【数学】2020届一轮复习人教A版含参数的常用逻辑问题学案

【数学】2020届一轮复习人教A版含参数的常用逻辑问题学案

问题02 含参数的常用逻辑问题 一、考情分析 集合是高考数学考查热点内容,难度中等或中等以下.判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定,充分条件与必要条件的判断,是考查的主要形式,常与其他知识交汇考查,其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围,是本节中的一个难点．‎ 二、经验分享 ‎(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；‎ ‎(2)注意下面两种叙述方式的区别：①p是q的充分不必要条件；②p的充分不必要条件是q.‎ ‎(3)充分条件、必要条件的三种判定方法 ‎①定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题．‎ ‎②集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．‎ ‎③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题．‎ ‎(4)充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．‎ ‎②要注意区间端点值的检验．‎ ‎(5)“p∨q”“p∧q”“ p”等形式命题真假的判断步骤 ‎①确定命题的构成形式；‎ ‎②判断其中命题p、q的真假；‎ ‎③确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．‎ ‎(6)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x＝x0,使p(x0)成立．‎ ‎(7)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．‎ ‎②对原命题的结论进行否定．‎ ‎(8)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决．‎ 三、知识拓展 ‎1．从集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 ‎(1)若AB,则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若AB,则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若A＝B,则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；‎ ‎2．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q：p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真；‎ ‎(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假；‎ ‎(3)p：与p的真假相反,即一真一假,真假相反．.‎ ‎3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,“否命题”是对原命题既否定其条件,又否定其结论,而“命题的否定”是否定原命题,只否定命题的结论．‎ 四、题型分析 ‎(一)与充分条件、必要条件有关的参数问题 充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．‎ ‎【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合,集合.已知命题,命题,且命题是命题的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎【分析】先化简给定集合,再利用是的必要不充分条件 解题 ‎【解析】由已知得,. ‎ ‎∵是的必要不充分条件,∴.则有.∴,故的取值范围为.‎ ‎【点评】‎ 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎【小试牛刀】【2019届河北辛集8月月考】已知f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x||f（x+t）﹣1|＜2}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（　　）‎ A． t≤0 B． t≥0 C． t≤﹣3 D． t≥﹣3‎ ‎【答案】C ‎(二)与逻辑联接词有关的参数问题 逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围．‎ ‎【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数在区间上单调递增；命题函数的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“”为真命题,“”也为真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【分析】先确定 真值相同．再根据,同真时或同假确定实数的取值范围.‎ ‎【解析】若为真命题, 在上恒成立, ,‎ ‎∵,∴．若为真命题,则当时,,,∵,当且仅当时取等号,∴．‎ 由已知可得若为真命题,则也为真命题；若为假命题,则也为假命题,当,同真时,,同假时无解,故．‎ ‎【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围 ‎【小试牛刀】【2019届一轮复习讲练测】已知，命题函数的值域为，命题 函数在区间内单调递增．若是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎(三)与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．‎ ‎【例3】若命题“使得”为假命题,则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【分析】命题“使得”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．‎ ‎【解析】由命题“使得”为假命题,则命题“使得”为真命题．所以．故选（C）．‎ ‎【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．‎ ‎【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知,设,成立；,成立,如果“”为真,“”为假,求的取值范围. ‎ ‎（四）与全称量词、特称量词有关的参数问题 全称量词“”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．‎ ‎【例3】已知命题：“”,命题：“”．‎ 若命题“且”是真命题,则实数的取值范围为（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【分析】若命题“且”是真命题,则命题都是真命题,首先将命题对应的参数范围求出来,求交集即可．‎ ‎【点评】命题是恒成立问题,命题是有解问题．‎ ‎【小试牛刀】【2018云南省红河州统一检测】若命题“，”为假命题，则的取值范（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，为假命题，等价于 ‎，为真命题 不妨设： ‎ ‎ ‎ 由，知，从而 于是，即，故选 五、迁移运用 ‎1．【山东省日照市2018届高三5月校际联考】已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是 A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，‎ 若命题p为真命题，则：，解得：，‎ 若命题q为真命题，则：，即，‎ 综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.‎ 本题选择C选项.‎ ‎2．【山东省乐陵2019届高三一轮检测】已知P：，q：，且q是p的充分条件，则a的取值范围为　　‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】B ‎ ‎ ‎3．【河北省武邑中学高三第四次模拟】设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对应的集合为，对应的集合为，‎ 故或，解得或，故选D．‎ ‎4．【峨眉山市第七教育发展联盟2018届高考适应性考试】己知命题： “关于的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是( ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由命题有实数根，则 则 所以非时 是非为真命题的充分不必要条件，所以 ‎ ‎ ，则m的取值范围为，所以选A ‎5．【衡水金卷.2018年高三调研卷模拟二】已知，命题函数的值域为，命题 函数在区间内单调递增.若是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎6．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】记命题为“点满足（）”，记命题为“满足”，若是的充分不必要条件，则实数的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意可知，以原点为圆心，为半径的圆完全在由不等式组 所围成的区域内，由于原点到直线的距离为，所以，实数的最大值为 ‎7．【湖南省澧县一中2018届高三一轮复习第一次检测】已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===‎ ‎，，所以m<0，故答案为。‎ ‎8．【河南省安阳市35中2018届高三核心押题】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎9．【2018福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体联考】已知命题：，命题：幂函数在是减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的取值范围是_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对命题，因为，‎ 所以，解得；‎ 命题，因为幂函数在是减函数，‎ 所以，解得；‎ 因为“”为真命题，“”为假命题，‎ 所以一真一假，‎ 若真假，可得且或，解得；‎ 若假真，可得 ，且，解得；‎ 实数的取值范围是，‎ 故答案为.‎ ‎10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期开学考试】已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎11．【2018上海5月高考模拟】集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】，当时，，‎ 因为“”是“ ”的充分条件，所以，故.填.‎ ‎12．已知命题p：，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题p：，解得－2≤x≤10，由q是p的必要不充分条件知，{x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，‎ ‎∴ 或，∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．‎ ‎13．设命题；命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题等价于，解得，另： 是的必要而不充分条件等价于是的必要而不充分条件，即可得，解得，故答案为．‎ ‎14．【2018甘肃酒泉一诊】已知命题:函数为定义在上的单调递减函数,实数满足不等式.命题:当时,方程有解.求使“且”为真命题的实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎15．【2018江西新干县第一次联考】设命题p：为R上的减函数，命题q：函数命题q：在   上恒成立．若p∨q 为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．‎ 若p真，由y＝cx为减函数，得0

查看更多