【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4-5-1绝对值不等式作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4-5-1绝对值不等式作业

课时跟踪检测（七十八） 绝对值不等式 ‎1.(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.‎ ‎(1)若函数f(x)的值域为[2，＋∞)，求实数a的值；‎ ‎(2)若f(2－a)≥f(2)，求实数a的取值范围.‎ 解：(1)∵|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－1.‎ ‎(2)由f(2－a)≥f(2)，得3|a－1|－|a－2|≥1，‎ 则或 或解得a≤0或≤a≤2或a＞2，‎ 综上，实数a的取值范围是(－∞，0]∪.‎ ‎2.已知f(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＜2的解集；‎ ‎(2)若存在x∈R，使得f(x)＞|3a－2|成立，求实数a的取值范围.‎ 解：(1)不等式f(x)＜2等价于 或或 解得x＜－ 或－≤x＜0，‎ ‎∴不等式f(x)＜2的解集是(－∞，0).‎ ‎(2)∵f(x)≤|(2x＋3)－(2x－1)|＝4，∴f(x)max＝4，‎ ‎∴|3a－2|＜4，解得－＜a＜2，‎ ‎∴实数a的取值范围是.‎ ‎3.(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.‎ ‎(1)当k＝1时，若不等式f(x)＜4的解集为{x|x1＜x＜x2}，求x1＋x2的值；‎ ‎(2)当x∈R时，若关于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值.‎ 解：(1)由题意，得|x－2|＋|x＋1|＜4.‎ 当x＞2时，原不等式可化为2x＜5，∴2＜x＜；‎ 当x＜－1时，原不等式可化为－2x＜3，∴－＜x＜－1；‎ 当－1≤x≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x≤2.‎ 综上，原不等式的解集为，‎ 即x1＝－，x2＝.‎ ‎∴x1＋x2＝1.‎ ‎(2)由题意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k在x∈R上恒成立，‎ 则当x＝2时，不等式3k≥k成立，∴k≥0.‎ ‎①当x≤－2或x≥0时，‎ ‎∵|x＋1|≥1，∴不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立.‎ ‎②当－2＜x≤－1时，‎ 原不等式可化为2－x－kx－k≥k，‎ 可得k≤＝－1＋，∴k≤3.‎ ‎③当－1＜x＜0时，‎ 原不等式可化为2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－，‎ ‎∴k＜3.‎ 综上，可得0≤k≤3，即k的最大值为3.‎ ‎4.(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围.‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，‎ 即f(x)＝ 故不等式f(x)＞1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立，‎ 等价于当x∈(0,1)时|ax－1|＜1成立.‎ 若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1，不满足题意；‎ 若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，‎ 所以≥1，故0＜a≤2.‎ 综上，a的取值范围为(0,2].‎ ‎5.(2018·甘肃第二次诊断检测)设函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＋g(x)＜2；‎ ‎(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x－2y＋1|≤3.‎ 解：(1)解不等式|x－3|＋|x－2|＜2.‎ ‎①当x＜2时，原不等式可化为3－x＋2－x＜2，可得x＞，所以＜x＜2.‎ ‎②当2≤x≤3时，原不等式可化为3－x＋x－2＜2，可得1＜2，所以2≤x≤3.‎ ‎③当x＞3时，原不等式可化为x－3＋x－2＜2，可得x＜，所以3＜x＜.‎ 综上，不等式f(x)＋g(x)＜2的解集为.‎ ‎(2)证明：|x－2y＋1|＝|(x－3)－2(y－2)|≤|x－3|＋2|y－2|≤1＋2＝3，‎ 当且仅当或时等号成立.‎ ‎6.设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤1，求a的取值范围.‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ 当x＜－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；‎ 当－1≤x≤2时，显然满足题意；‎ 当x＞2时，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，‎ 故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.‎ 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.‎ 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.‎ 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.‎ 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).‎ ‎7.(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.‎ 解：(1)f(x)＝‎ y＝f(x)的图象如图所示.‎ ‎(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.‎ ‎8.设函数f(x)＝＋|x－2m|(m＞0).‎ ‎(1)求证：f(x)≥8恒成立；‎ ‎(2)求使得不等式f(1)＞10成立的实数m的取值范围.‎ 解：(1)证明：由绝对值三角不等式的性质及m＞0，‎ 得f(x)＝＋|x－2m|≥ ‎＝＝＋2m≥2 ＝8，‎ 当且仅当＝2m，即m＝2时取等号.‎ 所以f(x)≥8恒成立.‎ ‎(2)f(1)＝＋|1－2m|(m＞0)，‎ 当 1－2m＜0，‎ 即m＞时，f(1)＝1＋－(1－2m)＝＋2m，‎ 由f(1)＞10，得＋2m＞10，化简得m2－5m＋4＞0，‎ 解得m＜1或m＞4，‎ 所以＜m＜1或m＞4；‎ 当1－2m≥0，‎ 即0＜m≤时，f(1)＝1＋＋(1－2m)＝2＋－2m.‎ 由f(1)＞10，得2＋－2m＞10，此式在0＜m≤时恒成立.‎ 综上，当f(1)＞10时，实数m的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞).‎