北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

北京市陈经纶中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

‎2019北京市陈经纶中学高一（上）期中数学 ‎(考试时间100分钟满分120分)‎ 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共70分）两部分 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分，共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知全集，能正确表示集合和关系的图是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两集合的包含关系，可得出正确选项.‎ ‎【详解】集合，，，但.‎ 因此，能正确表示集合、关系图为A选项.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用韦恩图表示集合，关键就是要判断出集合的包含关系，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全称命题的否定可得出原命题的否定.‎ ‎【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题否定的改写，熟悉全称命题的否定是判断的关键，属于基础题.‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数的不等式组，解出即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出各选项中函数定义域，并判断各选项中函数在上的单调性，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数的定义域为，不合乎题意；‎ 对于B选项，函数的定义域为，不合乎题意；‎ 对于C选项，函数在上为减函数；‎ 对于D选项，函数在上为增函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的判断，在判断时，还应求出函数的定义域，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎5.已知、、，，则下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的基本性质、特殊值法对各选项中不等式的正误进行判断.‎ ‎【详解】对于A选项，当且，由不等式的性质可得，A选项中的不等式不正确；‎ 对于B选项，当时，，又，由不等式的性质可得，B选项中的不等式正确；‎ 对于C选项，取，，则，C选项中的不等式不正确；‎ 对于D选项，取，，则，D选项中的不等式不正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质、比较法、函数单调性以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎6.若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用幂函数在区间上的单调性可得出、的大小关系，从而可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】指数函数减函数，所以，，即，‎ 幂函数在区间上为增函数，所以，，即.‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂大小的比较，考查了指数函数与幂函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎7.设且，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意看命题“ab＞‎1”‎与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件定义进行判断．‎ ‎【详解】若“ab＞‎1”‎当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，‎ 若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，‎ 故“ab＞‎1”‎是“”的既不充分也不必要条件，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．‎ ‎8.函数y＝的图象大致是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；‎ 取x＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；‎ 当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C.‎ ‎9.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数的性质可知，函数在上为减函数，再利用偶函数的性质将所求不等式化为，可得出，利用指数函数的单调性得出 ‎，解出即可.‎ ‎【详解】由于函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，‎ 所以，函数在区间上为减函数，‎ 由得，所以，，‎ 即，解得，因此，实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用偶函数的性质和单调性解函数不等式，同时也涉及了指数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.因市场战略储备的需要，某公司月日起，每月日购买了相同金额的某种物资，连续购买了次.由于市场变化，月日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面个折线图中，所有可以反映这种物资每份价格（单位：万元）的变化情况的是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公司每月日用于购买某种物资的金额为万元，分别求出三种图形下月日该公司将此物资全部卖出所得金额，与进行大小比较得出答案.‎ ‎【详解】设公司每月日用于购买某种物资的金额为万元.‎ 图①中四次购买的物资为，月日一次卖出物资得到 ‎，公司盈利，故①正确；‎ 图②中四次购买的物资为，月日一次卖出物资得到，公司亏损，故②错误；‎ 图③中四次购买的物资为，月日一次卖出物资得到，公司盈利，故③正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分，共24分.‎ ‎11.计算__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数的运算法则和对数的换底公式可计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】原式.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂和对数的计算，涉及指数幂的运算律和对数换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.若是过点的幂函数，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为幂函数得出，再将点的坐标代入函数的解析式可得出的值，从而计算出的值.‎ ‎【详解】由于函数是幂函数，则，，‎ 由已知条件得，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用幂函数的解析式和函数值求参数，同时也考查了指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎13.已知，则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由可得.又.当且仅当时取等号.‎ 考点：1.对数的知识.2.基本不等式.‎ ‎14. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，‎ f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.‎ ‎15.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．