2018-2019学年山西省高二上学期期末测评考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年山西省高二上学期期末测评考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省高二上学期期末测评考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】判断命题的真假，然后根据“且”命题、“或”命题的真假判断原则，对四个选项逐一判断，选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵命题为真，命题也为真，∴为真,故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合问题的真假判断. “且”命题的真假判断原则是见假就假，要真全真，“或”命题的真假判断原则是见真则真，要假全假.‎ ‎2．与直线：垂直且过点的直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出直线的斜率，然后求出与其垂直的直线的斜率，利用点斜式可得直线的方程，化为一般式，最后选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线：的斜率为，∴与其垂直的直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两直线互相垂直时，它们的斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用.‎ ‎3．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定.‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定的原则，命题“，”的否定是，，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全称命题的否定，改量词，否定结论是关键.‎ ‎4．下列命题中，假命题的是（ ）‎ A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.‎ B．平行于同一平面的两条直线一定平行.‎ C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.‎ D．若直线不平行于平面，且不在平面内，则在平面内不存在与平行的直线.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用线面平行的定义、性质定理，面面垂直性质定理，四个选项逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 选项A: 由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交， 则必与另一个平面相交，所以与相交；‎ 选项B:平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面；‎ 选项C:由面面垂直的判定定理可知：本命题是真命题；‎ 选项D:根据线面平行的判定定理可知：本命题是真命题，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题依托线面的平行的判定与性质、面面垂直的判定，考查了判断命题真假的问题，考查了反证法.‎ ‎5．已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.‎ 因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，‎ ‎ 即，解得或，故选D.‎ ‎6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“是锐角三角形”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】判断“”能否推出“是锐角三角形”，以及判断“是锐角三角形”能否推出“”.‎ ‎【详解】‎ ‎， ，，是锐角，但不能推出其它角也是锐角，所以不能推出“是锐角三角形”，但当是锐角三角形时，三个角都是锐角，一定有成立，故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查必要不充分条件的判断和判断三角形形状，意在考查基本概念和基本变形，属于基础题型.‎ ‎7．在平行六面体中，若，则（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在平行六面体中，有，再根据，所以有，有已知可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵在平行六面体中，，‎ ‎ ，，‎ ‎ ‎ ‎∴，即.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量，意在考查数形结合和转化与化归，属于简单题型.‎ ‎8．曲线与曲线的（ ）‎ A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 ‎【答案】C ‎【解析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力，考查了椭圆与双曲线方程中，之间的关系.‎ ‎9．若双曲线的一个顶点在抛物线 的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出抛物线的准线，这样可以求出的值，进而可以求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ ‎∵抛物线的准线方程为，∴，则离心率，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.‎ ‎10．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于 A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．‎ ‎11．设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，可求出．得到.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点为（0，2）， ∴椭圆的焦点在y轴上， ∴c=2， 由离心率 e=，可得a=4，∴b2=a2-c2=，‎ 故.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．‎ ‎12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM//平面A1DE,则动点M 的轨迹长度为（ ）‎ A． B．π C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，则F为B1C1的中点．分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，可证出平面A1DE∥平面ANO，从而得到NO是平面BCC1B1内的直线．由此得到点M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段ON．‎ ‎【详解】‎ 解：设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，‎ 则F为B1C1的中点．‎ 分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，‎ 则∵A1F∥AO，AN∥DE，A1F，DE⊂平面A1DE，‎ AO，AN⊂平面ANO，‎ ‎∴A1F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO，‎ ‎∵A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，‎ ‎∴平面A1DE∥平面ANO，‎ 所以NO∥平面A1DE，‎ ‎∴直线NO⊂平面A1DE，‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NO．‎ ‎∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足NO∥平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养．‎ 二、填空题 ‎13．命题“若，则或”的逆否命题为__________．‎ ‎【答案】“若且，则”.‎ ‎【解析】若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”‎ ‎【详解】‎ 因为若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则.”