -‎ ‎＋By＋C＝0垂直平分线段AB，即有 ‎2.几个常用结论 ‎(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).‎ ‎(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).‎ ‎(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).‎ 角度3　线关于线对称 ‎【例3－3】 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________________.‎ 解析　设所求直线上任意一点P(x，y)，‎ 则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，‎ 由得 由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，‎ ‎∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.‎ 答案　x－2y＋3＝0‎ 规律方法　求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：‎ ‎(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.‎ ‎(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.‎ ‎【训练3】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)(一题多解)直线l关于点A对称的直线l′的方程.‎ 解　(1)设A′(x，y)，则 - 16 -‎ 解得即A′.‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.设对称点为M′(a，b)，‎ 则 解得即M′.‎ 设m与l的交点为N，则由 得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，‎ ‎∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ ‎(3)法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，‎ 如P(1，1)，N(4，3)，‎ 则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.‎ 易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.‎ 法二　设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，‎ ‎∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，‎ 即2x－3y－9＝0.‎ 数学抽象——活用直线系方程 ‎1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.‎ ‎2.直线系方程的常见类型 ‎(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；‎ - 16 -‎ ‎(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；‎ ‎(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；‎ ‎(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).‎ 类型1　相交直线系方程 ‎【例1】 (一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.‎ 解　法一　解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝，所以直线l的斜率k＝－，方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.‎ 法二　设所求直线l的方程为：4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.‎ 法三　设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.‎ 类型2　平行直线系方程 ‎【例2】 已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1与x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.‎ 解　设直线l1的方程为：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝，依照题意有：×|－c|×＝8，c＝±4.所以l1的方程是：x－3y±4＝0.‎ ‎【例3】 (一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.‎ 解　法一　设存在直线l：＋＝1，则a＋b＝1和－＝组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.‎ 故l的方程为：－＝1，即3x－4y－12＝0.‎ 法二　根据平行直线系方程可设直线l为：3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－，，由－＋＝1，知c＝－12.故直线l的方程为：3x－4y－12＝0.‎ 类型3　垂直直线系方程 - 16 -‎ ‎【例4】 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.‎ 解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，‎ 所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，‎ 即所求直线方程为x－2y＝0.‎ 类型4　直线系方程的应用 ‎【例5】 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.‎ 解　设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，‎ 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，‎ 由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得 ‎＝，‎ 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝，‎ 所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.‎ A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)‎ A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 解析　直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.‎ 答案　C ‎2.(2020·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)‎ A.1 B.2 C. D.2 解析　圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y - 16 -‎ ‎＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.‎ 答案　C ‎3.(2019·高安期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　)‎ A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0‎ C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0‎ 解析　因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.‎ 答案　A ‎4.设a∈R，则“a＝1”是“直线ax－y＋1＝0与直线x－ay－1＝0平行”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当a＝1时，两直线分别为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，满足两直线平行.当直线ax－y＋1＝0与直线x－ay－1＝0平行时，若a＝0，两直线分别为－y＋1＝0和x－1＝0，不满足两直线平行，所以a≠0.故＝≠，解得a2＝1，且a≠－1，所以a＝1.即“a＝1”是“直线ax－y＋1＝0与直线x－ay－1＝0平行”的充要条件.故选C.‎ 答案　C ‎5.点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)‎ A.(1，2) B.(2，1)‎ C.(1，2)或(2，－1) D.(2，1)或(－2，1)‎ 解析　设P(x0，y0)，则 解得或 所以点P的坐标为(1，2)或(2，－1).故选C.‎ 答案　C ‎6.(2020·河北五校联盟质检)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)‎ - 16 -‎ A. B. C. D. 解析　因为a＝0或a＝2时，l1与l2均不平行，所以a≠0且a≠2.因为l1∥l2，所以＝≠，所以 解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝.故选B.‎ 答案　B ‎7.(2020·豫南豫北精英对抗赛)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　)‎ A.2x＋3y－12＝0 B.2x＋3y＋12＝0‎ C.2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0‎ 解析　由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，‎ 令可得x＝－3，y＝1，∴N(－3，1).‎ 设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6).‎ 则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去).‎ ‎∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0，故选B.‎ 答案　B ‎8.已知直线l1：mx－y＋3＝0与l2关于直线y＝x对称，l2与l3：y＝－x＋垂直，则实数m＝(　　)‎ A.－ B. C.－2 D.2‎ 解析　由于l2与l3：y＝－x＋垂直，故l2的斜率是2.设l2：2x－y＋n＝0，因为l1：mx－y＋3＝0过定点(0，3)，l2和x轴的交点为，l1：mx－y＋3＝0与l2关于直线y＝x对称，所以＝－1，则n＝－6.易知l2：2x－y－6＝0和直线y＝x的交点为(6，6)，该点也在l1：‎ - 16 -‎ mx－y＋3＝0上，所以6m－6＋3＝0，解得m＝.‎ 答案　B 二、填空题 ‎9.点(－1，－2)关于直线x＋y＝1对称的点的坐标是______.‎ 解析　设点(－1，－2)关于直线x＋y＝1对称的点的坐标是(m，n)，则所以故所求坐标为(3，2).‎ 答案　(3，2)‎ ‎10.(2020·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.‎ 解析　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，由解得又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.‎ 答案　6x－y－6＝0‎ ‎11.如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为________________.‎ 解析　因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.‎ 答案　x－y＋1＝0‎ ‎12.在平面直角坐标系中，已知点P(－2，2)，对于任意不全为零的实数a，b，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0，若点P到直线l的距离为d，则实数d的取值范围是________.‎ 解析　易知直线l经过定点(1，－2)，则点P到直线l的距离d的最大值为＝5，最小值为0，所以d的取值范围是[0，5].‎ 答案　[0，5]‎ B级　能力提升 - 16 -‎ ‎13.设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　)‎ A.y＝3x＋5 B.y＝2x＋3‎ C.y＝2x＋5 D.y＝－＋ 解析　A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.‎ 答案　C ‎14.(2019·洛阳期末)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)‎ A.过点P且与l垂直的直线 B.过点P且与l平行的直线 C.不过点P且与l垂直的直线 D.不过点P且与l平行的直线 解析　因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A，B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C.故选D.‎ 答案　D ‎15.(2020·合肥质检)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________.‎ 解析　当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－，此时，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.‎ 答案　x＋2y－3＝0‎ ‎16.(一题多解)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________.‎ 解析　法一　两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0；‎ 当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.‎ - 16 -‎ 由点线距离公式得d＝＝3，解得k＝，故所求直线方程为4x－3y－5＝0.‎ 综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.‎ 法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ 所以＝3，解得λ＝2或λ＝.‎ 所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ 答案　x＝2或4x－3y－5＝0‎ C级　创新猜想 ‎17.(多填题)在平面直角坐标系内，已知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为________，平面内到A，B，C，D的距离之和最小的点的坐标是________.‎ 解析　设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|＝2，当且仅当A，M，C共线，且M在A，C之间时取等号，同理，|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线，且M在B，D之间时取等号，连接AC，BD交于一点M，此时|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求.因为kAC＝＝2，所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①‎ 又因为kBD＝＝－1，所以直线BD的方程为 y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②‎ 联立①②得解得所以M(2，4).‎ 答案　2　(2，4)‎ - 16 -‎