高中数学第三章指数函数和对数函数第3节指数函数基础知识素材北师大版必修11

高中数学第三章指数函数和对数函数第3节指数函数基础知识素材北师大版必修11

§3 指数函数 1．理解指数函数的概念． 2．掌握指数函数的图像和性质． 3．利用指数函数的图像和性质解决简单问题． 1．指数函数的定义 函数 y＝ax (a＞0，a≠1)叫作指数函数，其中____是自变量． 指数函数 y＝ax (a＞0，a≠1)解析式的结构特征： ①底数：大于零且不等于 1 的常数； ②指数：自变量 x； ③系数：1. 指数函数解析式的结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可． 【做一做 1】 下列函数是指数函数的是( )． A．y＝(－3) x B．y＝－3 x C．y＝3 2x D．y＝2 x＋1 2．指数函数的图像和性质 结合函数 y＝2 x 和 y＝ 1 2 x 的图像和性质，得出指数函数的图像和性质，如下表所示： a＞1 0＜a＜1 图像 性质 (1)定义域：___________ (1)定义域：___________ (2)值域：________________ (2)值域：___________ (3)过定点________________， 即 x＝0 时，y＝1 (3)过定点___________， 即 x＝0 时，y＝1 (4)当 x＞0 时，y＞1； 当 x＜0 时，0＜y＜1 (4)当 x＞0 时，0＜y＜1； 当 x＜0 时，y＞1 (5)是 R 上的______ (5)是 R 上的______ 【做一做 2－1】 函数 y＝15 x 的大致图像是( )． 【做一做 2－2】 函数 y＝ 1 7 x 的定义域和值域分别是( )． A．R，R B．(0，＋∞)，(0，＋∞) C．(0，＋∞)，R D．R，(0，＋∞) 3．指数函数的应用 指数函数反映了实数与正实数之间的一种__________关系． 指数幂 ax 和 1 的比较： 当 x＜0,0＜a＜1 或 x＞0，a＞1 时，ax ＞1，即指数 x 和 0 比较，底数 a 和 1 比较，当 不等号的方向相同．时，ax 大．于 1，简称为“同大．．”． 当 x＜0，a＞1 或 x＞0,0＜a＜1 时，0＜ax ＜1，即指数 x和 0比较，底数 a 和 1 比较， 当不等号的方向相反(异．)时，ax 小．于 1，简称为“异小．．”． 因此简称为“同大异小．．．．”． 【做一做 3】 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.8 2.2 __________1.8 3 ； (2)0.7 －0.3 __________0.7 －0.4 ； (3)1.9 0.4 __________0.9 2.4 . 答案：1．x 【做一做 1】 C ∵3 2x ＝9 x ，∴y＝3 2x ＝9 x 是指数函数． 2．(1)R (1)R (2)(0，＋∞) (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (3)(0,1) (5)增函数 (5)减函数 【做一做 2－1】 B 【做一做 2－2】 D 3．一一对应 【做一做 3】 (1)＜ (2)＜ (3)＞ 指数函数 y＝ax (a＞0，a≠1)中底数 a 对函数图像有什么影响？ 剖析：设 a＞b＞1＞c＞d＞0，则 y＝ax ，y＝bx ，y＝cx ，y＝dx 的图像如图所示，从图中 可以看出：在 y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在 y 轴左侧，图像从下到上相 应的底数由大变小，即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 或者说在第一象限内，指数函数的图像，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近 y 轴． 题型一 指数函数的定义 【例 1】 指出下列函数中哪些是指数函数． ①y＝6 x ；②y＝x4 ；③y＝－4 x ；④y＝(－4) x ；⑤y＝2·8 x ；⑥y＝e x ；⑦y＝4x2 ；⑧y＝(2a －1) x a> 1 2 ，a≠1 . 分析：根据指数函数的定义进行判断． 题型二 求函数的定义域和值域 【例 2】 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 1 42 x ； (2)y＝ 221 2 x x       ； (3)y＝ 3 25 x . 