‎ 所以命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了写出原命题的逆否命题，关键是要知道原命题与逆否命题的关系.‎ ‎14．已知向量，若，则______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意可知，，可得到的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ，解得：，‎ ‎.‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础知识的考查，基础题型.‎ ‎15．已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程___________________________‎ ‎【答案】x2＋y2＝16‎ ‎【解析】设，由化简即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设，因为到定点的距离等于到 的距离的2倍，‎ 所以，‎ 化简可得，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直接法求轨迹方程、两点间的距离公式，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求的轨迹方程的.‎ ‎16．已知点P是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】运用正弦定理和椭圆的基本性质来解题 ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 在求离心率的题目时结合题意，运用余弦定理解三角形，得到边的数量关系，然后求得离心率，本题较为基础。‎ 三、解答题 ‎17．已知：对任意的实数，函数（为常数）有意义，：存在实数，使方程表示双曲线.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】求出函数的定义域；方程表示双曲线，可以求出的取值范围，进而可以求出是成立时，的取值范围，根据已知是的充分不必要条件，可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 由知表示双曲线，则，即或，‎ ‎∴：.‎ 又∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知充分不必要性，求参问题，关键是对充分不必要条件的理解.‎ ‎18．已知圆：.‎ ‎（1）若直线：与圆相切，求的值；‎ ‎（2）若圆：与圆相外切，求的值.‎ ‎【答案】(1) 或.(2) .‎ ‎【解析】（1）根据圆的一般方程，化为标准方程形式，求出圆心坐标和半径，利用点到圆切线的距离等于半径，求出的值；‎ ‎（2）根据两圆相外切时，两圆半径和等于两圆的圆心距，求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由圆的方程为，即，∴圆心，半径为.‎ 又∵直线：与圆相切，∴圆心到直线的距离，即，‎ 解得或.‎ ‎（2）由题得，圆心，因为圆与圆相外切， 所以，又∵，∴解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的切线性质、圆与圆相外切的性质，考查了运算能力.‎ ‎19．如图，在正三棱柱中，，点Q，R分别为BC，的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）要证明面面平行，需证明线线平行，根据题意转化为证明，；‎ ‎（2）由（1）可知三条线两两垂直，以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵，平面平面，∴平面.‎ 又∵平面，平面，∴平面.‎ ‎∵，平面平面.‎ ‎（2）解：，平面，‎ 以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量为，由得 令，∴.‎ 又∵，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ ‎∴.‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明面面平行和空间坐标法求线面角，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，证明线面平行和面面平行时，线线平行是基础，证明时或做辅助线时，需构造三角形中位线或是平行四边形，都是证明线线平行常用方法.‎ ‎20．已知抛物线：.‎ ‎（1）若直线经过抛物线的焦点，求抛物线的准线方程；‎ ‎（2）若斜率为-1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，当时，求抛物线的方程.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】（1）由抛物线的焦点的位置，可以判断出直线与横轴的交点坐标就是抛物线的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；‎ ‎（2）写出斜率为-1经过抛物线的焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出，结合已知，求出的值，写出抛物线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵直线经过抛物线的焦点，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为，‎ ‎∴抛物线的准线方程为.‎ ‎（2）设过抛物线的焦点且斜率为-1的直线方程为，且直线与交于，，‎ 由化简得，‎ ‎∴.‎ ‎∵，解得，‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.‎ ‎21．如图，在三棱锥中，，O为AC的中点.‎ ‎（1）证明：平面ABC；‎ ‎（2）若点M在棱BC上，且，求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）要证明线面垂直，需证明垂直于平面内的两条相交直线，根据条件转化为证明和；‎ ‎（2）由（1）知，三条线两两垂直，所以以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求二面角.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接OB.∵为AC的中点，∴，∴.‎ 又∵，∴，即.‎ 在中，.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴平面ABC.‎ ‎（2）∵，平面ABC ‎∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则.‎ 设，又∵，∴.‎ 设平面PAM的法向量为，‎ 由得 令，∴，‎ 又∵平面PAC的法向量为，‎ ‎∴.‎ 故所求二面角的大小为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线面垂直和空间坐标法求二面角，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.‎ ‎22．已知椭圆：，该椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设是圆上任意一点，由引椭圆的两条切线，，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）由椭圆经过点，可以求出的值，由离心率为，可知的关系，结合之间的，可以求出的值，这样就求出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设，且.点引椭圆的切线方程可设为，‎ 与椭圆方程联立，让根的判断式为零，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，可以证明出两条切线斜率的积为定值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，解得，.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，且.‎ 由题意知，过点引椭圆的切线方程可设为，‎ 联立化简得.‎ ‎∵直线与椭圆相切，‎ ‎∴，‎ 化简得.‎ ‎∴.‎ ‎∴两条切线斜率的积为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的标准方程，椭圆的切线方程，以及利用方程的根与系数关系证明两条切线斜率乘积为定值问题.‎