‎ ‎【答案】 (1). 5 (2). 8‎ ‎【解析】‎ ‎ ．‎ 当且仅当时，等号成立，，‎ 即机器运转年时，年平均利润最大，为万元/年．‎ ‎16.已知函数 ‎（1）的值为_________；‎ ‎（2）当时，方程有且仅有一个实根，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出，可得出，再利用指数幂的运算法则和对数恒等式可求出的值；‎ ‎（2）作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出当直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点时实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），即，.‎ ‎，；‎ ‎（2）作出函数在区间上的图象如下图所示：‎ 当直线过点时，；当直线过点时，.‎ 由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点；‎ 当时，直线与函数在区间上的图象至少有两个交点.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数值的计算，同时也考查了利用方程根的个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数的交点个数问题，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共56分.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）写出定义域，并证明是奇函数；‎ ‎（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明.‎ ‎【答案】（1）定义域为，证明见解析；（2）减函数，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由分式的分母不为零可求出函数的定义域，然后利用奇偶性的定义证明出函数为奇函数；‎ ‎（2）任取，作差，通分并因式分解，然后判断的符号，可证明出函数在区间上为减函数.‎ ‎【详解】（1），，解得，‎ 所以，函数的定义域为，关于原点对称，‎ ‎，因此，函数为奇函数；‎ ‎（2）任取、，且，即，‎ 则，‎ ‎，，，则，且，，，，，即，‎ 因此，函数在区间上为减函数.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了利用定义证明函数的奇偶性与单调性，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎18.已知集合为函数的定义域，集合.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的值；‎ ‎（3）设集合（为自然数集），若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）、.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数的真数大于零可解出集合，将代入集合，并求出集合，然后利用补集的定义求出集合；‎ ‎（2）由，得出，然后分、和三种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可；‎ ‎（3）根据题意可写出符合条件的集合.‎ ‎【详解】（1）解不等式，即，解得，则.‎ 当时，，因此，；‎ ‎（2），.‎ 当时，，合乎题意；‎ 当时，则，集合中的数都是负数，则；‎ 当时，则，‎ 由，得，此时.‎ 综上所述，；‎ ‎（3）由题意可知，符合条件的集合有：、.‎ ‎【点睛】本题考查补集的运算，利用集合的包含关系求参数，涉及对数函数定义域的求解，在求参数时，要注意对参数的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．‎ ‎（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？‎ ‎【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 可知，，‎ 所以，.‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，‎ 总的理财收益.‎ 令，则，，‎ 故，‎ 所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.已知（且）在区间上的最大值与最小值之和为，‎ ‎，其中.‎ ‎（1）直接写出的解析式和单调性；‎ ‎（2）若对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，若，使得对，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），减函数；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分和两种情况讨论函数在区间上单调性，得出，可解出实数的值，并判断出函数的单调性；‎ ‎（2）由，可得出对任意的实数恒成立，由参变量分离法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；‎ ‎（3）由题意可得，求出函数在区间上的最大值，然后分与的大小关系，求出函数在区间上最大值，然后解出不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，函数在区间上为增函数；‎ 当时，函数在区间上为减函数.‎ 由题意可得，即，‎ 且，解得，，则函数为减函数；‎ ‎（2）由（1）可得，由，即，即，即对任意的恒成立，即.‎ ‎，，，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3）函数在区间上单调递减，则.‎ 由题意可得，.‎ 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.‎ 当时，且当时，，则，解得，此时；‎ 当时，且当时，，则，解得，此时.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用指数型函数的最值求参数，同时也考查了二次不等式在某区间上恒成立，以及函数不等式与全称命题、特称命题的综合问题，转化为函数的最值求解是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎21.设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，为的下标.如果数组中的每个“元”都来自数组中不同下标的“元”则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.‎ ‎（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值及此时的数组；‎ ‎（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中“元”的含义，可知当时，取得最大值为；‎ ‎（2）对是否为中的“元”进行分类讨论：①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，以及中、、三个“元”的对称性，利用基本不等式计算的最大值；②当不是中的“元”时，只需计算的最大值即可，最后综上即可得出的最大值.‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，取得最大值；‎ ‎（2）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，以及中、、三个“元”的对称性，‎ 只需计算的最大值，其中，‎ 由，得.‎ 当且仅当，时，达到最大值.‎ 于是；‎ ‎②当不是中的“元”时，计算，‎ 由于，所以，‎ 当且仅当时，等号成立，则取得最大值.‎ 此时.‎ 综上所述，的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查集合中的新定义，同时也考查了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要理解题中“元”的定义，同时要对一些“元”是否在集合内进行分类讨论，考查运算求解能力与化归与转化思想的应用，属于中等题.‎