分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为 0， 根式问题要使被开方数有意义，结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域． 反思：求与指数函数有关的函数定义域和值域时，要充分考虑指数函数本身的要求，并 利用好指数函数的单调性．对于解析式中某些较复杂的式子，往往采用换元法求解，这样可 以使问题变得简洁，避免出错． 题型三 比较大小 【例 3】 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.7 2.5, 1.7 3 ； (2)2.3 －0.28, 0.67 －3.1 . 分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量 1 比较大小． 反思：比较指数式大小的方法： (1)单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大 小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与 1 的大小关系；最后根据指数函数的图像和性质来判断． (2)中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值 1 进行比较．利用口 诀“同大异小”，判断指数幂和 1的大小． 题型四 指数函数的单调性的应用 【例 4】 设 a 为实数，f(x)＝a－ 2 2 x ＋1 (x∈R)． (1)证明 f(x)在 R 上为增函数； (2)试确定 a 的值，使 f(x)为奇函数． 分析：对于(1)可结合单调性的定义及 y＝2 x 为增函数加以证明．(2)中要使 f(x)是奇函 数，则须满足 f(－x)＝－f(x)． 反思：本题主要考查了单调性和奇偶性的概念及使用方法．在本题(2)中，由于 f(x)为 奇函数且在 x＝0 处有定义，故也可利用 f(0)＝0 来确定 a 的值． 题型五 与指数函数图像有关的问题 【例 5】 (1)将函数 y＝3 x 的图像向左平移一个单位即可得到函数________的图像，将 y＝3 x 的图像向下平移一个单位即可得到函数________的图像； (2)函数 y＝3 x 的图像与 y＝3 －x 的图像关于________对称； (3)函数 y＝3 x 的图像与 y＝－3 x 的图像关于________对称； (4)函数 y＝3 x 的图像与函数 y＝－3 －x 的图像关于________对称． 反思：1.平移规律 分左、右平移和上、下平移两种，遵循“左加右减，上加下减”． 若已知 y＝ax 的图像，把 y＝ax 的图像向左平移 b(b＞0)个单位，则得到 y＝ax＋b 的图像； 把 y＝ax 的图像向右平移 b(b＞0)个单位，则得到 y＝ax－b 的图像；把 y＝ax 的图像向上平移 b(b＞0)个单位，则得到 y＝ax ＋b的图像，向下平移 b(b＞0)个单位，则得到 y＝ax －b的图 像． 2．对称规律 函数 y＝ax 的图像与 y＝a－x 的图像关于 y 轴对称；y＝ax 的图像与 y＝－ax 的图像关于 x 轴对称，函数 y＝ax 的图像与 y＝－a－x 的图像关于坐标原点对称． 题型六 易错辨析 易错点 利用换元法时，忽略新元的范围导致出错． 【例 6】 求函数 y＝ 1 4 x ＋ 1 2 x ＋1 的值域． 错解：令 t＝ 1 2 x ，则原函数可化为 y＝t2 ＋t＋1＝ t＋ 1 2 2 ＋ 3 4 ≥ 3 4 ，即当 t＝－ 1 2 时，ymin ＝ 3 4 ，即原函数的值域是 3 4 ，＋∞ . 错因分析：错解在令 t＝ 1 2 x 后，没有注意新元 t 的范围．∵ 1 2 x ＞0，∴t＞0.忽略新元 的范围导致所求范围扩大． 答案：【例 1】 解：①⑥⑧为指数函数；②不是指数函数，自变量不在指数上；③4 x 的系数是－1；④中底数－4＜0，所以不是指数函数；⑤8 x 的系数是 2；⑦中指数不是自变 量 x，而是 x 的函数 x2 ，故②③④⑤⑦都不是指数函数． 【例 2】 解：(1)要使函数有意义，必须 x－4≠0， ∴x≠4， 故所求函数的定义域为{x∈R|x≠4}． ∵x≠4， 1 x－4 ≠0，∴ 1 42 x ≠1， 故函数的值域为{y|y＞0 且 y≠1}． (2)定义域为 R. ∵2x－x2 ＝－(x－1) 2 ＋1≤1， ∴ 221 2 x x       ≥ 1 2 1 ＝ 1 2 ， 故函数 y＝ 221 2 x x       的值域为{y|y≥ 1 2 }． (3)要使函数有意义，必须且只需 3x－2≥0，即 x≥ 2 3 ， ∴函数的定义域为 2 3 ，＋∞ . 设 t＝ 3x－2，则 t≥0，y＝5 t ， ∴y≥5 0 ＝1，故所求函数的值域为[1，＋∞)． 【例 3】 解：(1)(单调性法)由于 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是 1.7， 故构造函数 y＝1.7 x ， 则函数 y＝1.7 x 在 R 上是增函数． 又 2.5＜3，所以 1.7 2.5 ＜1.7 3 . (2)(中间量法)由指数函数的性质，知 2．3 －0.28 ＜2.3 0 ＝1,0.67 －3.1 ＞0.67 0 ＝1， 所以 2.3 －0.28 ＜0.67 －3.1 . 【例 4】 解：(1)证明：设 x1，x2∈R，x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝ a－ 2 2x1＋1 － a－ 2 2x2＋1 ＝ 1 2 1 2 2(2 2 ) (2 1)(2 1) x x x x    . 由于指数函数 y＝2 x 在 R 上为增函数，且 x1＜x2， 所以 2 x1＜2 x2，即 2 x1－2 x2＜0. 又由 2 x ＞0，得 2 x1＋1＞0,2 x2＋1＞0. 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． 故 f(x)在 R 上为增函数． (2)若 f(x)为奇函数，则 f(－x)＝－f(x)， 即 a－ 2 2 －x ＋1 ＝－ a－ 2 2 x ＋1 . 变形得 2a＝ 2 2 －x ＋1 ＋ 2 2 x ＋1 ＝ 2·2 x 2 －x ＋1· 2 x ＋ 2 2 x ＋1 ＝ 2 2 x ＋1 2 x ＋1 ＝2. 解得 a＝1.所以当 a＝1 时，f(x)为奇函数． 【例 5】 (1)y＝3 x＋1 y＝3 x －1 (2)y 轴 (3)x 轴 (4)原点 (1)根据函数图像平移的规律来解决． (2)∵函数 y＝3 x 中用－x代 x，y不变，即得 y＝3 －x ， ∴关于 y 轴对称； (3)∵函数 y＝3 x 中用－y代 y，x不变，即得 y＝－3 x ， ∴关于 x 轴对称． (4)∵函数 y＝3 x 中用－x代 x，用－y代 y，即得 y＝－3 －x ，∴关于原点对称． 【例 6】 正解：令 t＝ 1 2 x ，则 t∈(0，＋∞)，原函数可化为 y＝t2 ＋t＋1＝ t＋ 1 2 2 ＋ 3 4 . 因为函数 y＝ t＋ 1 2 2 ＋ 3 4 在(0，＋∞)上是增加的，所以 y＞1，即原函数的值域是(1，＋∞)． 1 函数 f(x)＝ax 在 R 上是增函数，则实数 a 的取值范围是( )． A．0＜a＜1 B．a＜1 C．a＞1 D．R 2 函数 y＝0.22 x 的大致图像是( )． 3 函数 y＝ 11 3 x       的值域是( )． A．(－∞，0) B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 4 函数 f(x)＝a3－x ＋1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点的坐标是__________． 5 比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8 －0.1, 0.8 －0.2 ； (2)1.7 0.3, 0.9 3.1 ； (3)a1.3 ，a2.5 (a＞0，a≠1)． 答案：1．C 2.B 3.B 4．(3,2) 当 x＝3 时，对于 a＞0且 a≠1 总有 f(3)＝a0 ＋1＝2，即过定点(3,2)． 5．分析：(1)由于底数相同，利用单调性法比较大小；(2)由于底数和指数均不同，用 中间量法比较大小；(3)对底数 a 按与 1 的大小关系分类讨论． 解：(1)由于 0＜0.8＜1，所以指数函数 y＝0.8 x 在 R 上为减函数． 所以 0.8 －0.1 ＜0.8 －0.2 . (2)1.7 0.3 ＞1,0.9 3.1 ＜1，所以 1.7 0.3 ＞0.9 3.1 . (3)当 a＞1时，函数 y＝ax 在 R 上是增函数，此时 a1.3 ＜a2.5 ； 当 0＜a＜1时，函数 y＝ax 在 R 上是减函数，此时 a1.3 ＞a2.5 . 即当 a＞1 时，a1.3 ＜a2.5 ； 当 0＜a＜1时，a1.3 ＞a2.5 .